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Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4

dimanche 5 février 2017, par Neige

Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4
6 points - 55 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Une association confectionne et porte, chaque jour, à domicile des repas à des personnes dépendantes.
En 2015, 600 personnes étaient abonnées à ce service.
Pour étudier son développement, cette association a fait une enquête selon laquelle l’évolution peut être modélisée de la façon suivante :
- Chaque année, 5 % des abonnements ne sont pas renouvelés .
- Chaque année, on compte 80 nouveaux abonnements à ce service.


1. Pour suivre l’évolution du nombre d’abonnés, un gestionnaire réalise l’algorithme suivant :

VARIABLES
n et U sont des nombres

TRAITEMENT
Affecter à U la valeur 600
Affecter à n la valeur 0
Tant que U<800 faire
    U prend la veleur U-U×0,05+80
    n prend la valeur n+1
Fin Tant que

SORTIE
Afficher n

a. Recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées à l’unité).

Valeur de U 600 ... ...
Valeur de n 0 ... ...
Test U<800 Vrai ... ...

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

Exécutons cet algorithme pas à pas.

$n$ et $U$ sont des nombres
$U=600 \\ n=0$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U=600-600×0,05+80=650 \\ n=0+1=1$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U=650-650×0,05+80\approx 698 \\ n=1+1=2$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx 698-698×0,05+80\approx 743 \\ n=2+1=3$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx 743-743×0,05+80\approx 785 \\ n=3+1=4$
La condition $U<800$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$U\approx 785-785×0,05+80\approx 826 \\ n=4+1=5$
La condition $U<800$ est fausse, on sort du "Tant que".
On affiche $n=5$

Il suffit maintenant de compléter le tableau en écrivant les valeurs rencontrées en cours d’exécution :

Valeur de U 600 650 698 743 785 826
Valeur de n 0 1 2 3 4 5
Test U<800 Vrai Vrai Vrai Vrai Vrai Faux

b. Déterminer la valeur affichée en fin d’exécution de l’algorithme.

Voir la solution

D’après la question précédente, la valeur affichée en fin d’algorithme est $n=5$.

c. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Voir la solution

Cet algorithme calcule le nombre de personnes abonnées au service de repas à domicile au fil des années.
Il s’arrête lorsque la condition $U<800$ est fausse c’est à dire lorsque le nombre de personnes abonnées est supérieur ou égal à 800.
Par conséquent, c’est au bout de 5 ans (en 2020) que le nombre de personnes abonnées au service de repas à domicile dépassera 800 pour la première fois.


2. Cette évolution peut s’étudier à l’aide d’une suite $(u_n)$ où $u_n$ est le nombre d’abonnés pendant l’année $2015+n$.
On a ainsi, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,95u_n+80$ et $u_0=600$.

a. Donner $u_1$ et $u_2$ (arrondir les valeurs à l’unité).

Relire la méthode : Calculer les premiers termes d’une suite.

Voir la solution

On applique la relation $u_{n+1}=0,95u_n+80$ pour $n=0$ :
$u_{0+1}=0,95u_0+80$
$u_{1}=0,95\times 600+80 \\ u_{1}=650$
De façon analogue, on applique la relation $u_{n+1}=0,95u_n+80$ pour $n=1$ :
$u_{1+1}=0,95u_1+80$
$u_{2}=0,95\times 650+80 \\ u_{2}=697,5$
Par conséquent, $u_1=650$ et $u_2\approx 698$.

b. On introduit la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n −1600$.
Montrer que $(v_n)$ est une suite géométrique.
Préciser la raison et le premier terme de cette suite.

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1} = u_{n+1} −1600$ d’après l’énoncé.
$\qquad = (0,95u_n+80) −1600$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
$\qquad = 0,95u_n-1520$
$\qquad = 0,95(u_n-1600)$ en factorisant par 0,95.
$\qquad = 0,95\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-1600=-1000$.
On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=-1000$.

c. En déduire que l’on a, pour tout entier naturel $n$,
$u_n = 1600−1000×0,95^n$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

La question précédente a permis d’établir que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=-1000$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-1000\times 0,95^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n = u_n −1600$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1600+v_n=1600-1000\times 0,95^n$.


3. La taille des locaux ne permet pas de servir plus de 1 000 repas.
Si cette évolution se poursuit au même rythme, l’association devra-t-elle envisager un jour des travaux d’agrandissement ?

Relire les méthodes : Déterminer un rang sous condition et Calculer la limite d’une suite géométrique.

Voir les solutions

On peut résoudre ce problème de différentes manières :
- en calculant le nombre d’abonnés après un grand nombre d’années (calcul de limite).
- en résolvant une inéquation permettant de savoir s’il existe une année pour laquelle le nombre d’abonnés dépassera 1000.

Commençons par le calcul de limite.
$0<0,95<1$ donc $\lim 0,95^n=0$.
Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0,95^n=0$.
Par somme avec $1600$, $\lim 1600-1000\times 0,95^n=1600$.
Cela signifie qu’après un grand nombre d’années, le nombre d’abonnés au service de repas à domicile se stabilisera à 1600 personnes.
on peut donc conclure que l’association devra envisager un jour des travaux d’agrandissement.

Autre méthode pour résoudre ce problème.
Cherchons s’il existe $n$ tel que le nombre d’abonnés dépasse 1000, c’est à dire tel que $u_n > 1000$.
$u_{n} > 1000\Leftrightarrow 1600-1000\times 0,95^n > 1000 \\ \qquad \Leftrightarrow -1000\times0,95^{n} > -600 \\ \qquad \Leftrightarrow 0,95^{n} < \frac{-600}{-1000} \\ \qquad \Leftrightarrow 0,95^{n} < 0,6 \\ \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(0,95) < \ln(0,6) \\ \qquad \Leftrightarrow n > \frac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)} \\ $
Remarque : on a changé l’ordre de cette dernière inégalité car $\ln(0,6) < 0$
Comme $\frac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)}\approx 9,96$ alors $n=10$ et le nombre d’abonnés va dépasser 1000 en 2025. Il faudra prévoir des travaux d’agrandissement.

C’est terminé !

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