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Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3

dimanche 17 juin 2018, par Neige

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, espérance, loi binomiale, intervalle de confiance.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Une entreprise dispose d’un stock de guirlandes électriques. On sait que 40 % des guirlandes proviennent d’un fournisseur A et le reste d’un fournisseur B.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu’en extérieur.


1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.
• On note $A$ l’évènement « la guirlande provient du fournisseur A » et $B$ l’évènement « la guirlande provient du fournisseur B ».
• On note $I$ l’évènement « la guirlande peut être utilisée uniquement en intérieur ».
a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(A)=40\%=0,4$. De plus, $P_A(I)=\frac{1}{4}$ et $P_B(I)=\frac{1}{3}$.
D’où l’arbre suivant :
PNG


b. Montrer que la probabilité $P(I)$ de l’évènement $I$ est 0,3.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D’après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(I) & = P(A \cap{I})+P(B \cap{I}) \\ & = P(A)\times P_A(I)+P(B)\times P_{B}(I) \\ & = 0,4\times \frac{1}{4}+0,6\times \frac{1}{3} \\ & = 0,1+0,2 \\ & = 0,3 \end{align}$


c. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur. Le responsable de l’entreprise estime qu’il y a autant de chance qu’elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
Le responsable a-t-il raison ? Justifier.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

Nous allons calculer $P_\bar{I}(A)$ et $P_\bar{I}(B)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P_\bar{I}(A) & =\frac{P(\bar{I}\cap A)}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{P(A)\times P_A(\bar{I})}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{0,4\times \frac{3}{4}}{1-0,3} \\ & = \frac{0,3}{0,7} \\ & = \frac{3}{7} \end{align}$
Par conséquent,
$\begin{align} P_\bar{I}(B) & =1-P_\bar{I}(A) \\ & = 1-\frac{3}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align}$
Par conséquent, le responsable a tort : il y a plus de chance que la guirlande provienne du fournisseur B.


2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu’en extérieur est vendue 5 € et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est vendue 3 €.
Calculer le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock.

Relire les méthodes : Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire et Calculer l’espérance d’une variable aléatoire.

Voir la solution

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock. Les valeurs prises par $X$ sont 3 € et 5 €.
D’après les questions précédentes, on peut établir la loi de probabilité de $X$ :

$x_i$ 3 € 5 €
$P(X=x_i)$ $P(I)=0,3$ $P(\bar{I})=0,7$

Calculons l’espérance de cette loi :
$E(X)=0,3\times 3+0,7\times 5=4,4$.
Le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock est en moyenne (sur un grand nombre de prélèvements) de 4,40 €.


3. Lors d’un contrôle qualité, on prélève au hasard 50 guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à 0,02.
Calculer la probabilité qu’au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

Relire la méthode : Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale.

Voir la solution

On considère la variable aléatoire $Y$, qui compte le nombre de guirlandes défectueuses parmi les 50 guirlandes prélevées. Comme les tirages sont considérés identiques et indépendants, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,6$.
Il s’agit de déterminer $P(Y\geq 1)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(Y \geq 1) & =1-P(Y=0) \\ & = 1-\binom{50}{0}\times 0,02^0\times (1-0,02)^{50} \\ & = 1-0,98^{50} \\ & \approx 0,636 \end{align}$
La probabilité qu’au moins une guirlande soit défectueuse est d’environ 0,636.


4. L’entreprise souhaite connaître l’opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d’un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de 95 % à l’aide d’un intervalle de confiance d’amplitude inférieure ou égale à 8 %.
Combien l’entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?

Relire la méthode : Etablir un intervalle de confiance.

Voir la solution

D’après le cours, un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de clients satisfaits est :
$\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$
Son amplitude est donc : $\frac{2}{\sqrt{n}}$.
Il s’agit alors de résoudre l’inéquation $\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08$.
$\begin{align} \frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08 & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}}{2} \geq \frac{1}{0,08} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \geq 625 \\ \end{align}$
L’entreprise doit-elle interroger au minimum 625 personnes.

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