Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3

D’après l’énoncé, $P(A)=40\%=0,4$. De plus, $P_A(I)=\frac{1}{4}$ et $P_B(I)=\frac{1}{3}$.
D’où l’arbre suivant :

D’après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(I) & = P(A \cap{I})+P(B \cap{I}) \\ & = P(A)\times P_A(I)+P(B)\times P_{B}(I) \\ & = 0,4\times \frac{1}{4}+0,6\times \frac{1}{3} \\ & = 0,1+0,2 \\ & = 0,3 \end{align}$

Nous allons calculer $P_\bar{I}(A)$ et $P_\bar{I}(B)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P_\bar{I}(A) & =\frac{P(\bar{I}\cap A)}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{P(A)\times P_A(\bar{I})}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{0,4\times \frac{3}{4}}{1-0,3} \\ & = \frac{0,3}{0,7} \\ & = \frac{3}{7} \end{align}$
Par conséquent,
$\begin{align} P_\bar{I}(B) & =1-P_\bar{I}(A) \\ & = 1-\frac{3}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align}$
Par conséquent, le responsable a tort : il y a plus de chance que la guirlande provienne du fournisseur B.

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock. Les valeurs prises par $X$ sont 3 € et 5 €.
D’après les questions précédentes, on peut établir la loi de probabilité de $X$ :

Calculons l’espérance de cette loi :
$E(X)=0,3\times 3+0,7\times 5=4,4$.
Le prix moyen d’une guirlande prélevée au hasard dans le stock est en moyenne (sur un grand nombre de prélèvements) de 4,40 €.

On considère la variable aléatoire $Y$, qui compte le nombre de guirlandes défectueuses parmi les 50 guirlandes prélevées. Comme les tirages sont considérés identiques et indépendants, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,6$.
Il s’agit de déterminer $P(Y\geq 1)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(Y \geq 1) & =1-P(Y=0) \\ & = 1-\binom{50}{0}\times 0,02^0\times (1-0,02)^{50} \\ & = 1-0,98^{50} \\ & \approx 0,636 \end{align}$
La probabilité qu’au moins une guirlande soit défectueuse est d’environ 0,636.

D’après le cours, un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de clients satisfaits est :
$\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$
Son amplitude est donc : $\frac{2}{\sqrt{n}}$.
Il s’agit alors de résoudre l’inéquation $\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08$.
$\begin{align} \frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08 & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}}{2} \geq \frac{1}{0,08} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \geq 625 \\ \end{align}$
L’entreprise doit interroger au minimum 625 personnes.