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Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1

lundi 23 juillet 2018, par Neige

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1
4 points - 36 minutes
Thèmes abordés : dérivée d’une fonction, taux d’évolution moyen, loi normale, loi uniforme.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n’est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l’absence de réponse à une question ne rapportent ni n’enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.


1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=e^{-3x}+e^2$.
A. $f’(x)=-e^{-3x}+2e$
B. $f’(x)=-e^{-3x}+e^2$
C. $f’(x)=-e^{-3x}$
D. $f’(x)=e^{-3x}$

Relire les méthodes : Dériver une somme, un produit par un réel et Dériver l’exponentielle d’une fonction.

Voir la solution

On remarque que $f=e^u+v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions puis la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
Or la fonction $v$ est une fonction constante : $v(x)=e^2$. Sa dérivée est donc nulle.
Par ailleurs, $u(x)=-3x$ et $u’(x)=-3$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & = u’(x)\times e^{u(x)}+0 \\ & = -3\times e^{-3x} +0 \\ & = -3e^{-3x} \\ \end{align}$
La bonne réponse est la réponse C.


2. D’après une étude, le nombre d’objets connectés à Internet à travers le monde est passé de 4 milliards en 2010 à 15 milliards en 2017. L’arrondi au dixième du taux d’évolution annuel moyen est de :
A. 10,5 %
B. 68,8 %
C. 39,3 %
D. 20,8 %

Relire la méthode : Calculer un taux d’évolution moyen.

Voir la solution

1ère méthode :
La valeur de départ est $V_D= 4$.
La valeur d’arrivée est $V_A= 15$.
Le nombre de périodes est $n=2017-2010=7$.
Par conséquent, le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’objets connectés à internet entre 2010 et 2017 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{15}{4}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,208 \\ & \approx 20,8 \% \end{align}$
La bonne réponse est la réponse D.

2ème méthode :
On teste chacune des réponses proposées en utilisant la méthode Appliquer un pourcentage d’évolution :
$4\times \left( 1+\frac{10,5}{100}\right)^7\approx 8$.
$4\times \left( 1+\frac{68,8}{100}\right)^7\approx 156$.
$4\times \left( 1+\frac{39,3}{100}\right)^7\approx 41$.
$4\times \left( 1+\frac{20,8}{100}\right)^7\approx 15$.
La bonne réponse est la réponse D.


3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d’espérance $\mu=13$ et d’écart-type $\sigma=2,4$.
L’arrondi au centième de $P(X\geq 12,5)$ est :
A. 0,58
B. 0,42
C. 0,54
D. 0,63

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

A l’aide de la calculatrice, $P(X\geq 12,5)\approx 0,58$.
La bonne réponse est la réponse A.


4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l’intervalle $[14 ;16]$. $P(Y\leq 15,5)$ est égal à :
A. 0,97
B. 0,75
C. 0,5
D. $\frac{1}{4}$

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi uniforme.

Voir la solution

La loi uniforme sur l’intervalle $[14 ;16]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{16-14}=\frac{1}{2}$.
La probabilité recherchée est $P(Y\leq 15,5)=P(14\leq Y \leq 15,5)$. Elle correspond à l’aire du rectangle rouge dessiné ci-dessous :
PNG
Par conséquent,
$\begin{align} P(Y\leq 15,5) & =(15,5-14)\times \frac{1}{2} \\ & = \frac{1,5}{2} \\ & = 0,75 \end{align}$
La bonne réponse est la réponse B.

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