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Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2

vendredi 23 mars 2018, par Neige

Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, loi binomiale, loi normale.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Cette étude porte sur l’utilisation principale des véhicules du parc automobile français.

Les réponses seront arrondies au dix-millième.


Partie A

Les véhicules de la région parisienne représentent 16 % du parc automobile français en 2015. 22 % des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 34 % pour les loisirs.
En province, 49 % des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 31 % pour les loisirs.
On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.
On note :
• $R$ l’évènement : « le véhicule provient de la région parisienne »,
• $\bar{R}$ l’évènement : « le véhicule provient de la province »,
• $T$ l’évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail »,
• $L$ l’évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs »,
• $F$ l’évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour d’autres fonctions que le travail ou les loisirs ».
On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux évènements, $P(A)$ désigne la probabilité de l’évènement $A$ et $P_B(A)$ désigne la probabilité de l’évènement $A$ sachant que l’évènement $B$ est réalisé.


1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(R)=0,16$, $P_R(T)=0,22$, $P_R(L)=0,34$, $P_{\bar{R}}(T)=0,49$ et $P_{\bar{R}}(L)=0,31$.
D’où l’arbre :
PNG


2. Montrer que la probabilité qu’un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

Il s’agit de calculer $P(T)$.
D’après la formule des probabilité totales,
$\begin{align} P(T) & =P(R\cap T)+P(\bar{R}\cap T) \\ & =P(R)\times P_R(T)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(T) \\ & = 0,16\times 0,22+0,84\times 0,49 \\ & = 0,4468 \end{align}$
La probabilité qu’un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468 (ou 44,68 %).


3. Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l’utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d’habiter la région parisienne ?

Relire les méthodes : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles et Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

Nous allons calculer :
- d’une part, $P_T(R)$, la probabilité que la voiture provienne de la région parisienne sachant qu’elle est principalement utilisée pour le trajet entre le domicile et le travail.
- d’autre part, $P_L(R)$, la probabilité que la voiture provienne de la région parisienne sachant qu’elle est principalement utilisée pour les loisirs.

D’après la formule des probabilité conditionnelles,
$\begin{align} P_T(R) & =\frac{P(R\cap T)}{P(T)} \\ & =\frac{P(R)\times P_R(T)}{P(T)} \\ & = \frac{0,16\times 0,22}{0,4468} \\ & = 0,0788 \end{align}$

De façon analogue,d’après la formule des probabilité conditionnelles,
$\begin{align} P_L(R) & =\frac{P(R\cap L)}{P(L)} \\ & =\frac{P(R)\times P_R(L)}{P(L)} \\ \end{align}$
Nous avons besoin de déterminer la valeur de $P(L)$.
D’après la formule des probabilité totales,
$\begin{align} P(L) & =P(R\cap L)+P(\bar{R}\cap L) \\ & =P(R)\times P_R(L)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(L) \\ & = 0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 \\ & = 0,3148 \end{align}$
Par conséquent,
$\begin{align} P_L(R) & =\frac{0,16\times 0,34}{0,3148} \\ & \approx 0,1728 \end{align}$

D’après les informations à notre disposition et comme $0,1728\gt 0,0788$, Madame Dupont a plus de chances d’avoir une voiture provenant de la région parisienne que Monsieur Durand.


Partie B

On sélectionne un échantillon aléatoire de 10 véhicules du parc automobile français. On note X la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.


1. Préciser la loi de probabilité de X ainsi que ses paramètres.

Relire la méthode : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres.

Voir la solution

- L’épreuve consistant à choisir un véhicule comporte 2 issues : "le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail" (Succès) et "le véhicule est n’est pas utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail" (Echec). D’après la question A.2, la probabilité de succès est de 0,4468.
- D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante 10 fois (en admettant que les choix de véhicules puissent être assimilés à des tirages avec remise).
- $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,4468$ et $n=10$.


2. Déterminer la probabilité qu’exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Voir la solution

Il s’agit de calculer $P(X=2)$.
D’après le cours,
$\begin{align} P(X=2) & =\binom{10}{2}\times 0,4468^2\times 0,5532^{8} \\ & \approx 0,0788 \end{align}$
La probabilité qu’exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est d’environ 7,88 % (ou 0,0788).


3. Déterminer la probabilité qu’au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Relire la méthode : Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale.

Voir la solution

Il s’agit de calcule $P(X \geq 1)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{0}\times 0,4468^0\times 0,5532^{10} \\ & = 1-0,5532^{10} \\ & \approx 0,9973 \end{align}$
La probabilité qu’au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est d’environ 99,73 % (ou 0,9973).


Partie C

On s’intéresse à l’évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère qu’en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne suivra la loi normale de moyenne 50 et d’écart type 4.
On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en 2018 en région parisienne.


1. Quelle est la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 000 et 58 000 ?

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

On demande de calculer $P(42 \lt Y \lt 58)$ (attention, $Y$ donne le nombre de milliers de véhicules).
A l’aide de la calculatrice, $P(42 \lt Y \lt 58)\approx 0,9545$.
La probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 milliers et 58 milliers est d’environ 95,45 % (ou 0,9545).

Remarque : si l’énoncé n’exigeait pas une précision au dix-millième, on aurait pu utiliser la formule suivante :
$P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$


2. Pour ne pas avoir de délais d’enregistrement trop longs, le nombre de dossiers doit être inférieur à 55 000. Quelle est la probabilité que les délais d’enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 ?

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

On demande de calculer $P(Y \lt 55)$.
A l’aide de la calculatrice, $P(Y \lt 55)\approx 0,8944$.
La probabilité que les délais d’enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 est d’environ 89,44 % (ou 0,8944).

C’est terminé !

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