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Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2

dimanche 17 juin 2018, par Neige

Des algues prolifèrent dans un étang.
Pour s’en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.
En journée, la masse d’algues augmente de 2 %, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 100 kg d’algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.
Le propriétaire estime que la masse d’algues dans l’étang au matin de l’installation du système de filtration est de 2 000 kg.
On modélise par $a_n$ la masse d’algues dans l’étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0=2000$. On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.


1. Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d’algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de 1 878,8 kg.

Relire les méthodes : Calculer les premiers termes d’une suite et Appliquer un pourcentage d’évolution.

Voir la solution

On sait que $a_0=2000$.
Après la première journée, la masse d’algues a augmenté de 2 %, ce qui signifie que cette masse a été multipliée par $1+\frac{2}{100}=1,02$.
$2000\times 1,02=2040$.
Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg.
$2040-100=1940$.
Après la deuxième journée, la masse d’algues a augmenté de 2 %.
$1940\times 1,02=1978,8$.
Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg.
$1978,8-100=1878,8$.
Par conséquent, $a_2$ est bien égal à 1 878,8 kg.


2. On affirme que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=1,02\times a_n-100$.

a. Justifier à l’aide de l’énoncé la relation précédente.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

On peut illustre la situation par le schéma ci-dessous :
JPEG
On rappelle, par ailleurs, qu’une augmentation de 2 % revient à multiplier par 1,02.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=1,02\times a_n-100$.


b. On considère la suite $(b_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $b_n=a_n-5000$.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est géométrique. Préciser son premier terme $b_0$ et sa raison.

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$b_{n+1}=a_{n+1}-5000$ d’après l’énoncé
$\qquad=(1,02\times a_n-100)-5000$ en remplaçant $a_{n+1}$ par son expression
$\qquad=1,02\times a_n-5100$
$\qquad =1,02\times (a_n-5000)$ en factorisant par 1,02
$\qquad =1,02\times b_n$
Par ailleurs, $b_0=a_0-5000=2000-5000=-3000$ donc $(b_n)$ est la suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.


c. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n=5000-3000\times 1,02^n$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

D’après la question précédente, $(b_n)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $b_n=-3000\times 1,02^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $b_n=a_n-5000$ alors $a_n=5000+b_n=5000-3000\times 1,02^n$.


d. En déterminant la limite de la suite $(a_n)$, justifier que les algues finissent par disparaître.

Relire la méthode : Calculer la limite d’une suite géométrique.

Voir la solution

Calculons la limite de la suite $(a_n)$.
$1,02>1$ alors $\lim 1,02^n=+\infty$.
Par produit par $-3000$, $\lim -3000\times 1,02^n=-\infty$.
Par somme avec $5000$, $\lim 5000-3000\times 1,02^n=-\infty$.
Cela implique qu’après un certain nombre de jours, la masse d’algue va nécessairement être nulle (une masse négative signifie qu’il n’y a plus d’algues).

Remarque
On arrive à une limite de $-\infty$ car le modèle ne prévoit pas que lorsqu’il reste moins de 100 kg d’algues, on ne peut pas en enlever 100 kg pendant la nuit !


3. a. Recopier et compléter l’algorithme suivant afin qu’il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.

N ← 0
A ← 2000
Tant que ...
      A ← ...
      N ← N + 1
Fin Tant que
Afficher ...

Relire la méthode : Ecrire un algorithme de seuil.

Voir la solution

L’algorithme calcule les termes successifs de $(a_n)$ et doit continuer tant que la condition $a_n \gt 0$ est vraie. Il s’arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c’est à dire lorsque $a_n \leq 0$, c’est à dire lorsqu’il n’y aura plus d’algues.
On peut donc compléter le compléter ainsi :

N ← 0
A ← 2000
Tant que A > 0
      A ← 1,02×A - 100
      N ← N + 1
Fin Tant que
Afficher N


b. Quel est le résultat renvoyé par l’algorithme ?

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

Comme l’exécution pas à pas est longue, on se contente d’indiquer une exécution partielle (et on utilise la calculatrice).

$N=0 \\ A=2000$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A=1,02\times 2000-100=1940 \\ N=1$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A=1,02\times 1940-100=1878,8 \\ N=2$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A=1,02\times 1878,8-100=1816,376 \\ N=3$
....(nombreuses étapes)....
....(A est toujours positif)....
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A\approx 78,18 \\ N=25$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A\approx 1,02\times 78,18-100\approx -20,25 \\ N=26$
La condition $A\gt 0$ est fausse, on sort du "Tant que" et l’algorithme s’arrête.
La valeur de $N$ lorsque l’algorithme est arrêté est 26.

C’est donc au bout de 26 jours que les algues auront disparu.


4. a. Résoudre par le calcul l’inéquation $5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$.

Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

$\begin{align} 5000-3000 \times 1,02^n \leq 0 & \Leftrightarrow -3000 \times 1,02^n \leq -5000 \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{-5000}{-3000} \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{5}{3} \\ & \Leftrightarrow \ln(1,02^n) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(1,02) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \end{align}$
Or $\frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)}\approx 25,8$. Par conséquent, le plus petit entier naturel $n$ tel que $5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$ est $n=26$.


b. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?

Voir la solution

On retrouve le résultat obtenu par exécution de l’algorithme (ce qui est rassurant).
C’est au bout de 26 jours que les algues auront disparu.

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