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Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1

jeudi 25 janvier 2018, par Neige

Nouvelle-Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
6 points - 55 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, probabilités continues (loi normale), échantillonnage (intervalle de fluctuation).

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans tout l’exercice, si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième.

A l’occasion de la fête des Mères, un fleuriste décide de proposer à ses clients plusieurs types de bouquets spéciaux.

Partie A

Chaque bouquet spécial fête des Mères est composé uniquement d’oeillets, uniquement de tulipes ou uniquement de marguerites. Chaque bouquet est composé de fleurs d’une même couleur, soit blanches, soit jaunes.
Ce fleuriste a choisi de préparer 60 % de ces bouquets spéciaux avec uniquement des tulipes, 28 % avec uniquement des oeillets, les autres bouquets ne comportant que des marguerites.

On sait d’autre part que :
— la moitié des bouquets confectionnés avec des tulipes sont de couleur jaune ;
— la proportion de bouquets de coloris jaune parmi les bouquets d’oeillets est de un cinquième ;
— parmi les bouquets de marguerites, on compte un quart de jaunes.

Un client entre dans le magasin. et achète au hasard un bouquet parmi les bouquets spéciaux « Fête des Mères ».

On note :
• T l’évènement : « le bouquet acheté est un bouquet de tulipes » ;
• O l’évènement : « le bouquet acheté est un bouquet d’oeillets » ;
• M l’évènement : « le bouquet acheté est un bouquet de marguerites » ;
• J l’évènement : « les fleurs du bouquet acheté sont jaunes » ;
• B l’évènement : « les fleurs du bouquet acheté sont blanches ».


1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

Relire la méthode : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(T)=0,6$, $P(O)=0,28$, $P_T(J)=0,5$, $P_O(J)=\frac{1}{5}=0,2$ et $P_M(J)=\frac{1}{4}=0,25$.
Ces informations permettent de construire l’arbre suivant :
PNG


2. Calculer la probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P(T\cap B)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$P(T\cap B)=P(T)\times P_T(B)=0,6\times 0,5=0,3$.
On rappelle que pour retrouver cette formule, il suffit de multiplier les probabilités rencontrées sur le chemin représentant $T\cap B$.
La probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches est de 0,3.


3. Montrer que la probabilité de l’évènement B notée $P(B)$ est égale à 0,614.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D’après la formule des probabilités totales,
$P(B)=P(T\cap B)+P(O\cap B)+P(M\cap B)$
$\qquad =P(T)\times P_T(B)+P(O)\times P_O(B)+P(M)\times P_M(B)$
$\qquad =0,3+0,28\times 0,8+0,12\times 0,75$
$\qquad =0,614$.


4. Sachant que les fleurs du bouquet acheté par ce client sont blanches, déterminer la probabilité que ce soit un bouquet d’oeillets.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P_B(O)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$P_B(O)=\frac{P(O\cap B)}{P(O)}=\frac{0,28\times 0,8}{0,614}\approx 0,365$.

Partie B

L’un des fournisseurs du fleuriste est un jardinier spécialisé dans la production d’une espèce de rosiers nommée « Arlequin ».
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque rosier de cette espèce pris au hasard, cultivé chez ce jardinier, associe sa hauteur exprimée en centimètres. On admet, d’après les observations et mesures réalisées, que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu=50$ et d’écart-type $\sigma=3$.


1. On choisit au hasard un rosier « Arlequin » chez ce fournisseur.
a. Déterminer la probabilité que ce rosier mesure entre 47 et 53 centimètres.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir les solutions

Première méthode : à la calculatrice.
A l’aide de la calculatrice, $P(47 \lt X \lt 53)\approx 0,683$.

Deuxième méthode : à l’aide d’un raisonnement.
On constate que $\mu-\sigma=47$ et $\mu+\sigma=53$.
D’après le cours, $P(\mu-\sigma \lt X \lt \mu+\sigma)\approx 0,683$.
Par conséquent, $P(47 \lt X \lt 53)\approx 0,683$.
La probabilité que ce rosier mesure entre 47 et 53 centimètres est d’environ 0,683.

b. Déterminer la probabilité que ce rosier mesure plus de 56 centimètres.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Première méthode : à la calculatrice.
A l’aide de la calculatrice, $P(X \gt 56)\approx 0,023$.

Deuxième méthode : à l’aide d’un raisonnement.
On remarque que $\mu-2\sigma=44$ et $\mu+2\sigma=56$.
D’après le cours, $P(\mu-2\sigma \lt X \lt \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
Par conséquent, $P(44 \lt X \lt 56)\approx 0,954$.
PNG
On en déduit que $P(X\notin ]44 ;56[)\approx 1-0,954\approx 0,046$.
PNG
Par symétrie par rapport à l’axe d’équation $x=50$, on peut conclure que $P(X \gt 56)\approx \frac{0,046}{2}\approx 0,023$.
PNG
La probabilité que ce rosier mesure plus de 56 centimètres est d’environ 0,023.


2. Le fournisseur veut prévoir quelle sera la hauteur atteinte ou dépassée par 80 % de ses rosiers « Arlequin ».
Déterminer la hauteur cherchée (on l’arrondira au mm).

Relire la méthode : Déterminer un seuil sous condition avec une loi normale.

Voir la solution

On appelle $a$ la valeur recherchée.
Voici une illustration du problème :
PNG
On cherche donc la valeur $a$ telle que $P(X\gt a)=0,8$.
D’après la calculatrice (les utilisateurs d’une calculatrice casio doivent indiquer Right), $a\approx 47,5$.
80 % des rosiers « Arlequin » dépasseront 47,5 cm.


Partie C

En se basant sur les ventes réalisées l’année précédente, ce fleuriste suppose que 85 % de ses clients viendront ce jour-là acheter un des bouquets pour la fête des Mères.
Quelques semaines avant de préparer ses commandes, il décide de vérifier son hypothèse en envoyant un questionnaire à 75 de ses clients, ces derniers étant supposés représentatifs de l’ensemble de sa clientèle.
Les réponses reçues montrent que, parmi les 75 clients interrogés, 16 déclarent qu’ils ne lui achèteront pas de bouquet pour la fête des Mères.
Le fleuriste doit-il rejeter son hypothèse ?

Relire les méthodes : Etablir un intervalle de fluctuation et Prendre une décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation.

Voir la solution

On commence par déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la fréquence de clients achetant un bouquet pour la fête des Mères.
D’après l’énoncé, la probabilité supposée de clients sensés acheter un bouquet pour la fête des Mères est $p=0,85$. L’échantillon est de taille $n=75$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=63,75 \geq 5$ et $n(1-p)=11,25 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $I=\left[ 0,85-1,96 \frac{\sqrt{0,85(1-0,85)}}{\sqrt{75}} ; 0,85+1,96 \frac{\sqrt{0,85(1-0,85)}}{\sqrt{75}} \right ]$
$I\approx [0,769 ;0,931]$.
Par ailleurs, la fréquence de clients ayant l’intention d’acheter un bouquet pour la fête des Mères est $f=\frac{75-16}{75}=\frac{59}{75}\approx 0,787$.
On constate que $f\in I$. Par conséquent, le fleuriste ne doit pas rejeter son hypothèse selon laquelle 85 % de ses clients viendront acheter un des bouquets pour la fête des Mères.

C’est terminé !

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