Accueil > Terminale ES et L spécialité > Suites > Calculer les premiers termes d’une suite
Calculer les premiers termes d’une suite
dimanche 18 décembre 2016, par
Méthode
On considère une suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction donnée. De plus, le premier terme $u_0$ est également connu.
Si l’exercice demande de calculer $u_1$, on peut se servir de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $0$.
On obtient alors $u_{0+1}=f(u_0)$, c’est à dire $u_{1}=f(u_0)$.
Comme $f$ et $u_0$ sont donnés, c’est terminé.
Si, par la suite, l’exercice demande de calculer $u_2$, on raisonne de façon analogue. On utilise à nouveau la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $1$.
On obtient alors $u_{1+1}=f(u_1)$, c’est à dire $u_{2}=f(u_1)$.
Comme $f$ est connue et $u_1$ vient d’être calculé, c’est terminé.
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner
- Niveau facile
On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-3$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6 \\$.
Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
- Niveau moyen
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. De plus, on sait que $u_{0}=4$ et $u_{1}=3 \\$.
Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$.
- Niveau difficile
On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-2$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1} \\$.
Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre :
- la question 2 de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
- la question A.1 de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
- la question 2a de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
- la question 1 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.
Messages
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 11 février 2019, 12:54, par dupuis
Soit (Un) définie pas tout entier non nul :
Un=-4n2-4n+5
calculer les 5 premiers termes
(le 2 après -4n veut dire au carré )
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 11 février 2019, 18:21, par Neige
Bonjour dupuis
Tu peux simplement remplacer n par un nombre.
Voici les deux premiers termes (j’utilise * pour la multiplication et ^2 pour le carré) :
U(0)=-4*0^2-4*0+5
=0-0+5
=5
U(1)=-4*1^2-4*1+5
=-4-4+5
=-3
...je te laisse poursuivre.
N’hésite pas à répondre si tu n’y arrives pas.
2. Calculer les premiers termes d’une suite, 18 février 2019, 14:12, par dupuis
Boujour, il faut que je démontre que la suite est croissante à l’aide de Un+1>Un
(y’a une barre en dessous de >)
Un=-4n2-4n+8
(le 2 après -4n veut dire au carré)
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 21 février 2019, 07:32, par Neige
Bonjour dupuis,
Pour cela, tu peux calculer U(n+1)-U(n) et regarder le signe de l’expression obtenue.
Si cette expression est négative, cela signifie que la suite est décroissante. Si cette expression est positive, cela signifie que la suite est croissante.
Voici le début :
U(n+1)-U(n) = ( -4(n+1)²-4(n+1)+8 ) - ( -4n²-4n+8 )
= ( -4(n²+2n+1)-4(n+1)+8 ) - ( -4n²-4n+8 )
= ...
(tu devrais obtenir une expression de signe négatif et donc une suite décroissante).
Bon courage !
Neige
3. Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique, 30 mars 2019, 11:15, par moulenda cecilia
Je veux calculer les cinque premier termes dans chacun des cas suivants (Un) est une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r
Exemple
U1=1. r=1
U10=1. r=5
Aider moi je veux bien comprendre et démarré
1. Calculer les premiers termes d’une suite arithmétique, 31 mars 2019, 08:27, par Neige
Bonjour !
Merci pour ce message, voici quelques informations pour trouver l’expression d’une suite arithmétique lorsqu’on connaît U1 ou U2 ou U10 ainsi que la raison r.
Pour une suite (Un) arithmétique, on dispose de plusieurs formules donnant l’expression du terme général :
Un=U0+n×r
Un=U1+(n-1)×r
Un=U2+(n-2)×r
Un=U3+(n-3)×r
etc...
Il te suffit de choisir celle qui te convient en fonction des données de l’énoncé.
Par exemple, pour ton 1er exemple, tu peux utiliser Un=U1+(n-1)×r et remplacer U1 et r par leurs valeurs.
Je te laisse faire mais n’hésite pas à écrire si tu n’y arrives pas ou bien si tu n’as pas vu ces formules en cours (dans ce cas, il y a une autre façon d’arriver au résultat).
Bon courage !
Neige
4. Pour les suites (Un)n€N suivantes, calcule les quatre premiers termes :, 16 avril 2019, 09:22, par yasmina
1 U0=-2
Un+1=¼Un+3
1. Pour les suites (Un)n€N suivantes, calcule les quatre premiers termes :, 16 avril 2019, 09:47, par Neige
Bonjour Yasmina !
Regarde bien la vidéo de l’article, cela devrait t’aider.
Voici toutefois quelques indications :
Calcul de U(0)
U(0) est donné, c’est -2
Calcul de U(1)
On remplace n par 0 dans la relation U(n+1)=1/4×U(n)+3
Cela donne : U(1)=1/4×U(0)+3
Comme tu connais U(0), tu peux ainsi calculer U(1).
Calcul de U(2)
On remplace n par 1 dans la relation U(n+1)=1/4×U(n)+3
...
Je te laisse continuer, n’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair.
Bon courage !
Neige
5. Calculer les premiers termes d’une suite, 11 décembre 2019, 15:18, par mertil edna
Soit la suite Un definie par : U1=4/5 ;et Un+1=1/2-Un. Calculer U2 ;U3 ;U4. On pose Vn=1/1-Un. Montrer que Vn est une suite arithmetique. Exprimer Vn puis Un en function n
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 15 décembre 2019, 15:37, par Neige
Bonjour mertil edna,
Je vais d’abord t’aider à répondre à ta première question : remplace n par 1 dans la relation "Un+1=1/2-Un" (partout où il y a des n). Comme tu connais déjà U1, cela te permettra de calculer U2.
Tu pourras ensuite remplacer n par 2 puis par 3, ...
Reviens par ici si ce n’est pas clair.
Courage !
Neige
6. Conjecturer la limite d’une suite, 25 février 2020, 09:01, par dupuis
Bonjour
on me donne le programme python suivant
def terme_U(n) :
U=1
for i in range (1, n+1) :
U=0.1*U**2+U
return(U)
dans une question on me demande de conjecturer la limite de cette suite ???
merci pour votre aide
1. Conjecturer la limite d’une suite, 25 février 2020, 17:55, par Neige
Bonjour dupuis,
En fait, il faudrait calculer plusieurs termes de la suite définie dans ton programme et voir ce que cela donne. Tu pourrais ainsi conjecturer (c’est à dire émettre une hypothèse) sur la limite. Par exemple, si la suite a pour valeurs : 1 - 8 - 52 - 3256 - ... on peut conjecturer que la limite est + infini. Ce n’est pas une preuve mais c’est une conjecture.
Voici une piste :
A l’aide de ton programme, on peut voir que ta suite (U(n)) est définie par U(0)=1 et pour tout entier n, U(n+1)=0,1×U(n)²+U(n).
Alors U(1)=1,1 puis U(2)=1,221 etc...
Reviens par ici si ce n’est pas clair.
Bon courage !
Neige
7. Calculer les premiers termes d’une suite, 20 mai 2020, 11:48, par charlotte
bonjour, je dois calculer u1 et u33 sachant que S33=0 et que la raison r=-7. Je ne sais pas du tout comment faire aidez moi sil vous plait.
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 24 mai 2020, 16:21, par Neige
Bonjour Charlotte !
Il faudrait que tu donnes des précisions : quelle est la nature de la suite dont tu parles, est-elle arithmétique ou géométrique ? Par ailleurs, S(n) représente-elle la somme des termes entre u(0) et u(n) ou bien entre u(1) et u(n) ?
Dans le cas où u serait arithmétique et S(n) représenterait la somme des termes entre u(1) et u(n), voici deux formules qui pourraient t’aider :
Ici, r=-7 et en appliquant cette formule pour n=33, on obtient :
u(33)=u(1)+32×(-7). C’est à dire u(33)=u(1)-224
En appliquant cette formule pour n=33, on obtient :
S(33)=33×(u(1)+u(33))/2. C’est à dire 0=33×(u(1)+u(33))/2
Ces deux équations devraient t’aider à résoudre ton problème.
Bon courage à toi et reviens par ici si ce n’est pas clair !
Neige
8. Calculer les premiers termes d’une suite, 12 août 2020, 08:01, par mac-lorry
Bonjour Je dois determiner U2 puis U1 et U3. Avec :
U1 x U3=4
U1+U2+U3=7
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 12 août 2020, 17:57, par Neige
Bonjour mac-lorry,
Si on ne connaît pas la nature de la suite (Un), il n’est pas possible de déterminer une valeur unique pour U2...
Sais-tu si (Un) est arithmétique ou bien géométrique ?
A bientôt !
neige
9. Calculer les premiers termes d’une suite, 30 décembre 2020, 14:50, par Nina
Bonjour
Je souhaite répondre à ces deux questions :
Soit (Un) la suite définie par U0 = 4 et Un+1 = 1,2Un - 40
Soit la suite définie par Vn = Un - 200
(On a démontrer dans les premières questions que Vn est une suite géométrique de raison 1,2)
5. Calculer la somme des 15 premiers termes de la suite (V𝑛)
6. En déduire la somme des 15 premiers termes de la suite (U𝑛)
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 30 décembre 2020, 15:43, par Neige
Bonjour Nina,
Je vais essayer de t’aider.
Tout d’abord, si tu sais que la suite (Vn) est géométrique de raison 1,2 et de premier terme V0 = - 196, tu peux calculer la somme des 15 premiers termes à l’aide de la formule suivante que tu as dû voir en cours :
somme = V0 × (1 - raison^(nombre de termes)) / (1 - raison)
Ici, cela donne :
- 196 × (1 - 1,2^15) / (1 - 1,2)
Je te laisse faire le calcul.
Ensuite, pour la question 6, c’est plus compliqué car la formule précédente n’est vraie que pour les suites géométriques (et (Un) n’est pas géométrique).
Toutefois, tu peux remarquer que Un = Vn + 200
Donc somme(Vn) = somme(Vn) + somme(200)
(j’écris somme pour indiquer la somme des 15 premiers termes)
Or tu viens déjà de calculer somme(Vn).
Par ailleurs, somme(200) est simplement la somme des 15 premiers termes de la suite constante égale à 200, c’est à dire :
200 + 200 + 200 + ... + 200, ou, plus simplement : 200 × 15.
J’espère que cela va t’aider à avancer !
Bon courage et n’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair.
Neige
10. Calculer les premiers termes d’une suite, 2 janvier, 16:49, par joana
Bonjour, je dois définir si la suite (un) définie par u0=1 et par la relation de récurrence un+1=1/2un+1/4 est arithmétique ou géométrique
Merci beaucoup
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 3 janvier, 20:57, par Neige
Bonjour Joana !
Je te conseille de commencer par calculer les 3 premiers termes.
Tu regarderas ensuite si on ajoute le même nombre pour passer du 1er au 2ème et pour passer du 2ème au 3ème. Si ce n’est pas le cas, tu peux directement conclure que ce n’est pas une suite arithmétique.
Tu peux regarder, de façon analogue, si on multiplie par le même nombre pour passer du 1er au 2ème et pour passer du 2ème au 3ème. Si ce n’est pas le cas, tu peux directement conclure que ce n’est pas une suite géométrique.
Cette petite étude te permettra de conclure sur ton exercice.
Le problème, c’est que cette méthode ne permet que de montrer qu’une suite n’est pas arithmétique ou géométrique. Pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, il y a d’autres méthodes que tu trouveras, par exemple ici : Montrer qu’une suite est géométrique
Voilà, j’espère t’avoir été utile.
Bon courage !
Neige
11. Calculer les premiers termes d’une suite, 26 janvier, 16:26, par arnaud
Bonjour. je dois faire un problème où on considère la suite UN=4 donc Calculer les 5 premiers termes de la suite.
merci beaucoup
1. Calculer les premiers termes d’une suite, 27 janvier, 14:41, par Neige
Bonjour arnaud !
C’est une question originale, merci de l’avoir posée :-)
En fait, si ta suite (Un) est définie pour tout n par Un=4 alors :
U0=4, U1=4, U2=4, ....U250=4... etc
C’est ce qu’on appelle une suite constante : tous les termes valent 4.
J’espère que c’est un peu plus clair pour toi.
Bon courage !
Neige