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Calculer les premiers termes d’une suite

dimanche 18 décembre 2016, par Neige

Méthode

On considère une suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction donnée. De plus, le premier terme $u_0$ est également connu.

Si l’exercice demande de calculer $u_1$, on peut se servir de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $0$.
On obtient alors $u_{0+1}=f(u_0)$, c’est à dire $u_{1}=f(u_0)$.
Comme $f$ et $u_0$ sont donnés, c’est terminé.

Si, par la suite, l’exercice demande de calculer $u_2$, on raisonne de façon analogue. On utilise à nouveau la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $1$.
On obtient alors $u_{1+1}=f(u_1)$, c’est à dire $u_{2}=f(u_1)$.
Comme $f$ est connue et $u_1$ vient d’être calculé, c’est terminé.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-3$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6 \\$.
    Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=-2\times u_{0}+6$, c’est à dire $u_{1}=-2\times u_{0}+6 \\ \qquad =-2\times (-3)+6 \\ \qquad =6+6 \\ \qquad =12 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=-2\times u_{1}+6$, c’est à dire $u_{2}=-2\times u_{1}+6 \\ \qquad =-2\times (12)+6 \\ \qquad =-24+6 \\ \qquad =-18$

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. De plus, on sait que $u_{0}=4$ et $u_{1}=3 \\$.
    Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$.
Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+2}=3\times u_{0+1}-2\times u_{0}$, c’est à dire $u_{2}=3\times u_{1}-2\times u_{0} \\ \qquad =3\times 3-2\times 4 \\ \qquad =9-8 \\ \qquad =1 \\$

Pour calculer $u_{3}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+2}=3\times u_{1+1}-2\times u_{1}$, c’est à dire $u_{3}=3\times u_{2}-2\times u_{1} \\ \qquad =3\times 1-2\times 3 \\ \qquad =3-6 \\ \qquad =-3 \\$

  • Niveau difficile
    On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-2$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1} \\$.
    Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=(0+1) \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1}$, c’est à dire $u_{1}=1 \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1} \\ \qquad =\frac{-2-1}{(-2)^2+1} \\ \qquad =\frac{-3}{4+1} \\ \qquad =\frac{-3}{5} \\ \qquad =-0,6 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=(1+1) \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1}$, c’est à dire $u_{2}=2 \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-0,6-1}{(-0,6)^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{0,36+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{1,36} \\ \qquad =\frac{-40}{17} \\ \qquad \approx -2,35$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Soit (Un) définie pas tout entier non nul :
    Un=-4n2-4n+5
    calculer les 5 premiers termes
    (le 2 après -4n veut dire au carré )

  • Boujour, il faut que je démontre que la suite est croissante à l’aide de Un+1>Un
    (y’a une barre en dessous de >)
    Un=-4n2-4n+8
    (le 2 après -4n veut dire au carré)

    • Bonjour dupuis,
      Pour cela, tu peux calculer U(n+1)-U(n) et regarder le signe de l’expression obtenue.
      Si cette expression est négative, cela signifie que la suite est décroissante. Si cette expression est positive, cela signifie que la suite est croissante.
      Voici le début :
      U(n+1)-U(n) = ( -4(n+1)²-4(n+1)+8 ) - ( -4n²-4n+8 )
      = ( -4(n²+2n+1)-4(n+1)+8 ) - ( -4n²-4n+8 )
      = ...
      (tu devrais obtenir une expression de signe négatif et donc une suite décroissante).
      Bon courage !
      Neige

  • Je veux calculer les cinque premier termes dans chacun des cas suivants (Un) est une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r
    Exemple
    U1=1. r=1
    U10=1. r=5
    Aider moi je veux bien comprendre et démarré

    • Bonjour !
      Merci pour ce message, voici quelques informations pour trouver l’expression d’une suite arithmétique lorsqu’on connaît U1 ou U2 ou U10 ainsi que la raison r.

      Pour une suite (Un) arithmétique, on dispose de plusieurs formules donnant l’expression du terme général :
      Un=U0+n×r
      Un=U1+(n-1)×r
      Un=U2+(n-2)×r
      Un=U3+(n-3)×r
      etc...
      Il te suffit de choisir celle qui te convient en fonction des données de l’énoncé.
      Par exemple, pour ton 1er exemple, tu peux utiliser Un=U1+(n-1)×r et remplacer U1 et r par leurs valeurs.
      Je te laisse faire mais n’hésite pas à écrire si tu n’y arrives pas ou bien si tu n’as pas vu ces formules en cours (dans ce cas, il y a une autre façon d’arriver au résultat).
      Bon courage !
      Neige

  • 1 U0=-2
    Un+1=¼Un+3

    • Bonjour Yasmina !
      Regarde bien la vidéo de l’article, cela devrait t’aider.
      Voici toutefois quelques indications :

      Calcul de U(0)
      U(0) est donné, c’est -2

      Calcul de U(1)
      On remplace n par 0 dans la relation U(n+1)=1/4×U(n)+3
      Cela donne : U(1)=1/4×U(0)+3
      Comme tu connais U(0), tu peux ainsi calculer U(1).

      Calcul de U(2)
      On remplace n par 1 dans la relation U(n+1)=1/4×U(n)+3
      ...

      Je te laisse continuer, n’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair.
      Bon courage !
      Neige

  • Soit la suite Un definie par : U1=4/5 ;et Un+1=1/2-Un. Calculer U2 ;U3 ;U4. On pose Vn=1/1-Un. Montrer que Vn est une suite arithmetique. Exprimer Vn puis Un en function n

    • Bonjour mertil edna,
      Je vais d’abord t’aider à répondre à ta première question : remplace n par 1 dans la relation "Un+1=1/2-Un" (partout où il y a des n). Comme tu connais déjà U1, cela te permettra de calculer U2.
      Tu pourras ensuite remplacer n par 2 puis par 3, ...

      Reviens par ici si ce n’est pas clair.
      Courage !
      Neige

  • Bonjour
    on me donne le programme python suivant
    def terme_U(n) :
    U=1
    for i in range (1, n+1) :
    U=0.1*U**2+U
    return(U)
    dans une question on me demande de conjecturer la limite de cette suite ???
    merci pour votre aide

    • Bonjour dupuis,

      En fait, il faudrait calculer plusieurs termes de la suite définie dans ton programme et voir ce que cela donne. Tu pourrais ainsi conjecturer (c’est à dire émettre une hypothèse) sur la limite. Par exemple, si la suite a pour valeurs : 1 - 8 - 52 - 3256 - ... on peut conjecturer que la limite est + infini. Ce n’est pas une preuve mais c’est une conjecture.

      Voici une piste :
      A l’aide de ton programme, on peut voir que ta suite (U(n)) est définie par U(0)=1 et pour tout entier n, U(n+1)=0,1×U(n)²+U(n).
      Alors U(1)=1,1 puis U(2)=1,221 etc...

      Reviens par ici si ce n’est pas clair.
      Bon courage !
      Neige

  • bonjour, je dois calculer u1 et u33 sachant que S33=0 et que la raison r=-7. Je ne sais pas du tout comment faire aidez moi sil vous plait.

    • Bonjour Charlotte !
      Il faudrait que tu donnes des précisions : quelle est la nature de la suite dont tu parles, est-elle arithmétique ou géométrique ? Par ailleurs, S(n) représente-elle la somme des termes entre u(0) et u(n) ou bien entre u(1) et u(n) ?
      Dans le cas où u serait arithmétique et S(n) représenterait la somme des termes entre u(1) et u(n), voici deux formules qui pourraient t’aider :

      • Pour tout entier n, u(n)=u(1)+(n-1)×raison.
        Ici, r=-7 et en appliquant cette formule pour n=33, on obtient :
        u(33)=u(1)+32×(-7). C’est à dire u(33)=u(1)-224
      • Pour tout entier n, S(n)=n×(u(1)+u(n))/2
        En appliquant cette formule pour n=33, on obtient :
        S(33)=33×(u(1)+u(33))/2. C’est à dire 0=33×(u(1)+u(33))/2

      Ces deux équations devraient t’aider à résoudre ton problème.
      Bon courage à toi et reviens par ici si ce n’est pas clair !
      Neige

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