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Calculer les premiers termes d’une suite

dimanche 18 décembre 2016, par Neige

Méthode

On considère une suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction donnée. De plus, le premier terme $u_0$ est également connu.

Si l’exercice demande de calculer $u_1$, on peut se servir de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $0$.
On obtient alors $u_{0+1}=f(u_0)$, c’est à dire $u_{1}=f(u_0)$.
Comme $f$ et $u_0$ sont donnés, c’est terminé.

Si, par la suite, l’exercice demande de calculer $u_2$, on raisonne de façon analogue. On utilise à nouveau la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $1$.
On obtient alors $u_{1+1}=f(u_1)$, c’est à dire $u_{2}=f(u_1)$.
Comme $f$ est connue et $u_1$ vient d’être calculé, c’est terminé.

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D’autres exemples pour s’entraîner

Niveau facile
On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-3$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6 \\$.
Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.

Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=-2\times u_{0}+6$, c’est à dire $u_{1}=-2\times u_{0}+6 \\ \qquad =-2\times (-3)+6 \\ \qquad =6+6 \\ \qquad =12 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=-2\times u_{1}+6$, c’est à dire $u_{2}=-2\times u_{1}+6 \\ \qquad =-2\times (12)+6 \\ \qquad =-24+6 \\ \qquad =-18$

Niveau moyen
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. De plus, on sait que $u_{0}=4$ et $u_{1}=3 \\$.
Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$.

Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+2}=3\times u_{0+1}-2\times u_{0}$, c’est à dire $u_{2}=3\times u_{1}-2\times u_{0} \\ \qquad =3\times 3-2\times 4 \\ \qquad =9-8 \\ \qquad =1 \\$

Pour calculer $u_{3}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+2}=3\times u_{1+1}-2\times u_{1}$, c’est à dire $u_{3}=3\times u_{2}-2\times u_{1} \\ \qquad =3\times 1-2\times 3 \\ \qquad =3-6 \\ \qquad =-3 \\$

Niveau difficile
On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-2$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1} \\$.
Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.

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On sait que pour tout entier naturel $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=(0+1) \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1}$, c’est à dire $u_{1}=1 \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1} \\ \qquad =\frac{-2-1}{(-2)^2+1} \\ \qquad =\frac{-3}{4+1} \\ \qquad =\frac{-3}{5} \\ \qquad =-0,6 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=(1+1) \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1}$, c’est à dire $u_{2}=2 \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-0,6-1}{(-0,6)^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{0,36+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{1,36} \\ \qquad =\frac{-40}{17} \\ \qquad \approx -2,35$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 2 de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question A.1 de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question 2a de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.

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