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Calculer les premiers termes d’une suite

dimanche 18 décembre 2016, par Neige

Méthode

On considère une suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction donnée. De plus, le premier terme $u_0$ est également connu.

Si l’exercice demande de calculer $u_1$, on peut se servir de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $0$.
On obtient alors $u_{0+1}=f(u_0)$, c’est à dire $u_{1}=f(u_0)$.
Comme $f$ et $u_0$ sont donnés, c’est terminé.

Si, par la suite, l’exercice demande de calculer $u_2$, on raisonne de façon analogue. On utilise à nouveau la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $1$.
On obtient alors $u_{1+1}=f(u_1)$, c’est à dire $u_{2}=f(u_1)$.
Comme $f$ est connue et $u_1$ vient d’être calculé, c’est terminé.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-3$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6 \\$.
    Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=-2\times u_{0}+6$, c’est à dire $u_{1}=-2\times u_{0}+6 \\ \qquad =-2\times (-3)+6 \\ \qquad =6+6 \\ \qquad =12 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=-2\times u_{1}+6$, c’est à dire $u_{2}=-2\times u_{1}+6 \\ \qquad =-2\times (12)+6 \\ \qquad =-24+6 \\ \qquad =-18$

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. De plus, on sait que $u_{0}=4$ et $u_{1}=3 \\$.
    Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$.
Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+2}=3\times u_{0+1}-2\times u_{0}$, c’est à dire $u_{2}=3\times u_{1}-2\times u_{0} \\ \qquad =3\times 3-2\times 4 \\ \qquad =9-8 \\ \qquad =1 \\$

Pour calculer $u_{3}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+2}=3\times u_{1+1}-2\times u_{1}$, c’est à dire $u_{3}=3\times u_{2}-2\times u_{1} \\ \qquad =3\times 1-2\times 3 \\ \qquad =3-6 \\ \qquad =-3 \\$

  • Niveau difficile
    On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-2$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1} \\$.
    Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.
Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=(0+1) \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1}$, c’est à dire $u_{1}=1 \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1} \\ \qquad =\frac{-2-1}{(-2)^2+1} \\ \qquad =\frac{-3}{4+1} \\ \qquad =\frac{-3}{5} \\ \qquad =-0,6 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=(1+1) \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1}$, c’est à dire $u_{2}=2 \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-0,6-1}{(-0,6)^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{0,36+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{1,36} \\ \qquad =\frac{-40}{17} \\ \qquad \approx -2,35$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Soit (Un) définie pas tout entier non nul :
    Un=-4n2-4n+5
    calculer les 5 premiers termes
    (le 2 après -4n veut dire au carré )

  • Boujour, il faut que je démontre que la suite est croissante à l’aide de Un+1>Un
    (y’a une barre en dessous de >)
    Un=-4n2-4n+8
    (le 2 après -4n veut dire au carré)

    • Bonjour dupuis,
      Pour cela, tu peux calculer U(n+1)-U(n) et regarder le signe de l’expression obtenue.
      Si cette expression est négative, cela signifie que la suite est décroissante. Si cette expression est positive, cela signifie que la suite est croissante.
      Voici le début :
      U(n+1)-U(n) = ( -4(n+1)²-4(n+1)+8 ) - ( -4n²-4n+8 )
      = ( -4(n²+2n+1)-4(n+1)+8 ) - ( -4n²-4n+8 )
      = ...
      (tu devrais obtenir une expression de signe négatif et donc une suite décroissante).
      Bon courage !
      Neige

  • Je veux calculer les cinque premier termes dans chacun des cas suivants (Un) est une suite arithmétique de premier terme U1 et de raison r
    Exemple
    U1=1. r=1
    U10=1. r=5
    Aider moi je veux bien comprendre et démarré

    • Bonjour !
      Merci pour ce message, voici quelques informations pour trouver l’expression d’une suite arithmétique lorsqu’on connaît U1 ou U2 ou U10 ainsi que la raison r.

      Pour une suite (Un) arithmétique, on dispose de plusieurs formules donnant l’expression du terme général :
      Un=U0+n×r
      Un=U1+(n-1)×r
      Un=U2+(n-2)×r
      Un=U3+(n-3)×r
      etc...
      Il te suffit de choisir celle qui te convient en fonction des données de l’énoncé.
      Par exemple, pour ton 1er exemple, tu peux utiliser Un=U1+(n-1)×r et remplacer U1 et r par leurs valeurs.
      Je te laisse faire mais n’hésite pas à écrire si tu n’y arrives pas ou bien si tu n’as pas vu ces formules en cours (dans ce cas, il y a une autre façon d’arriver au résultat).
      Bon courage !
      Neige

  • 1 U0=-2
    Un+1=¼Un+3

    • Bonjour Yasmina !
      Regarde bien la vidéo de l’article, cela devrait t’aider.
      Voici toutefois quelques indications :

      Calcul de U(0)
      U(0) est donné, c’est -2

      Calcul de U(1)
      On remplace n par 0 dans la relation U(n+1)=1/4×U(n)+3
      Cela donne : U(1)=1/4×U(0)+3
      Comme tu connais U(0), tu peux ainsi calculer U(1).

      Calcul de U(2)
      On remplace n par 1 dans la relation U(n+1)=1/4×U(n)+3
      ...

      Je te laisse continuer, n’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair.
      Bon courage !
      Neige

  • Soit la suite Un definie par : U1=4/5 ;et Un+1=1/2-Un. Calculer U2 ;U3 ;U4. On pose Vn=1/1-Un. Montrer que Vn est une suite arithmetique. Exprimer Vn puis Un en function n

    • Bonjour mertil edna,
      Je vais d’abord t’aider à répondre à ta première question : remplace n par 1 dans la relation "Un+1=1/2-Un" (partout où il y a des n). Comme tu connais déjà U1, cela te permettra de calculer U2.
      Tu pourras ensuite remplacer n par 2 puis par 3, ...

      Reviens par ici si ce n’est pas clair.
      Courage !
      Neige

  • Bonjour
    on me donne le programme python suivant
    def terme_U(n) :
    U=1
    for i in range (1, n+1) :
    U=0.1*U**2+U
    return(U)
    dans une question on me demande de conjecturer la limite de cette suite ???
    merci pour votre aide

    • Bonjour dupuis,

      En fait, il faudrait calculer plusieurs termes de la suite définie dans ton programme et voir ce que cela donne. Tu pourrais ainsi conjecturer (c’est à dire émettre une hypothèse) sur la limite. Par exemple, si la suite a pour valeurs : 1 - 8 - 52 - 3256 - ... on peut conjecturer que la limite est + infini. Ce n’est pas une preuve mais c’est une conjecture.

      Voici une piste :
      A l’aide de ton programme, on peut voir que ta suite (U(n)) est définie par U(0)=1 et pour tout entier n, U(n+1)=0,1×U(n)²+U(n).
      Alors U(1)=1,1 puis U(2)=1,221 etc...

      Reviens par ici si ce n’est pas clair.
      Bon courage !
      Neige

  • bonjour, je dois calculer u1 et u33 sachant que S33=0 et que la raison r=-7. Je ne sais pas du tout comment faire aidez moi sil vous plait.

    • Bonjour Charlotte !
      Il faudrait que tu donnes des précisions : quelle est la nature de la suite dont tu parles, est-elle arithmétique ou géométrique ? Par ailleurs, S(n) représente-elle la somme des termes entre u(0) et u(n) ou bien entre u(1) et u(n) ?
      Dans le cas où u serait arithmétique et S(n) représenterait la somme des termes entre u(1) et u(n), voici deux formules qui pourraient t’aider :

      • Pour tout entier n, u(n)=u(1)+(n-1)×raison.
        Ici, r=-7 et en appliquant cette formule pour n=33, on obtient :
        u(33)=u(1)+32×(-7). C’est à dire u(33)=u(1)-224
      • Pour tout entier n, S(n)=n×(u(1)+u(n))/2
        En appliquant cette formule pour n=33, on obtient :
        S(33)=33×(u(1)+u(33))/2. C’est à dire 0=33×(u(1)+u(33))/2

      Ces deux équations devraient t’aider à résoudre ton problème.
      Bon courage à toi et reviens par ici si ce n’est pas clair !
      Neige

  • Bonjour Je dois determiner U2 puis U1 et U3. Avec :
    U1 x U3=4
    U1+U2+U3=7

  • Bonjour
    Je souhaite répondre à ces deux questions :

    Soit (Un) la suite définie par U0 = 4 et Un+1 = 1,2Un - 40
    Soit la suite définie par Vn = Un - 200
    (On a démontrer dans les premières questions que Vn est une suite géométrique de raison 1,2)

    5. Calculer la somme des 15 premiers termes de la suite (V𝑛)
    6. En déduire la somme des 15 premiers termes de la suite (U𝑛)

    • Bonjour Nina,
      Je vais essayer de t’aider.
      Tout d’abord, si tu sais que la suite (Vn) est géométrique de raison 1,2 et de premier terme V0 = - 196, tu peux calculer la somme des 15 premiers termes à l’aide de la formule suivante que tu as dû voir en cours :
      somme = V0 × (1 - raison^(nombre de termes)) / (1 - raison)
      Ici, cela donne :
      - 196 × (1 - 1,2^15) / (1 - 1,2)
      Je te laisse faire le calcul.

      Ensuite, pour la question 6, c’est plus compliqué car la formule précédente n’est vraie que pour les suites géométriques (et (Un) n’est pas géométrique).
      Toutefois, tu peux remarquer que Un = Vn + 200
      Donc somme(Vn) = somme(Vn) + somme(200)
      (j’écris somme pour indiquer la somme des 15 premiers termes)
      Or tu viens déjà de calculer somme(Vn).
      Par ailleurs, somme(200) est simplement la somme des 15 premiers termes de la suite constante égale à 200, c’est à dire :
      200 + 200 + 200 + ... + 200, ou, plus simplement : 200 × 15.

      J’espère que cela va t’aider à avancer !
      Bon courage et n’hésite pas à revenir si ce n’est pas clair.
      Neige

  • Bonjour, je dois définir si la suite (un) définie par u0=1 et par la relation de récurrence un+1=1/2un+1/4 est arithmétique ou géométrique
    Merci beaucoup

    • Bonjour Joana !
      Je te conseille de commencer par calculer les 3 premiers termes.

      Tu regarderas ensuite si on ajoute le même nombre pour passer du 1er au 2ème et pour passer du 2ème au 3ème. Si ce n’est pas le cas, tu peux directement conclure que ce n’est pas une suite arithmétique.

      Tu peux regarder, de façon analogue, si on multiplie par le même nombre pour passer du 1er au 2ème et pour passer du 2ème au 3ème. Si ce n’est pas le cas, tu peux directement conclure que ce n’est pas une suite géométrique.

      Cette petite étude te permettra de conclure sur ton exercice.
      Le problème, c’est que cette méthode ne permet que de montrer qu’une suite n’est pas arithmétique ou géométrique. Pour montrer qu’une suite est arithmétique ou géométrique, il y a d’autres méthodes que tu trouveras, par exemple ici : Montrer qu’une suite est géométrique

      Voilà, j’espère t’avoir été utile.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour. je dois faire un problème où on considère la suite UN=4 donc Calculer les 5 premiers termes de la suite.

    merci beaucoup

    • Bonjour arnaud !
      C’est une question originale, merci de l’avoir posée :-)
      En fait, si ta suite (Un) est définie pour tout n par Un=4 alors :
      U0=4, U1=4, U2=4, ....U250=4... etc
      C’est ce qu’on appelle une suite constante : tous les termes valent 4.
      J’espère que c’est un peu plus clair pour toi.
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour,

    j’ai un problème, voilà !
    on me dit

    U1=2 pour tout entier naturel non nul n de N*,
    Un+1=Un-1/2
    Calculer U2,U3,U4 et U5.

    Ensuite on me demande d’exprimer Un en fonction de n

    et de calculer U12 et S12=U1+U2+...+U12.
    je n’arrive pas à résoudre ce problème si vous pouvez m’aider ce serait super gentil de votre part.

    • Bonjour Hilary,
      Voici un peu d’aide.
      Tout repose sur la définition de ta suite :
      U(n+1) = U(n) - 1/2

      Pour calculer U(2), tu peux utiliser cette relation en remplaçant n par 1.
      Cela donne U(1+1) = U(1) - 1/2
      C’est à dire : U(2) = U(1) - 1/2
      Comme U(1) = 2 (c’est écrit dans ton énoncé), alors :
      U(2) = 2 - 1/2 = 1,5

      Pour calculer U(3), c’est presque pareil : tu utilises la relation U(n+1) = U(n) - 1/2 en remplaçant n par 2 cette fois.
      U(2+1) = U(2) - 1/2
      C’est à dire : U(3) = U(2) - 1/2
      Comme U(2) = 1,5 alors U(3) = 1,5 -1/2 = 1

      Et tu continues sur le même principe. Tu vas voir qu’il y a une logique entre un terme et le suivant et que tu n’es pas obligé de faire toutes les étapes à chaque fois. Toutefois, je te laisse faire car il est important que tu comprennes bien la méthode que je t’ai présentée.

      Une fois que tu auras compris la logique, la question sur S12 te paraîtra facile, j’en suis sûr.

      N’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair. A bientôt !
      Neige

  • Bonjour,
    On me dit : On considère la suite (Un) définie par : Un= n2( au carré) +1
    Il faut calculer U0, U1 et U2
    On nous demande si elle semble arithmétique

    Pouvez vous m’éclairer ? Merci

    • Bonjour Sarah,
      Voici un peu d’aide.

      En fait, tu peux voir une suite comme une fonction :
      U(n) = n^2 + 1 (j’utilise ^2 pour dire "au carré").
      Si tu veux calculer U0, tu as juste à remplacer n par 0 :
      U(0) = 0^2 + 1 = 1

      Je te laisse calculer U(1) et U(2) sur ce modèle.

      Maintenant, il faut que tu saches qu’une suite arithmétique est une suite dans laquelle on passe d’un terme au suivant en ajoutant (ou soustrayant) toujours la même chose.

      Est-ce qu’ici, on passe de U(0) à U(1) en ajoutant la même chose que pour passer de U(1) à U(2) ?

      Je te donne un exemple (qui n’est pas celui de l’énoncé) : supposons que U(0) = 8, U(1) = 10 et U(2) = 14.
      On voit que pour passer de U(0) à U(1), on ajoute 2. Cependant, pour passer de U(1) à U(2), on ajoute 4.
      Cette suite ne peut donc pas être arithmétique.

      J’espère que cela t’a aidé ! Bon courage en tout cas :-)
      Neige

  • Bonjour.
    Il faut montrer que ces suites soient géométriques et déterminer sa raison et son premier terme.

    A) Un=(-4)^2n+1
    B)Un=2^n*(1/3n+1)
    C)Wn=(-1)^n*2^3n+1

    Merci beaucoup pour votre soutient si vous pouvez m’aider maintenant ce serait tout simplement géniale car c’est pour demain merci beaucoup

    • Bonjour,

      Montrer qu’une suite (Un) est géométrique revient à montrer que, pour tout entier n,
      U(n+1) = k × U(n) où k est un nombre qui ne dépend pas de n.

      Par exemple, pour le A,
      U(n) = (-4)^(2n + 1) pour tout n
      Donc U(n + 1) = (-4)^(2(n + 1) + 1)
      = (-4)^(2n + 3)
      = (-4)^(2n + 1 + 2)
      = (-4)^(2n + 1) × (-4)^2
      = U(n) × 16
      La suite est donc géométrique de raison 16 et de premier terme U(0) = -4

      Une autre façon de faire est de calculer U(n + 1) / U(n) et regarder si le résultat est un nombre indépendant de n (dans ce cas, c’est la raison) :
      U(n + 1) / U(n) = (-4)^(2(n + 1) + 1) / (-4)^(2n + 1)
      = (-4)^(2n + 3) / (-4)^(2n + 1)
      = (-4)^[(2n + 3) - (2n + 1)]
      = (-4)^2
      = 16
      Et on arrive au même résultat : la suite est géométrique de raison 16.

      Je te laisse poursuivre en espérant que cet exemple t’a donné quelques pistes.
      Bon courage !
      Neige

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