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Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 3

vendredi 11 mai 2018, par Neige

Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 3
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=65$ et pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=0,8u_n+18$


1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

Relire la méthode : Calculer les premiers termes d’une suite.

Voir la solution

On utilise la relation $u_{n+1}=0,8u_n+18$ pour $n=0$. On obtient alors :
$\begin{align} u_{0+1} & =0,8u_0+18 \\ u_{1} & =0,8u_0+18 \\ & =0,8\times 65+18 \\ & =70 \end{align}$

On utilise de nouveau la relation $u_{n+1}=0,8u_n+18$ pour $n=1$ cette fois. On obtient alors :
$\begin{align} u_{1+1} & =0,8u_1+18 \\ u_{2} & =0,8u_1+18 \\ & =0,8\times 70+18 \\ & =74 \end{align}$


2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-90$.


a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur de $v_0$.

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-90$ d’après l’énoncé
$\qquad=(0,8u_n+18)-90$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression
$\qquad=0,8u_n-72$
$\qquad =0,8\times (u_n-90)$ en factorisant par 0,8
$\qquad =0,8\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-90=65-90=-25$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.


b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=90-25\times 0,8^n$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

D’après la question précédente, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-25\times 0,8^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n=u_n-90$ alors $u_n=90+v_n=90-25\times 0,8^n$.


3. On considère l’algorithme ci-dessous :

ligne 1  : u ← 65
ligne 2  : n ← 0
ligne 3  : Tant que .........
ligne 4  :        n ← n +1
ligne 5  :        u ← 0,8×u +18
ligne 6  : Fin Tant que


a. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu’il détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\geq 85$.

Relire la méthode : Ecrire un algorithme de seuil.

Voir la solution

L’algorithme calcule les termes successifs de $(u_n)$ et doit continuer tant que la condition $u_n \lt 85$ est vraie. Il s’arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c’est à dire lorsque $u_n \geq 85$.
On peut donc compléter la ligne 3 ainsi :

ligne 3  : Tant que u<0,85


b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l’exécution de l’algorithme ?

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

Exécutons pas à pas cet algorithme.

$u=65 \\ n=0$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=1 \\ u=0,8\times 65 +18=70$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=2 \\ u=0,8\times 70 +18=74$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=3 \\ u=0,8\times 74 +18=77,2$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=4 \\ u=0,8\times 77,2 +18=79,76$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=5 \\ u=0,8\times 79,76 +18=81,808$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=6 \\ u=0,8\times 81,808 +18\approx 83,45$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=7 \\ u\approx 0,8\times 83,45 +18\approx 84,76$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=8 \\ u\approx 0,8\times 84,76 +18\approx 85,81$
La condition $u\lt 0,85$ est fausse, on sort du "Tant que" et l’algorithme s’arrête.
La valeur de $n$ lorsque l’algorithme est arrêté est 8.


c. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l’inéquation $u_n\geq 85$.

Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

$\begin{align} u_n\geq 85 & \Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n \geq 85 \\ & \Leftrightarrow -25\times 0,8^n \geq -5 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq \frac{-5}{-25} \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq 0,2 \\ & \Leftrightarrow \ln(0,8^n) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,8) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \\ \end{align}$
Or $\frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}\approx 7,21$. Par conséquent, le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\geq 85$ est $n=8$.


4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d’un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l’agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52 € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
• d’un mois à l’autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;
• chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l’abonnement.


a. Justifier que la suite $(u_n)$ permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

On peut schématiser la situation de la façon suivante où $(w_n)$ est la suite qui correspond à l’énoncé de la question 4 :
JPEG
Comme réaliser une diminution de 20 % revient à multiplier par 0,8, on peut conclure que $w_{n+1}=0,8w_n+18$ avec, par ailleurs, $w_0=65$.
Cette suite $(w_n)$ est, par conséquent, la suite $(u_n)$. C’est donc bien la suite $(u_n)$ qui permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.


b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420 € durant l’année 2018 ? Justifier la réponse.

Voir la solution

La recette mensuelle de la société Biocagette est constituée des frais d’abonnement de chaque particulier (52 €). Une recette de 4 420 € correspond donc à $\frac{4420}{52}=85$ abonnés. La question est donc de savoir si durant l’année 2018, l’entreprise va atteindre 85 abonnés. Or, nous avons résolu l’inéquation $u_n\geq 85$ à la question 3c.
$u_n\geq 85$ à partir de $n=8$.
Par conséquent, c’est à partir du mois de "juillet 2017 + 8 mois", c’est à dire mars 2018, que l’entreprise dépassera 85 abonnés.
La recette mensuelle de la société Biocagette va donc dépasser 4 420 € durant l’année 2018 (à partir mars 2018).


c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ? Argumenter la réponse.

Relire la méthode : Calculer la limite d’une suite géométrique.

Voir la solution

Calculons la limite de la suite $(u_n)$.
$0<0,8<1$ donc $\lim 0,8^n=0$.
Par produit par $-25$, $\lim -25\times 0,8^n=0$.
Par somme avec $90$, $\lim 90-25\times 0,8^n=90$.
Cela signifie qu’après un grand nombre de mois, le nombre d’abonnés sera proche de 90.
$90\times 52=4680$. On en déduit que la recette mensuelle de la société Biocagette tend vers 4 680 €.

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