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Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé)

samedi 10 mars 2018, par Neige

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l’aller et le retour.
• À l’aller, le bateau est choisi dans 65 % des cas.
• Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois sur 10.
• Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70 % des cas.

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :
• A : « le client choisit de faire l’aller en bateau » ;
• R : « le client choisit de faire le retour en bateau ».

On rappelle que si $E$ est un évènement, $P(E)$ désigne la probabilité de l’évènement $E$ et on note $\bar E$ l’évènement contraire de E.


1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

Relire les méthodes Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

L’énoncé permet d’écrire que $P(A)=0,65$, $P_A(R)=0,9$ et $P_{\bar A}(R)=0,7$.
D’où l’arbre :
PNG


2. On choisit au hasard un client de l’agence.


a. Calculer la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau.

Relire la méthode Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P(A \cap R)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$P(A \cap R)=P(A)\times P_A(R)$
$\qquad =0,65\times0,9$
$\qquad =0,585$
La probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau est de 0,585.


b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31.

Relire la méthode Calculer la probabilité d’une réunion avec un arbre.

Voir la solution

Pour utiliser les deux moyens de transport, il y a deux possibilités :
- avion à l’aller et bateau au retour.
- bateau à l’aller et avion au retour.
On demande donc de calculer $P(A \cap \bar R)+P(\bar A \cap R)$.
$\begin{align} & P(A \cap \bar R)+P(\bar A \cap R) \\ = & P(A)\times P_{A}(\bar R)+P(\bar A)\times P_{\bar A}(R) \\ = & 0,65 \times 0,1+0,35\times 0,7 \\ = & 0,31 \\ \end{align}$
La probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31


3. On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport. On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l’on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.


a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

Relire la méthode Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres.

Voir la solution

On considère l’épreuve consistant à choisir 1 client de l’agence.
- La probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est de 0,31 (d’après la question 2.b).
- On répète cette épreuve 20 fois dans des conditions identiques et indépendantes.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,31$ et $n=20$.


b. Déterminer la probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.

Relire la méthode Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Voir la solution

D’après le cours,
$\begin{align} P(X=12) & =\binom{20}{12}\times 0,31^{12}\times (1-0,31)^{20-12} \\ & \approx 0,005 \end{align}$
La probabilité qu’exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents est d’environ 0,5 %.


c. Déterminer la probabilité qu’il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.

Relire la méthode Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale.

Voir la solution

On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 2) & =1-P(X=0)-P(X=1) \\ & = 1-\binom{20}{0}\times 0,31^0\times 0,69^{20}-\binom{20}{1}\times 0,31^1\times 0,69^{19} \\ & \approx 1-0,0006-0,0054 \\ & \approx 0,994 \end{align}$
La probabilité qu’il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents est d’environ 99,4 %.


4. Le coût d’un trajet aller ou d’un trajet retour est de 1 560 € en bateau ; il est de 1 200 € en train.
On note Y la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.


a. Déterminer la loi de probabilité de Y .

Relire la méthode Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

Voir la solution

On complète l’arbre avec les coûts des voyages :
JPEG
Par conséquent,
$\begin{align} P(X=2400) & = P(\bar{A} \cap \bar{R}) \\ & = P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(\bar{R}) \\ & = 0,35 \times 0,3 \\ & = 0,105 \end{align}$

D’après la question 2.b,
$\begin{align} P(X=2760) & = P(A \cap \bar{R})+P(\bar{A} \cap R) \\ & = 0,31 \end{align}$

D’après la question 2.a,
$\begin{align} P(X=3120) & = P(A \cap R) \\ & = 0,585 \end{align}$
D’où la loi de probabilité de $Y$ :
JPEG


b. Calculer l’espérance mathématique de Y . Interpréter le résultat.

Relire la méthode Calculer l’espérance d’une variable aléatoire.

Voir la solution

$\begin{align} E(Y) & =0,105\times 2400+0,31\times 2760+0,585\times 3120 \\ & = 2932,80 € \end{align}$
En moyenne, sur un grand nombre de clients, le coût du trajet aller-retour est de 2932,80 €.

C’est terminé !

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