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Montrer qu’une suite est géométrique

jeudi 29 décembre 2016, par Neige

Méthode

Il existe différentes méthodes pour démontrer qu’une suite est géométrique.
On présente ici la plus classique en Terminale ES.

Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$.

Pour démontrer qu’un suite est géométrique, on peut donc montrer qu’elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{n}$.
Lors des épreuves de BAC, il est fréquent d’utiliser la rédaction suivante :
$u_{n+1}=... \qquad $(d’après la relation donnée dans l’énoncé)
$\\ \qquad =... \\ \qquad =a\times u_{n}$
Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $a$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=12$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-4$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_n-2$.
    Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d’après l’énoncé.
$\qquad =(3u_n-4)-2$ d’après l’énoncé.
$\qquad =3u_n-6$
$\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$.

  • Niveau difficile
    On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$.
    Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d’après l’énoncé.
$\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=\frac{u_0+1}{u_0-2}=\frac{8}{5}$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Je n’arrive pas a savoir si Un= 3n/n est une suite géométrique ou arithmétique et pourquoi ?

    • Bonjour, j’imagine que tu veux parler de la suite (Un) définie pour tout entier n non nul par U(n)=3^n/n.

      Pour montrer qu’une suite est arithmétique de raison r, tu peux montrer que, pour tout n, U(n+1)=U(n)+r où r est une constante.

      Pour montrer qu’une suite est géométrique de raison q, tu peux montrer que, pour tout n, U(n+1)=U(n) * q où q est une constante (comme dans cette méthode).

      Mais il existe également des suites qui ne sont ni arithmétiques, ni géométriques. C’est le cas de ta suite. En effet, U(1)=3, U(2)=4,5 et U(3)=9.
      Cette suite ne peut pas être arithmétique puisqu’on n’ajoute pas la même quantité pour passer de U(1) à U(2) (+1,5) que pour passer de U(2) à U(3) (+4,5).
      Cette suite ne peut pas être géométrique puisqu’on ne multiplie pas par la même quantité pour passer de U(1) à U(2) (*1,5) que pour passer de U(2) à U(3) (*2).

      Donc (Un) n’est ni arithmétique, ni géométrique.

  • Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique

    Un= 2x3^n+1 / 5n -> Un = a x q ^n
    = 2x 3^n + 3^1 / 5n

    Et la je bloque help s’il vous plaît

    • Bonjour !
      Je suppose que tu veux parler de la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par :
      U(n+1)=2*3^(n+1)/5^n (avec la puissance n au dénominateur)
      Dans ce cas, tu peux utiliser une autre méthode que celle décrite dans cet article : essaie de calculer U(n+1)/U(n). si tu trouves un nombre indépendant de n, alors (Un) est géométrique et le nombre est la raison de la suite.
      Comme U(n)=2*3^n/5^(n-1), tu devrais obtenir une suite géométrique de raison 3/5 (ou 0,6).
      Dis moi si tu bloques pour simplifier le calcul U(n+1)/U(n)

  • 1-montrer que (vn)n E R est geometrique de raison q=-1/2 et de premier terme v0=2
    2- exprimer bn en fonction de n
    3- en deduire que un= 2+(-1)^n/ 2^-1

    je bloque pour la question 1 mais je pense savoir la suite, si vous pouvez m’aidé

  • Bonjour

    On me demande de prouver qu’une suite est géométrique :

    v(n) = u(n)-1/u(n)+2
    Avec u(n+1) = 2/1+u(n)

    Voila je bloque, c’est a peu de choses près la même chose que l’exemple cité plus haut, mais je bloque sur une étape, à partir du moment où on multiplie par u(n)-1

    Merci de votre aide

    • Bonjour,
      Je suppose que tu veux parler des suites définies par :
      v(n) = [u(n)-1]/[u(n)+2]
      u(n+1) = 2/[1+u(n)]
      (avec les crochets)

      Alors, tu calcule v(n+1) et tu obtiens, après remplacement de u(n+1) par 2/[1+u(n)], des fractions de fractions.
      Voici mes conseils :
      - tu multiplies numérateur et dénominateur par 1+u(n), cela a pour effet de n’obtenir qu’une seule fraction : [1-u(n)]/[4+2u(n)]
      - ensuite, tu factorises le numérateur par -1 et le dénominateur par 2.

      J’imagine que c’est la 1ère étape qui te pose problème.
      Voici le numérateur de ta fraction : 2/[1+u(n)]-1
      On la multiplie par 1+u(n) et on obtient, par distributivité :
      2-(1+u(n)), c’est à dire 1-u(n).
      Voici le dénominateur de ta fraction : 2/[1+u(n)]+2
      On la multiplie par 1+u(n) et on obtient, par distributivité :
      2+2(1+u(n)), c’est à dire 4+2u(n).

      Je te laisse poursuivre, tu devrais obtenir une suite géométrique de raison -1/2.

      N’hésite pas à poser une autre question si ce n’est pas clair !

    • Re-bonjour Léa,
      Je réponds à ta question concernant la multiplication par u(n)-1.
      Tout d’abord, lorsque tu multiplies le numérateur et le dénominateur par ce même nombre, cela ne change rien et donc on a le droit de le faire.
      Ensuite, si tu multiplies une somme, tu dois multiplier chaque terme. c’est la distributivité.
      Ainsi, pour le numérateur,
      (2/[u(n)-1]+1])*(u(n)-1)=2/[u(n)-1]*(u(n)-1)+1*(u(n)-1)
      =2+u(n)-1=1+u(n)
      C’est similaire pour le dénominateur.
      Est ce que c’est plus clair ?

  • après avoir trouvé si la suite est géométrique on me demande :
    montrer que pour tout entier n : Un= 52000*1.04n-50000
    et la je ne sais pas quoi faire

  • Merci beaucoup Neige tu m’a été d’une très grande utilité.😀😀

  • Charline est une grande fan de cinema. Qand elle s’y rend, elle va toujours à celui qui se trouve juste à coter de chez elle le jeudi soir a la seance de 20h30. Elle a remarqué que :
    - si elle y est allé un jeudi il n’y a que 40% de chance qu’elle y aille le suivant.
    - si elle n’y est pas allé un jeudi il y a 80% de chance qu’elle y aille le suivant.
    Ce jeudi elle n’est pas allee au cinema. Quelle est la probabilité qu’elle y aille dans un an ( 52 semaines) ? On considere la suite (qn) par qn=pn-(4/7) ou pn est la probabilité que charline aille au cinema dans n semaines.
    je pense qu’il faut faire un arbre pondere mais je sais pas comment faire et ensuite il faut surement prouver que c’est une suite geometrique de raison r mais je ne sais pas dutout comment m’y prendre.
    Merci

  • Bonjour,

    J’ai un Dm à rendre pour la semaine prochaine et je bloque sur la reconnaissance de la suite. Pour moi, elle est géométrique mais je me demande si elle est aussi arithmétique. La formule de récurrence est Un+1= Un/3.
    Merci d’avance pour notre aide.

    • Bonjour Jojo13,
      Ta suite est clairement géométrique de raison 1/3 puisque, d’après ce que tu écris,
      U(n+1)=1/3 * U(n)
      Si le 1er terme de ta suite est nul, c’est à dire si U(0)=0, alors la suite est nulle et elle est aussi arithmétique de raison 0. Mais ça m’étonnerait que ce soit le cas dans ton DM.
      Si le 1er terme est non nul, impossible qu’elle soit arithmétique (calcule U(0), U(1) et U(2) pour t’en rendre compte ou le justifier).
      Bon courage !
      Neige

  • Bonjour, j’ai un dm à rendre dans quelque jour et je bloque complètement sur cette exercice.
    Soit U la suite définie sur N par U0=1 et Un+1=0,6Un+2
    Soit V la suite définie sur N par Vn=Un-5
    a) Démontrer que la suite V est géométrique.
    B) En déduire une expression de Vn puis de Vn en fonction de n.

    Merci d’avance pour votre aide.

  • Vn=Un-n
    avec Un+1= (2/3)Un+n+1 U0= 2

    1a. Montrer que Vn est une suite géometrique de raison : (racine de 2/9)
    b. Déduire que Un = 2(2/3)puissance n+n

  • bonjour , je suis bloquer à cette exercice ou il faut expliquer pourquoi cette suite est géométrique .

    (Un), définie sur N par Un=3×2n/3n

    merci d’avance

    • Bonjour Calmette,
      Tu peux écrire :
      U(n+1)=3×2^(n+1)/3^(n+1)
      Or, 2^(n+1)=2^n×2
      Tu fais pareil avec 3^(n+1)
      Et finalement, tu devrais voir que U(n+1)=U(n)×.../...
      Je te laisse trouver les ... mais n’hésite pas à poser des questions si tu n’y arrives pas.

      Une autre façon de faire est de remarquer que U(n) peut se mettre sous forme a×b^n, qui est une forme caractéristique des suites géométriques (cette méthode est sans doutes plus rapide).

      Courage !
      Neige

  • Bonjour, je n’arrive pas à prouver que la suite u est géométrique : un = 100x1,02^n-1 j’ai le premier terme u1= 100 et la raison 1,2 mais je n’arrive pas à appliquer la formule pour prouver qu’elle est géométrique avec : un+1/un

    Merci d’avance, en attendant une réponse de votre part.

    • Bonjour Cha,
      Il faut essayer d’exprimer u(n) et u(n+1) :
      u(n)=100×1,02^(n-1)
      u(n+1)=100×1,02^n
      donc u(n+1)/u(n)=100×1,02^n/[100×1,02^(n-1)], ce qui donne, après simplification ....1,02 ! Donc c’est fini, la suite est géométrique de raison 1,02.

      Autre méthode :
      u(n+1)=100×1,02^n
      = 100×1,02^(n-1)×1,02^1
      =u(n)×1,02 et c’est fini.

      J’espère que tu as compris. Si ce n’est pas le cas, n’hésite pas à revenir par ici.
      Neige

  • bonjour j aurai besoin d aide pour l exercice suivant :
    la suite Un est définie pas U0=1/2 et Un+1=3Un/(1+2Un)
    la suite Vn est définie par Vn=Un/(1-Un)
    démontrer que Vn est une suite géométrique et exprimer Vn en fonction de n, ainsi que Un en fonction de Vn
    j ai deja essayer de faire Vn+1=(Un+1)/(1-Un+1)
    mais j arrive a un résultat Vn+1=(3Un+6Un^2)/(-2Un^2+Un+1)
    et je reste bloquer a se niveaux je ne sais pas quoi faire.

    • Bonjour Matteo,
      Ta méthode est bonne mais il y a un problème de calcul.
      On repart de ton idée : V(n+1)=U(n+1)/(1-U(n+1))
      On sépare les calculs :
      U(n+1) = 3Un/(1+2Un)
      1-U(n+1) = 1-3Un/(1+2Un) = (1-Un)/(1+2Un)
      Par conséquent,
      V(n+1) = U(n+1)/(1-U(n+1))
      = 3×Un/(1-Un) car diviser, c’est multiplier par l’inverse et que les dénominateurs (1+2Un) s’éliminent.
      = 3×...

      J’espère que cela te sera utile !
      Neige

  • Bonjour j’ai un dm à rendre et je suis bloquée,

    c’est un vrai ou faux où on doit justifier chaque réponse et la première question c’est : La suite (un) est géométrique de raison (1/n+1/n^2)

    L’énoncé est : On considère la suite(un) définie par u1=1 et pour tout n de N*, un+1=(1/n+1/n^2)*un

    • Bonjour Bianca,
      Voici un rappel pour te mettre sur la voie : une suite est géométrique lorsqu’on peut passer d’un terme au suivant en multipliant par le même nombre constant. Ici, on multiplie par (1/n+1/n^2) mais ce nombre n’est pas toujours le même selon la valeur de n.

      Si ce n’est pas clair, essaie de calculer u2 puis u3, tu verras si on passe de u1 à u2 en multipliant par le même nombre que pour passer de u2 à u3.

      Reviens par ici si ce n’est pas clair.

      Courage !
      Neige

  • Bonjour j’ai un soucis avec mon exo de DM :
    On considere la suite Un definie par U0=1 et Un+1= 5Un + 3/Un + 3
    on pose Vn=Un-3/Un+1
    montrer que la suite Vn est géométrique en précisant la raison.

    Je n’arrive pas à trouver . Vous pouvez m’aidez s’il vous plait ?

    • Bonjour Oumayma !
      Essaie d’écrire à quoi est égal V(n+1) :
      V(n+1)=(U(n+1)-3)/(U(n+1)+1)
      Tu remplaces ensuite U(n+1) par (5U(n)+3)/(U(n)+3) car c’est l’expression qui est donnée dans l’énoncé.
      En simplifiant les calculs, tu obtiendras quelque chose de ce genre :
      V(n+1)=k×V(n)
      Cela prouvera la nature géométrique de cette suite V.
      Reviens par ici si tu n’y arrives pas.
      Courage !
      Neige

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