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Montrer qu’une suite est géométrique

jeudi 29 décembre 2016, par Neige

Méthode

Il existe différentes méthodes pour démontrer qu’une suite est géométrique.
On présente ici la plus classique en Terminale ES.

Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$.

Pour démontrer qu’un suite est géométrique, on peut donc montrer qu’elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{n}$.
Lors des épreuves de BAC, il est fréquent d’utiliser la rédaction suivante :
$u_{n+1}=... \qquad $(d’après la relation donnée dans l’énoncé)
$\\ \qquad =... \\ \qquad =a\times u_{n}$
Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $a$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=12$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-4$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_n-2$.
    Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d’après l’énoncé.
$\qquad =(3u_n-4)-2$ d’après l’énoncé.
$\qquad =3u_n-6$
$\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$.

  • Niveau difficile
    On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$.
    Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.
Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d’après l’énoncé.
$\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=\frac{u_0+1}{u_0-2}=\frac{8}{5}$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Je n’arrive pas a savoir si Un= 3n/n est une suite géométrique ou arithmétique et pourquoi ?

    • Bonjour, j’imagine que tu veux parler de la suite (Un) définie pour tout entier n non nul par U(n)=3^n/n.

      Pour montrer qu’une suite est arithmétique de raison r, tu peux montrer que, pour tout n, U(n+1)=U(n)+r où r est une constante.

      Pour montrer qu’une suite est géométrique de raison q, tu peux montrer que, pour tout n, U(n+1)=U(n) * q où q est une constante (comme dans cette méthode).

      Mais il existe également des suites qui ne sont ni arithmétiques, ni géométriques. C’est le cas de ta suite. En effet, U(1)=3, U(2)=4,5 et U(3)=9.
      Cette suite ne peut pas être arithmétique puisqu’on n’ajoute pas la même quantité pour passer de U(1) à U(2) (+1,5) que pour passer de U(2) à U(3) (+4,5).
      Cette suite ne peut pas être géométrique puisqu’on ne multiplie pas par la même quantité pour passer de U(1) à U(2) (*1,5) que pour passer de U(2) à U(3) (*2).

      Donc (Un) n’est ni arithmétique, ni géométrique.

  • Démontrer que la suite (Un) est une suite géométrique

    Un= 2x3^n+1 / 5n -> Un = a x q ^n
    = 2x 3^n + 3^1 / 5n

    Et la je bloque help s’il vous plaît

    • Bonjour !
      Je suppose que tu veux parler de la suite (Un) définie pour tout entier naturel n par :
      U(n+1)=2*3^(n+1)/5^n (avec la puissance n au dénominateur)
      Dans ce cas, tu peux utiliser une autre méthode que celle décrite dans cet article : essaie de calculer U(n+1)/U(n). si tu trouves un nombre indépendant de n, alors (Un) est géométrique et le nombre est la raison de la suite.
      Comme U(n)=2*3^n/5^(n-1), tu devrais obtenir une suite géométrique de raison 3/5 (ou 0,6).
      Dis moi si tu bloques pour simplifier le calcul U(n+1)/U(n)

  • 1-montrer que (vn)n E R est geometrique de raison q=-1/2 et de premier terme v0=2
    2- exprimer bn en fonction de n
    3- en deduire que un= 2+(-1)^n/ 2^-1

    je bloque pour la question 1 mais je pense savoir la suite, si vous pouvez m’aidé

  • Bonjour

    On me demande de prouver qu’une suite est géométrique :

    v(n) = u(n)-1/u(n)+2
    Avec u(n+1) = 2/1+u(n)

    Voila je bloque, c’est a peu de choses près la même chose que l’exemple cité plus haut, mais je bloque sur une étape, à partir du moment où on multiplie par u(n)-1

    Merci de votre aide

    • Bonjour,
      Je suppose que tu veux parler des suites définies par :
      v(n) = [u(n)-1]/[u(n)+2]
      u(n+1) = 2/[1+u(n)]
      (avec les crochets)

      Alors, tu calcule v(n+1) et tu obtiens, après remplacement de u(n+1) par 2/[1+u(n)], des fractions de fractions.
      Voici mes conseils :
      - tu multiplies numérateur et dénominateur par 1+u(n), cela a pour effet de n’obtenir qu’une seule fraction : [1-u(n)]/[4+2u(n)]
      - ensuite, tu factorises le numérateur par -1 et le dénominateur par 2.

      J’imagine que c’est la 1ère étape qui te pose problème.
      Voici le numérateur de ta fraction : 2/[1+u(n)]-1
      On la multiplie par 1+u(n) et on obtient, par distributivité :
      2-(1+u(n)), c’est à dire 1-u(n).
      Voici le dénominateur de ta fraction : 2/[1+u(n)]+2
      On la multiplie par 1+u(n) et on obtient, par distributivité :
      2+2(1+u(n)), c’est à dire 4+2u(n).

      Je te laisse poursuivre, tu devrais obtenir une suite géométrique de raison -1/2.

      N’hésite pas à poser une autre question si ce n’est pas clair !

    • Re-bonjour Léa,
      Je réponds à ta question concernant la multiplication par u(n)-1.
      Tout d’abord, lorsque tu multiplies le numérateur et le dénominateur par ce même nombre, cela ne change rien et donc on a le droit de le faire.
      Ensuite, si tu multiplies une somme, tu dois multiplier chaque terme. c’est la distributivité.
      Ainsi, pour le numérateur,
      (2/[u(n)-1]+1])*(u(n)-1)=2/[u(n)-1]*(u(n)-1)+1*(u(n)-1)
      =2+u(n)-1=1+u(n)
      C’est similaire pour le dénominateur.
      Est ce que c’est plus clair ?

  • après avoir trouvé si la suite est géométrique on me demande :
    montrer que pour tout entier n : Un= 52000*1.04n-50000
    et la je ne sais pas quoi faire

  • Merci beaucoup Neige tu m’a été d’une très grande utilité.😀😀

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