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Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2

samedi 24 mars 2018, par Neige

Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2
4 points - 36 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, loi normale, intervalle de fluctuation.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

En janvier 2015, le directeur d’un musée d’art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.


Partie A

Le musée dispose d’un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d’entrée du musée ou commander un billet en ligne.
Trois types de visites sont proposés :
• La visite individuelle sans location d’audioguide.
• La visite individuelle avec location d’audioguide.
• La visite en groupe d’au moins 10 personnes. Dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.
Le site internet permet uniquement d’acheter les billets individuels avec ou sans audioguide. Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d’entrée du musée.
Sur l’année 2015 l’enquête a révélé que :
• 55 % des billets d’entrée ont été achetés au guichet du musée ;
• parmi les billets achetés au guichet du musée, 51 % des billets correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide, et 37 % à des visites avec location d’audioguide ;
• 70 % des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d’audioguide.
On choisit au hasard un billet d’entrée au musée acheté en 2015.
On considère les évènements suivants :
• $E$ : « le billet a été acheté en ligne » ;
• $A$ : « le billet correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide » ;
• $L$ : « le billet correspond à une visite individuelle sans location d’audioguide » ;
• $G$ : « le billet correspond à une visite de groupe ».
On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $P(E)$ désigne la probabilité de l’évènement $E$ et $P_F(E)$ désigne la probabilité de l’évènement $E$ sachant que l’évènement $F$ est réalisé. On note $\bar{E}$ l’évènement contraire de $E$.


1. Recopier et compléter l’arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l’énoncé :
PNG

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(\bar{E})=0,55$, $P_{\bar{E}}(L)=0,51$, $P_{\bar{E}}(A)=0,37$ et $P_{E}(L)=0,7$.
D’où l’arbre :
PNG


2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d’audioguide est égale à 0,135.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

Il s’agit de calculer $P(E\cap A)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P(E\cap A) &=P(E)\times P_E(A) \\ & = 0,45\times 0,3 \\ & = 0,135 \end{align}$
La probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d’audioguide est égale à 0,135.


3. Montrer que $P(A)=0,3385$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D’après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(A) & =P(E\cap A)+P(\bar{E}\cap A) \\ & =P(E\cap A)+P(\bar{E})\times P_{\bar{E}}(A) \\ & = 0,135+0,55\times 0,37 \\ & = 0,3385 \end{align}$
La probabilité que le billet corresponde à une visite individuelle avec location d’audioguide est de 33,85 %.


4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ? On arrondira le résultat au millième.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

Il s’agit de calculer $P_A(\bar{E})$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P_A(\bar{E}) &=\frac{P(\bar{E}\cap A)}{P(A)} \\ & = \frac{P(\bar{E})\times P_{\bar{E}}(A)}{P(A)} \\ & = \frac{0,55\times 0,37}{0,3385} \\ & \approx 0,601 \end{align}$
La probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée sachant qu’il correspond à une visite individuelle avec location d’audioguide est d’environ 60,1 %.


Partie B

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l’enquête a porté sur la durée d’une visite de ce musée. Il a été établi que la durée D d’une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ et d’écart-type $\sigma=15$.


1. Déterminer $P(90 \leq D\leq 120)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Première méthode :
A l’aide de la calculatrice, $P(90 \leq D\leq 120)\approx 0,477$.
La probabilité que la visite dure entre 1h30 (90 minutes) et 2h (120 minutes) est de 47,7 %.

Deuxième méthode :
D’après le cours, $P(\mu - 2\sigma \lt D \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$. Ici, $\mu - 2\sigma=90-2\times 15=60$ et $\mu + 2\sigma=90+2\times 15=120$.
Par conséquent, $P(60\lt D\lt 120)\approx 0,954$.
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Par symétrie, on en déduit que $P(90 \leq D\leq 120)=\frac{P(60\lt D\lt 120)}{2}\approx 0,477$.
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La probabilité que la visite dure entre 1h30 (90 minutes) et 2h (120 minutes) est de 47,7 %.


2. Le directeur précise qu’il augmentera la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée si plus de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite. Quelle sera alors sa décision ?

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

2 heures et 30 minutes correspondent à 150 minutes.
Or, à l’aide de la calculatrice, $P(D\gt 150)\approx 0,00003$.
La probabilité que la visite dure plus de 2h30 est d’environ 0,003 %, ce qui est nettement inférieur à 2 %. Le directeur n’augmentera pas la capacité d’accueil de l’espace restauration du musée.


Partie C

Sur l’ensemble des musées d’art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère.
Sur un échantillon aléatoire de 2000 visiteurs du musée considéré précédemment, 490 visiteurs sont de nationalité étrangère.
Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter.

Relire les méthodes : Etablir un intervalle de fluctuation et Prendre une décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation.

Voir la solution

D’après l’énoncé, la probabilité qu’un visiteur d’un musée d’art contemporain soit de nationalité étrangère est $p=0,22$. De plus, la taille de l’échantillon est $n=2000$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=440 \geq 5$ et $n(1-p)=1560 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence de visiteurs de nationalité étrangère est $I=\left[0,22-1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{2000}} ; 0,22+1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{2000}} \right ]$
$I\approx [0,202 ;0,238]$.
Par ailleurs, la fréquence de visiteurs de nationalité étrangère sur l’échantillon est $f=\frac{490}{2000}=0,245$. Cette fréquence n’appartient pas à $I$. On peut donc conclure que soit la proportion de 22 % n’est pas exacte, soit la fréquence de visiteurs de nationalité étrangère est anormalement élevée.

C’est terminé !

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