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Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3

vendredi 16 mars 2018, par Neige

Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : intervalle de confiance, probabilités conditionnelles, loi normale.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Une entreprise d’élevage de poissons en bassin a constaté qu’une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.
Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l’un au mois de janvier et l’autre au mois de juin, afin d’étudier l’évolution de l’infection.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard 1000 poissons parmi l’ensemble des poissons du bassin.
La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est $f_1=5\%$.
Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau 1000 poissons.
Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est $f_2=10\%$.
La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d’arrêter la vente des poissons de l’entreprise.
On note $p_1$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et $p_2$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.


1. Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$.
On arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$.

Relire la méthode : Etablir un intervalle de confiance.

Voir la solution

D’après l’énoncé, la proportion de poissons infectés dans un échantillon de taille $n=1000$ en janvier est $f_1=5\%$.
Par conséquent,
- $n \geq 30$.
- $nf=50 \geq 5$.
- $n(1-f)=950 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de confiance de $p_1$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,05- \frac{1}{\sqrt{1000}} ; 0,05+ \frac{1}{\sqrt{1000}} \right ]\approx [0,018 ;0,082]$.

De façon analogue, en remplaçant $f_1=5\%$ par $f_2=10\%$,
- $n \geq 30$.
- $nf=100 \geq 5$.
- $n(1-f)=900 \geq 5$.
Par conséquent, un intervalle de confiance de $p_2$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,1- \frac{1}{\sqrt{1000}} ; 0,1+ \frac{1}{\sqrt{1000}} \right ]\approx [0,068 ;0,132]$.


2. Quel argument pourrait donner l’entreprise pour éviter l’arrêt de la vente ?

Voir la solution

Comme les intervalles précédents ont une partie en commun : $[0,068 ;0,082]$, il est possible que $p_1$ et $p_2$ prennent une valeur identique appartenant à cette partie commune (il est même possible que $p_2$ soit inférieur à $p_1$). Il n’est donc pas certain que la proportion de poissons infectés ait augmenté. Cet argument permettrait à l’entreprise d’éviter l’arrêt de la vente.

Partie B

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d’un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :
• sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60 % des cas ;
• sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10 % des cas.
Pour un poisson prélevé au hasard, on note :
• B l’évènement : « le poisson est infecté par la bactérie » ;
• T l’évènement : « le test du poisson est positif » ;
• B et T les évènements contraires de B et T .
On note $x$ la probabilité qu’un poisson soit infecté par la bactérie.


1. Recopier et compléter l’arbre pondéré traduisant cette situation.
PNG

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P_B(T)=0,6$ et $P_{\bar{B}(T)}=0,1$.
Voici donc l’arbre complété :
PNG


2.
a. Démontrer que $P(T)=0,5x+0,1$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D’après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(T) & =P(B \cap T)+P(\bar{B} \cap T) \\ & =P(B)\times P_B(T)+P(\bar{B})\times P_{\bar{B}}(T) \\ & =x \times 0,6+(1-x)\times 0,1 \\ & =0,6x+0,1-0,1x \\ & =0,5x+0,1 \\ \end{align}$


b. Le laboratoire a constaté que 12,5 % des poissons d’un prélèvement ont eu un test positif.
Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer
pour ce prélèvement ?

Voir la solution

D’après l’énoncé, $P(T)=0,125$.
D’après la question précédente, cela signifie que $0,5x+0,1=0,125$.
Ainsi $0,5x=0,025$ et, finalement, $x=0,05$.
La proportion de poissons infectés va être estimée à 5 % par le laboratoire.

Partie C

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.
Le temps de guérison d’un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu=21$ et d’écart-type $\sigma=5$.

Les résultats seront arrondis au millième.


1. Déterminer la probabilité $P(14 \lt X \lt 28)$.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

A l’aide de la calculatrice, $P(14 \lt X \lt 28)\approx 0,838$.


2. Déterminer la probabilité qu’un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Comme 5 semaines correspondent à 35 jours, il s’agit de calculer $P(X \gt 35)$.
A l’aide de la calculatrice, $P(X \gt 35)\approx 0,003$.
La probabilité qu’un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique est d’environ 0,003.

C’est terminé !

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