Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4

Exécutons cet algorithme pas à pas.

Il suffit maintenant de compléter le tableau en écrivant les valeurs rencontrées en cours d’exécution :

D’après la question précédente, la valeur affichée en fin d’algorithme est $n=5$.

Cet algorithme calcule le nombre de personnes abonnées au service de repas à domicile au fil des années.
Il s’arrête lorsque la condition $U<800$ est fausse c’est à dire lorsque le nombre de personnes abonnées est supérieur ou égal à 800.
Par conséquent, c’est au bout de 5 ans (en 2020) que le nombre de personnes abonnées au service de repas à domicile dépassera 800 pour la première fois.

On applique la relation $u_{n+1}=0,95u_n+80$ pour $n=0$ :
$u_{0+1}=0,95u_0+80$
$u_{1}=0,95\times 600+80 \\ u_{1}=650$
De façon analogue, on applique la relation $u_{n+1}=0,95u_n+80$ pour $n=1$ :
$u_{1+1}=0,95u_1+80$
$u_{2}=0,95\times 650+80 \\ u_{2}=697,5$
Par conséquent, $u_1=650$ et $u_2\approx 698$.

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1} = u_{n+1} −1600$ d’après l’énoncé.
$\qquad = (0,95u_n+80) −1600$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
$\qquad = 0,95u_n-1520$
$\qquad = 0,95(u_n-1600)$ en factorisant par 0,95.
$\qquad = 0,95\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-1600=-1000$.
On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=-1000$.

La question précédente a permis d’établir que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,95 et de premier terme $v_0=-1000$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-1000\times 0,95^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n = u_n −1600$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 1600+v_n=1600-1000\times 0,95^n$.

On peut résoudre ce problème de différentes manières :
 en calculant le nombre d’abonnés après un grand nombre d’années (calcul de limite).
 en résolvant une inéquation permettant de savoir s’il existe une année pour laquelle le nombre d’abonnés dépassera 1000.

Commençons par le calcul de limite.
$0<0,95<1$ donc $\lim 0,95^n=0$.
Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0,95^n=0$.
Par somme avec $1600$, $\lim 1600-1000\times 0,95^n=1600$.
Cela signifie qu’après un grand nombre d’années, le nombre d’abonnés au service de repas à domicile se stabilisera à 1600 personnes.
on peut donc conclure que l’association devra envisager un jour des travaux d’agrandissement.

Autre méthode pour résoudre ce problème.
Cherchons s’il existe $n$ tel que le nombre d’abonnés dépasse 1000, c’est à dire tel que $u_n > 1000$.
$u_{n} > 1000\Leftrightarrow 1600-1000\times 0,95^n > 1000 \\ \qquad \Leftrightarrow -1000\times0,95^{n} > -600 \\ \qquad \Leftrightarrow 0,95^{n} < \frac{-600}{-1000} \\ \qquad \Leftrightarrow 0,95^{n} < 0,6 \\ \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(0,95) < \ln(0,6) \\ \qquad \Leftrightarrow n > \frac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)} \\ $
Remarque : on a changé l’ordre de cette dernière inégalité car $\ln(0,6) < 0$
Comme $\frac{\ln(0,6)}{\ln(0,95)}\approx 9,96$ alors $n=10$ et le nombre d’abonnés va dépasser 1000 en 2025. Il faudra prévoir des travaux d’agrandissement.