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Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé)

samedi 1er avril 2017, par Neige

Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé).
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Le 1er septembre 2015, un ensemble scolaire compte 3 000 élèves.
Une étude statistique interne a montré que chaque 1er septembre :
• 10 % de l’effectif quitte l’établissement ;
• 250 nouveaux élèves s’inscrivent.
On cherche à modéliser cette situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre d’élèves le 1er septembre de l’année $2015+n$.


1. Justifier qu’on peut modéliser la situation avec la suite $(u_n)$ telle que $u_0=3000$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9u_n+250$.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

On peut réaliser le schéma suivant :

Comme diminuer une quantité de 10% revient à la multiplier par 0,9 et que le nombre d’élèves en 2015 est de 3000, on en déduit que $u_0=3000$ et pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,9u_n+250$.


2. Pour tout entier naturel $n$, on pose $v_n=u_n−2500$.

a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,9. Préciser $v_0$.

Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1} = u_{n+1} −2500$ d’après l’énoncé.
$\qquad = (0,9u_n+250) −2500$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression.
$\qquad = 0,9u_n-2250$
$\qquad = 0,9(u_n-2500)$ en factorisant par 0,9.
$\qquad = 0,9\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-2500=500$.
On en déduit que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=500$.

b. Exprimer, pour tout entier naturel $n$, $v_n$ en fonction de $n$.
En déduire que pour tout entier naturel $n$, $u_n=500×0,9^n+2500$.

Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .

Voir la solution

La question précédente a permis d’établir que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,9 et de premier terme $v_0=500$.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=500\times 0,9^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n = u_n −2500$, alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n = v_n+2500=500\times 0,9^n+2500$.


3. Démontrer que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}−u_n=−50×0,9^n$.
En déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Relire la méthode : Etudier les variations d’une suite par différence.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}−u_n=0,9u_n+250-u_n$
$\qquad \qquad =-0,1u_n+250$
$\qquad \qquad =-0,1(500\times 0,9^n+2500)+250$
$\qquad \qquad =-50\times 0,9^n-250+250$
$\qquad \qquad =-50\times 0,9^n$
Comme $0,9^n \gt 0$ alors, par produit par un nombre négatif, $-50\times 0,9^n \lt 0$.
Par conséquent, $u_{n+1}-u_n \lt 0$ et la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.


4. La capacité optimale d’accueil est de 2 800 élèves. Ainsi, au 1er septembre
2015, l’ensemble scolaire compte un sureffectif de 200 élèves.
Écrire un algorithme permettant de déterminer à partir de quelle année, le
contexte restant le même, l’ensemble scolaire ne sera plus en sureffectif.

Relire la méthode : Ecrire un algorithme de seuil.

Voir la solution

Il s’agit de déterminer la première année à partir de laquelle $u_n \leq 2800$.
L’algorithme suivant calcule les termes successifs de $(u_n)$ et s’arrête dès que la condition $u_n>2800$ devient fausse, c’est à dire lorsque $u_n \leq 2800$.

N prend la valeur 0
U prend la valeur 3000
TANT QUE U>2800 FAIRE
    N prend la valeur N+1
    U prend la valeur 0,9U+250
FIN TANT QUE
Afficher 2015+N

C’est terminé !

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