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Calculer la limite d’une suite géométrique

dimanche 22 janvier 2017, par Neige

Méthode

On considère un nombre $q$ strictement positif et la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=q^n$.

La règle de calcul de limite est simple :

si $0 < q < 1$ alors $\lim q^n=0$.
si $q=1$ alors $\lim q^n=1$.
si $q>1$ alors $\lim q^n=+\infty$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

Niveau facile
Déterminer la limite de la suite géométrique $(u_n)$ de raison $\frac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=-2$.

Voir la solution

La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=-2$ donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=-2\times \left(\frac{8}{3}\right)^n$.
Comme $\frac{8}{3}>1$ alors $\lim\left(\frac{8}{3}\right)^n=+\infty$.
Par produit par $-2$, on obtient : $\lim -2\times \left(\frac{8}{3}\right)^n=-\infty$.

Niveau facile
Le nombre de poissons dans un lac à la fin de l’année $2010+n$ est égal à $2500-1000\times 0,5^n$.
A long terme, combien le lac comptera-t-il de poissons ?

Voir la solution

Les mots "A long terme" signifient que l’on doit calculer la limite de $(u_n)$.
$0<0,5<1$ donc $\lim 0,5^n=0$.
Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0,5^n=0$.
Par somme avec $2500$, $\lim 2500-1000\times 0,5^n=2500$.
Par conséquent, à long terme, le lac comptera 2500 poissons.

Niveau moyen
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$.

Voir la solution

Ici, il est nécessaire de transformer l’expression de $u_n$ afin de pouvoir appliquer les règles de calcul de limite.
$u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n\times 3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times \frac{1}{3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3^1 \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3 \\ \qquad =\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3$
Comme $0<\frac{2}{3}<1$ alors $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$.
Par produit par 3, on peut conclure que $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3=0$ ou encore, $\lim u_n=0$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 5 de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 3 de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question 2d de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Messages

1. calculer une limite, 5 septembre 2017, 19:34, par lola

bonjoir j’aimerais savir comment calcult t’on la limite de Vn=(3+0,2^n)/(0,9^n-5) svppp j’essaye je n’arrive pas merci
- 1. calculer une limite, 1er octobre 2017, 21:58, par Neige
  
  Bonsoir et désolé pour la réponse tardive.
  Il suffit de dire que :
  – Comme 0 < 0,2 < 1 alors 0,2^n tend vers 0 et, par conséquent, 3+0,2^n tend vers 3.
  – Comme 0 < 0,9 < 1 alors 0,9^n tend vers 0 et, par conséquent, 0,9^n-5 tend vers -5.
  – Par quotient, l’expression tend vers -3/5
2. Détermineation des graphe d’une fonction inverse, 23 mars 2018, 06:30, par sheki

bonjour, comment déterminer ou tracer le graphe d’une fonction inverse ?
- 1. Détermineation des graphe d’une fonction inverse, 23 mars 2018, 22:29, par Neige
  Bonjour Sheki et merci pour ce message.
  Afin que je puisse t’aider au mieux, pourrais-tu préciser si ta question porte :
  - sur le graphe de la fonction inverse f définie pour tout x non nul par f(x)=1/x.
  - sur le graphe d’une fonction réciproque.
3. Calculer la limite d’une suite géométrique et arithmétique , 25 août 2018, 14:36, par Hale

Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :
U0=7
Un+1=1/5 (2un+6)
1.Calculer u1,u2 et u3
La suite (un) est-elle arithmétique ? Géométrique ?
- 1. Calculer la limite d’une suite géométrique et arithmétique , 26 août 2018, 17:24, par Neige
  Bonjour Hale,
  
  Merci pour ta question intéressante. Plutôt que de te donner la réponse, je vais essayer de te mettre sur la voie.
  
  Tout d’abord, j’imagine que tu as calculé u1, u2 et u3. Si ce n’est pas le cas, fais le (besoin d’aide pour cela : Calculer les premiers termes d’une suite).
  - Si la suite était arithmétique, on devrait passer de u1 à u2 puis de u2 à u3 en ajoutant le même nombre. Est-ce le cas ?
  - Si la suite était géométrique, on devrait passer de u1 à u2 puis de u2 à u3 en multipliant par le même nombre. Est-ce le cas ?
  Voilà, peux-tu me dire si ces indications t’ont été utiles ?
  Bon courage !
4. Calculer la limite d’une suite géométrique, 14 octobre 2018, 13:47, par juliana

Bonjour, quelquun peut m’aider pour un exercice ?
un chef d’entreprise souhaite épargner un capital afin de pouvoir lancer des travaux. Pour cela il ouvre’ un livret au taux de rémunération de 7% par an et dépose à l’ouverture à 1500€ et souhaite savoir au bout de combien d’années il aura atteint la somme de 3000€.
1. U0 ?
2. Exprimer Un en fonction de n
3. À partir de combien d’années ce chef d’entreprise disposera de 3000€ ?
4. Écrire un algorithme permettant de déterminer le nombre d’année nécessaire pour atteindre 3000€
- 1. Calculer la limite d’une suite géométrique, 14 octobre 2018, 17:54, par Neige
  
  Bonjour Juliana,
  Voici quelques indications.
  
  Question 1 : il n’y a pas de définition de la suite (Un) dans ton énoncé mais on peut supposer que c’est le montant sur le livret après n années. U0 correspond donc au montant lors de l’ouverture du livret (après le dépôt).
  
  Question 2 : d’une année sur l’autre, le montant est multiplié par un certain nombre. Tu peux le trouver en relisant ceci : Appliquer un pourcentage d’évolution.
  La suite est donc géométrique et tu peux écrire son expression : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique
  
  Question 3 : tu peux relire cette méthode : Déterminer un rang sous condition.
  
  Question 4 : il s’agit d’écrire un algorithme de seuil : Ecrire un algorithme de seuil
  
  N’hésite pas à écrire si tu n’y arrives pas. Bon courage !
  Neige
5. Calculer la limite d’une suite géométrique, 21 octobre 2018, 22:04

lim n !/e^n
- 1. Calculer la limite d’une suite géométrique, 23 octobre 2018, 18:38, par Neige
  
  Bonjour !
  Cela sort un peu du cadre de cette méthode mais tu peux montrer que n ! /e^n est (pour n plus grand que 4) supérieur à 3/32 * (4/e)^n qui est le terme général d’une suite géométrique tendant vers + l’infini.
  Par conséquent, la limite de n ! /e^n est + l’infini !
6. Calculer la limite de Vn avec V0=5/2 et Vn+1=(7Vn+3)/(2Vn+6), 16 décembre 2018, 18:52, par Oussama

On a déjà montré que pour tout n€N, Vn>= 3/2
- 1. Calculer la limite de Vn avec V0=5/2 et Vn+1=(7Vn+3)/(2Vn+6), 24 décembre 2018, 16:04, par Neige
  
  Cette suite ne m’a pas l’air géométrique.
  Tu peux montrer qu’elle est décroissante (V(n+1)-V(n)<0). Comme elle est minorée par 3/2, cela signifie qu’elle converge.
  Tu peux ensuite "passer à la limite" dans la relation de récurrence pour déterminer la limite de cette suite.
7. Calculer la limite d’une suite 3Un+2/Un+2 et Uo= 0, 12 novembre 2019, 18:00, par Jean

En cherchant la limite de la suite comme une fonction on tombe sur 3 or je sais que la suite tend vers 2. J’aimerais savoir si c’est possible de calculer la limite de la suite même si par un calcul compliqué. Merci à vous.
- 1. Calculer la limite d’une suite 3Un+2/Un+2 et Uo= 0, 13 novembre 2019, 20:14, par Neige
  
  Bonjour Jean
  
  Voici une question très intéressante !
  
  Je reprends ton énoncé : on considère la suite (U(n)) définie pour tout entier positif n par U(n+1)=(3U(n)+2)/(U(n)+2).
  On sait que U(0)=0.
  Calculer la limite de la suite (U(n)).
  
  Effectivement, calculer la limite du quotient (3U(n)+2)/(U(n)+2) comme si U(n) tendait vers l’infini n’a pas beaucoup de sens (car U(n) ne tend pas vers l’infini), il est donc normal que cette suite ne tende pas vers 3.
  
  Il est toutefois possible de calculer la limite par le calcul. Voici un peu d’aide.
  
  1ère méthode : tu peux essayer de montrer par récurrence que pour tout entier positif n, U(n)=2×(4^n-1)/(4^n+2).
  Il te suffit ensuite de calculer la limite de cette expression lorsque n tend vers l’infini. Tu obtiens alors 2.
  Toutefois, on peut se demander d’où sort cette expression de U(n)... En fait, on peut l’obtenir à l’aide de la méthode ci-après.
  
  2ème méthode : on considère la suite (V(n)) définie par V(n)=(U(n)+1)/(U(n)-2).
  On peut montrer que cette suite est bien définie par récurrence.
  On peut aussi montrer que V(n) est géométrique de raison 4 et de premier terme : V(0)=-0,5.
  On en déduit l’expression de V(n) en fonction de n puis celle de U(n) en fonction de n (c’est l’expression donnée dans la 1ère méthode).
  
  Voilà ! Ce n’est pas très simple, ton problème fait référence à la limite de suites "homographiques", qui sont étudiées après le Bac.
  
  J’espère avoir répondu à ta question. Bon courage !
  Neige
8. Calculer la limite d’une suite géométrique, 14 novembre 2019, 12:41, par jean

Rebonjour, je suis en 1ère et je n’ai même pas vue les suites en cours mais j’ai compris le raisonnement par récurrence à peu près et d’autres truc...

mais j’ai une autre question comment fait-on pour calculer la limite de la suite :

somme de 1/1 + 1/2* + 1/3* ... + 1/n*
* = 2

je sais que sa tend vers pi*/6 je crois mais je sais pas comment le demontrer
merci pour votre aide.
- 1. Calculer la limite d’une suite géométrique, 16 novembre 2019, 20:47, par Neige
  
  Bonsoir Jean,
  Ce problème n’est pas simple. On peut le démontrer avec les séries de Fourier (niveau Bac +2).
  Tu pourras trouver quelques informations ici : lien wikipedia
  
  Bon courage !
  Neige
9. Calculer la limite d’une suite géométrique, 14 novembre 2019, 19:02, par jean

Et juste par rapport au calcul de la limite de (3Un+2/Un+2), j’ai compris mais y’a un seul truc qui m’est flou c’est comment tu trouves Vn=(Un+1/Un-2), merci pour votre aide je vais peux être reposé des questions mais je vais vous laisser un peu tranquille 😂.
- 1. Calculer la limite d’une suite géométrique, 16 novembre 2019, 18:27, par Neige
  
  Bonjour Jean,
  Il existe un théorème à propos des suites récurrentes homographique. Il concerne les suites (u(n)) définie par récurrence par la formule :
  u(n+1)=(a×u(n)+b)/(c×u(n)+d) avec c non nul
  
  Voici le théorème :
  Si la résolution de l’équation u(n+1)=u(n), d’inconnue u(n), conduit à deux solutions distinctes i et j alors la suite (v(n)) définie par : v(n)=(u(n)-i)/(u(n)-j) est géométrique.
  
  C’est celui que j’ai utilisé ! (tu peux le vérifier, c’est un bon exercice).
  
  A bientôt !
  Neige
  
  PS : tes questions ne me dérangent absolument pas !
10. Primitive, 21 novembre 2019, 06:36, par jean

Au niveau des primitives des fonctions type e^u évidemment u étant une fonction affine sinon je suis perdu 😅 il faut faire apparaître u’e^u et ajuste ? Par exemple : e^-2x = -1/2*(-2)e^-2x et la primite F = -1/2e^-2x c’est ça ? Merci c’est pas les suites mais bon 👍
- 1. Primitive, 21 novembre 2019, 20:01, par Neige
  
  Bonsoir Jean,
  Oui, c’est exactement cela !
  Une petite remarque cependant : il est plus juste de parler d’une primitive que de la primitive car il y a une infinité de primitives dans ce cas.
  
  Tu peux regarder cette méthode, elle t’aidera à y voir plus clair sur la dérivation avec la fonction exponentielle et donc sur la façon dont on peut déterminer une primitive (il faudrait que je fasse une vidéo sur ce sujet à l’occasion) :
  Dériver l’exponentielle d’une fonction
  
  Bonne soirée !
  Neige
11. Calculer la limite d’une suite, 15 décembre 2019, 16:29, par jimin

soit n appartient à N
limn>+∞ : (1+32(23/8)^n)/(1+2(23/8)^n)

J’ai essayé plusieurs fois mais je n’arrive jamais. Merci en avance
- 1. Calculer la limite d’une suite, 15 décembre 2019, 16:42, par Neige
  
  Bonsoir jimin !
  Il suffit de diviser numérateur et dénominateur par (23/8)^n.
  Tu obtiens alors ((8/23)^n+32)/((8/23)^n+2).
  Comme (8/23)^n tend vers 0 alors tu peux facilement déterminer la limite de ta fraction.
  N’hésite pas à poster tes questions si ce n’est pas clair !
  Neige

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