Calculer des probabilités avec une loi normale

Méthode

L’objet de cette méthode est d’expliquer comment calculer $P(a \lt X \lt b)$, $P(X\lt c)$ ou $P(X\gt d)$ lorsque $a, b, c, d$ sont des nombres fixés et $X$ une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale dont la moyenne (ou l’espérance) $\mu$ et l’écart-type $\sigma$ sont connus.

C’est le cas, par exemple, d’un énoncé comme celui-ci : « On sait que $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu =29$ et $\sigma=3$. Calculer $P(27\lt X\lt 35)$. »

Tout d’abord, il est important de savoir qu’un calcul de probabilité dans le cadre de lois continues est un calcul d’aire et donc d’intégrale.
Pour la loi normale, voici donc ce que représentent les probabilités $P(a \lt X \lt b)$, $P(X\lt c)$ et $P(X\gt d)$ :

Toutefois, les calculs nécessaires à la détermination de ces probabilités sont très compliqués et on ne peut calculer que des valeurs approchées. Par conséquent, pas de calcul d’intégrale, on se contente soit de calculs à la calculatrice, soit de la mémorisation de 3 valeurs à connaître en terminale : $P(\mu - \sigma \lt X \lt \mu + \sigma)\approx 0,683$, $P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$ et $P(\mu - 3\sigma \lt X \lt \mu + 3\sigma)\approx 0,997$.

Trois remarques importantes pour résoudre les exercices :

• Comme les lois normales sont des lois continues, les $\lt$ peuvent être confondus avec $\leq$ (et les $\gt$ avec les $\geq$). Attention, ce n’est pas le cas avec les lois discrètes comme la loi binomiale par exemple.
• On utilise fréquemment les propriétés de symétrie de la loi normale par rapport à la droite verticale d’équation $x=\mu$. Par exemple, si $X$ suit la loi normale d’espérance $\mu =29$ et $\sigma=3$ alors $P(X\gt 31)=P(X \lt 27)$.

  

• On utilise aussi fréquemment des calculs de complémentaires. Ainsi, $P(X\gt 31)=1-P(X\leq 31)=1-P(X\lt 31)$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

• Niveau facile
  La taille d’une pièce métallique produite dans un atelier de fabrication peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ mm et d’écart-type $\sigma=3$ mm.
  Calculer, à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée au millième de chacune des probabilités suivantes :
  $P(X\lt 86)$
  $P(X\geq 92)$
  $P(85\leq X\lt 91)$
  $P(X \in ]80 ;91])$

• Niveau moyen
  La durée de vie d’un appareil électrique peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=2000$ jours et d’écart-type $\sigma=70$ jours.
  Calculer, à l’aide des valeurs de référence et en illustrant les calculs par des graphiques, une valeur approchée au millième de chacune des probabilités suivantes :
  $P(X\lt 2000)$
  $P(1790\leq X\lt 2210)$
  $P(2000\lt X\lt 2140)$
  $P(X\gt 1930)$

Voir la solution

– L’axe de symétrie de la courbe a pour équation $x=2000$.
La probabilité recherchée vaut donc exactement la moitié de l’aire sous la courbe. Comme l’aire située entre la courbe et l’axe des abscisses vaut 1, alors la probabilité recherchée est $P(X\lt 2000)=0,5$.

– D’après le cours, $P(\mu - 3\sigma \lt X \lt \mu + 3\sigma)\approx 0,997$. Ici, $\mu - 3\sigma=2000-3\times 70=1790$ et $\mu + 3\sigma=2000+3\times 70=2210$.
Par conséquent, $P(1790\leq X\lt 2210)\approx 0,997$.

– D’après le cours, $P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$. Ici, $\mu - 2\sigma=2000-140=1860$ et $\mu + 2\sigma=2000+140=2140$.
Par conséquent, $P(1860\lt X\lt 2140)\approx 0,954$.

Par symétrie par rapport à l’axe d’équation $x=2000$, on en déduit que $P(2000\lt X\lt 2140)\approx \frac{0,954}{2}\approx 0,477$.

– D’après le cours, $P(\mu - \sigma \lt X \lt \mu + \sigma)\approx 0,683$. Ici, $\mu - \sigma=2000-70=1930$ et $\mu + \sigma=2000+70=2070$.
Par conséquent, $P(1930\lt X\lt 2070)\approx 0,683$.

Par symétrie par rapport à l’axe d’équation $x=2000$, on en déduit que $P(1930\lt X\lt 2000)\approx \frac{0,683}{2}\approx 0,342$.

Enfin, comme $P(X \gt 2000)=0,5$, il suffit d’ajouter $0,5$ au résultat précédent. En effet, l’évènement $X \gt 1930$ est la réunion des évènements $1930\lt X\lt 2000$ et $X \geq 2000$.
Donc $P(X\gt 1930)\approx 0,342+0,5\approx 0,842$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

• les questions B.1.a et B.1.b de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
• les questions C.1 et C.2 de Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3.
• les questions C.1 et C.2 de Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2.
• les questions B.1 et B.2 de Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2.
• les questions B.1 et B.2 de Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2.
• la question 3 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1.