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Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale

dimanche 25 février 2018, par Neige

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celles-ci : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres et Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On sait calculer $P(X=k)$ pour n’importe quelle valeur de $k$ entre $0$ et $n$ mais comment calculer, par exemple, $P(X \geq 1)$ ?
C’est l’objet de cette méthode.

Pour fixer les idées, appuyons nous sur un exemple.
On considère $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,4.
Voici la loi de probabilité de $X$ (voir le 2ème lien en tête de paragraphe pour les calculs) :

Calculer $P(X \geq 1)$ (autrement dit : la probabilité d’obtenir au moins un succès) peut se calculer de deux façons :

  • 1ère façon, en utilisant la signification de $X \geq 1$, c’est à dire en écrivant que :
    $\begin{align} P(X \geq 1) & = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\ & \approx 0,259+0,346+0,230+0,077+0,010 \\ & \approx 0,922 \end{align}$
  • 2ème façon, en utilisant le fait que la somme de toutes les probabilités du tableau vaut 1 :

    Donc
    $\begin{align} P(X \geq 1) & = 1-P(X=0) \\ & = 1-0,078 \\ & = 0,922 \end{align}$
    Cette technique est très utile et repose sur la notion de probabilité d’un évènement contraire. Autrement dit, si $A$ est un évènement alors $P(A)=1-P(\bar A)$.

En résumé, pour calculer la probabilité d’un évènement faisant intervenir une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ainsi que l’un des symboles $\geq$, $\leq$, $\gt$, $\lt$ :

  • on réfléchit à la loi de probabilité sous forme d’un tableau.
  • on choisit le plus simple entre le calcul direct et le calcul utilisant la probabilité de l’évènement contraire.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,7$.
    Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ de :
  1. $P(X \geq 5)$
  2. $P(X \gt 0)$
  3. $P(X \leq 5)$
  4. $P(X \lt 2)$
Voir la solution

1. Ici, il est préférable de faire un calcul direct :
$\begin{align} P(X \geq 5) & =P(X=5)+P(X=6) \\ & = \binom{6}{5}\times 0,7^5\times 0,3^{1}+\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & \approx 0,30253+0,11765 \\ & \approx 0,4202 \end{align}$

2. On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \gt 0) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & = 1-0,3^6 \\ & \approx 1-0,00073 \\ & \approx 0,9993 \end{align}$

3. On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \leq 5) & =1-P(X=6) \\ & = 1-\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & = 1-0,7^6 \\ & \approx 1-0,11765 \\ & \approx 0,8824 \end{align}$

4. On fait un calcul direct :
$\begin{align} P(X \lt 2) & =P(X=1)+P(X=0) \\ & = \binom{6}{1}\times 0,7^1\times 0,3^{5}+\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & \approx 0,01021+0,00073 \\ & \approx 0,0109 \end{align}$

  • Niveau moyen
    Un QCM comporte 10 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont possibles mais une seule est correcte. Un candidat répond à toutes les questions au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le candidat réponde correctement à :
  1. au moins 2 questions ?
  2. au plus 2 questions ?
Voir la solution

1. Il s’agit de calculer $P(X \geq 2)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 2) & =1-P(X=1)-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}-\binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10} \\ & = 1-0,1877-0,0563 \\ & \approx 0,76 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au moins 2 questions est d’environ 76 %.

2. Il s’agit de calculer $P(X \leq 2)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10}+\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}+\binom{10}{2}\times 0,25^2\times 0,75^{8} \\ & = 0,0563+0,1877+0,2816 \\ & \approx 0,53 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au plus 2 questions est d’environ 53 %.

  • Niveau difficile
    Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
    Dans un lycée, la probabilité qu’un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32 %.
    On rencontre au hasard et successivement $n$ élèves.
    on admet que la variable aléatoire $X$, qui compte le nombre d’élèves faisant du sport dans une association, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,6$.
  1. Dans cette question, $n=10$. Quelle est la probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association ?
  2. Dans cette question, $n$ n’est pas fixé. Combien doit-on rencontrer d’élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 % ?
Voir la solution

1. Il s’agit de calculer $P(X \leq 1)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 1) & =P(X=0)+P(X=1) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{10}+\binom{10}{1}\times 0,32^1\times 0,68^{9} \\ & = 0,0211+0,0995 \\ & \approx 0,12 \end{align}$
La probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association sur les 10 élèves rencontrés est d’environ 12 %.

2. Il s’agit de déterminer la valeur de $n$ telle que $P(X \geq 1)\gt 0,999$.
Or,
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{n}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{n} \end{align}$
On sait que $\binom{n}{0}=1$ et $0,32^0=1$ donc :
$P(X \geq 1) =1-0,68^n$
Par conséquent,
$\begin{align} P(X \geq 1)\gt 0,999 & \iff 1-0,68^n\gt 0,999 \\ & \iff -0,68^n\gt -0,001 \\ & \iff 0,68^n\lt 0,001 \\ & \iff n\times \ln(0,68)\lt \ln(0,001) \\ & \iff n>\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)} \end{align}$
(Comme $\ln(0,68) \lt 0$ , la dernière division change à nouveau le sens de l’inégalité.)
Or $\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)}\approx 17,91$ donc on doit interroger au moins 18 élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 %.

Remarque : si vous n’avez pas encore vu les logarithmes, vous pouvez essayer de trouver le résultat par essais successifs à la calculatrice, vous gagnerez toujours quelques points.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • bonjour,
    j’essaie de m’entraîner, mais je butte sur ce problème.
    Sur l’ensemble des cartes en circulation, 5% sont affectées d’un nombre de points PV supérieur ou égal à 120, ces cartes sont nommées cartes-métal.
    Un tournois est organisé, et chaque concurrent doit mettre en jeu 3 cartes-métal.
    Pierre à acheter 4 paquets de 6 cartes et participe à l’épreuve.
    Quel est la probabilité pour qu’il y arrive ?

    • Bonjour Elisabeth !
      Je ne suis pas certain d’avoir bien compris ton énoncé mais allons-y.

      Alors, je suppose qu’on peut considérer que les 24 cartes achetées par Pierre correspondent à 24 tirages identiques et indépendants d’une carte parmi un ensemble de cartes dont 5% sont des cartes-métal.
      On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de cartes-métal de Pierre. X suit donc une loi binomiale de paramètres 24 et 0,05 (=5%).

      Ton problème revient à calculer P(X≥3).
      Or, P(X≥3) = 1 - P(X=2) - P(X=1) - P(X=0)
      Tu peux appliquer la formule de la loi binomiale pour des paramètres 24 et 0,05 :
      P(X=k) = (k parmi 24) × 0,05^k × 0,95^(24-k)
      Ou bien utiliser la calculatrice.
      A titre d’exemple, j’obtiens : P(X=2) = 0,223 (valeur approchée)

      Je te laisse continuer mais reviens par ici si ce n’est pas clair.
      Courage !
      Neige

  • Bonjour,
    Merci pour cet article, il s’avère très utile.

    Dans le cas où n=8 par exemple et que l’on doit calculer p(X>1), faut-il faire : P(X>1)= P(X=8) - [P(X=0)+P(X=1)] ?

    Je vous remercie d’avance :)

    • Bonjour lo’ !
      Je suis content d’apprendre que cet article t’ait été utile :)

      Pour calculer p(X>1), tu peux simplement écrire :
      p(X>1)=1-p(X≤1)
      C’est à dire :
      p(X>1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]

      Le fait que le nombre d’expériences soit égal à 8 ne change pas cette propriété. Mais ce 8 intervient bien sûr dans le calcul de p(X=0) et p(X=1).

      N’hésite pas à me dire si ce n’est pas clair.
      Courage !
      Neige

  • Bonjour,
    Dans un exercice où X est une VAR suivant une loi binomiale de paramètres n=10 et p=0.8, je dois calculer la probabilité P(X<=8) sachant (X<=9).
    Comment faire ? Est-ce que les formules vues en première fonctionnent aussi ici ?
    Si oui, est-ce que P(X<=9)interP(X<=8)=P(X<=9)*P(X<=8) même si rien n’est précisé dans l’énoncé concernant l’indépendance des évènements ?
    Merci beaucoup d’avance,
    Lana

    • Bonjour Lana,

      La formule des probabilités conditionnelles fonctionne bien dans ce cas là. Par contre, tu ne peux pas utiliser l’indépendance des événements (car ils sont clairement dépendants : savoir que X<=9 est une information cruciale pour calculer la probabilité que X<=8).

      Rappel de la formule :
      P(A) sachant B = P(A inter B) / P(B)
      avec, ici : A =(X<=8) et B=(X<=9)

      A inter B est donc (X<=8) inter (X<=9).
      Comme (X<=8) est inclus dans (X<=9), les valeurs de X qui satisfont les deux conditions sont X<=8.
      Ainsi, (X<=8) inter (X<=9) est simplement (X<=8).

      Je pense que cela t’aidera à finir le calcul. Si ce n’est pas le cas, n’hésite pas à écrire à nouveau.

      Bon courage !
      Neige

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