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Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres

mardi 30 janvier 2018, par Neige

Méthode

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale lorsqu’elle "compte" le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli.
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves identiques et indépendantes ayant chacune exactement deux issues : Succès ou Echec ($S$ ou $E$ dans la figure suivante où l’on a représenté 3 répétitions).

Remarque : si vous avez déjà des notions de probabilités conditionnelles, vous pouvez remarquer un abus de langage dans les notations $S$ et $E$ utilisées dans l’arbre. En effet, il serait mathématiquement plus rigoureux d’indiquer les évènements sous forme $S_1$, $S_2$ et $S_3$ afin d’éviter les $P_S(S)$ qui seraient toujours égaux à ... 1.

En résumé, pour justifier que $X$ suit une loi binomiale, il suffit de dire que :

  • on répète des épreuves identiques et indépendantes.
  • chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec).
  • $X$ compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

Donner les paramètres d’une loi binomiale, c’est préciser :

  • la probabilité d’obtenir un succès sur une épreuve (non répétée). Ce paramètre est noté $p$.
  • le nombre de répétitions de cette épreuve. Ce paramètre est noté $n$.

Par exemple, dans la figure ci-dessous, $p=0,2$ et $n=3$.

Lorsque les paramètres d’une loi binomiale sont connus, on peut construire l’arbre en entier et calculer des probabilités (cela fera l’objet d’un autre article).

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    On jette un dé équilibré 10 fois de suites et on considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de réalisations de l’évènement $A$ : "Obtenir 5 ou 6".
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
Voir la solution

– L’épreuve consistant à tirer le dé et regarder si l’évènement $A$ est réalisé ou non comporte 2 issues : "$A$ est réalisé" (Succès) et "$A$ n’est pas réalisé" (Echec).
– On répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de réalisations de l’évènement $A$.

Par ailleurs,
– Comme le dé est équilibré, $P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. On en déduit que $p=\frac{1}{3}$.
– On répète l’épreuve 10 fois donc $n=10$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{3}$ et $n=10$.

  • Niveau moyen
    (D’après Bac)
    Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur les rythmes scolaires.
    L’enquête révèle que 56,75 % des élèves sont favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
    On interroge successivement et de façon indépendante 4 élèves pris au hasard parmi les élèves de cet établissement. Le nombre d’élèves de l’établissement étant suffisamment grand, on admet que les choix successifs d’élèves constituent des épreuves identiques et indépendantes.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
Voir la solution

– L’épreuve consistant à choisir un élève au hasard et regarder s’il est favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire comporte 2 issues : "l’élève est favorable" (Succès) et "l’élève n’est pas favorable" (Echec).
– D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre d’élèves favorables.

Par ailleurs,
– D’après l’énoncé, la probabilité qu’un élève soit favorable est $p=0,5675$.
– On répète l’épreuve 4 fois donc $n=4$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,5675$ et $n=4$.

  • Niveau moyen
    Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle.
    Les relevés réalisés permettent de constater que 12 % des personnes appelées souscrivent à ce forfait.
    Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour. On suppose la liste de clients suffisamment importante pour que les choix soient considérés commes indépendants et réalisés dans des conditions identiques.
    On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
Voir la solution

– L’épreuve consistant à choisir un client et regarder s’il souscrit au forfait comporte 2 issues : "le client souscrit au forfait" (Succès) et "le client ne souscrit pas au forfait" (Echec).
– D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de clients qui souscrivent au forfait.

Par ailleurs,
– D’après l’énoncé, la probabilité qu’un client souscrive au forfait est $p=0,12$.
– On répète l’épreuve 60 fois donc $n=60$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,12$ et $n=60$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Bonjour,
    Je suis en terminale et je prépare mon épreuve au Grand Oral et je rencontre un blocage.

    En effet vous dites que une situation est binominale si :
    on répète des épreuves identiques et indépendantes, chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec), X compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.
    Moi je veux axé mon oral sur la possibilité de gagner un jeu de carte en piochant un carte particulière.

    A ce moment là le début du jeu est bien possible a montrer comme étant binominale car on prend 5 cartes sur quarante soit on a la bonne carte soit on l’a pas. Mais cela n’influe en rien la victoire ou la défaite immédiate à ce jeu. Alors on a la possibilité de piocher 1 carte supplémentaire. Mais comme je n’ai plus le même nombre de carte dans le paquet (35) on ne peut pas dire que gagner ou perdre respecte la loi binominale non ?

    Voilà c’était ma question. Désolé si on a dût divaguer avant d’aller droit au but

    • Bonjour Rafaël,
      Tu as raison, on ne peut pas modéliser la situation par une loi binomiale car :

      • on ne compte pas des succès (j’imagine que tu arrêtes dès que tu as pioché la carte gagnante).
      • les expériences ne sont pas identiques car tu commences par tirer 5 cartes d’un coup puis tu en tires une seule.
      • les expériences ne sont pas indépendantes car le nombre de cartes restantes dans le paquet change après chaque pioche.

      Bon courage dans ta préparation !
      Neige

  • Bonsoir, je prepare mon grand oral et je voudrais modeliser les jeux du hasard a travers la loi binomiale. Pouvez vous m’aider svp ?

  • Bonjour, j’ai le problème suivant :
    Dans une population, on sait que 39% sont du groupe sanguin A. On cherche à savoir si cette proportion reste la même parmi les donneurs de sang de cette population. on note X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes de groupe A dans un échantillon de 183 personnes prises au hasard dans la population française.
    Sous quelle hypothèse X suit-elle une loi binomiale ???
    pourquoi cette hypothèse est-elle raisonnable ???

    je ne sais pas quoi répondre…

    merci pour votre aide

    • Bonsoir Gaetan,

      C’est une bonne question ! Je te rappelle qu’une variable aléatoire X suit une loi binomiale si elle compte des "succès" dans la répétitions d’expériences identiques et indépendantes. Chaque expérience de cette série a deux issues possibles : "succès" ou "échec".

      Ici, ta variable aléatoire compte le nombre de personnes du groupe A. Donc on répète l’expérience qui consiste à choisir une personne au hasard et à regarder son groupe sanguin. Si le groupe est A, c’est un succès. Sinon, c’est un échec.

      Les expériences sont elles identiques et indépendante ? Pas tout à fait car, en théorie, il faudrait, entre chaque expérience, remettre la personne dans la liste des personnes susceptibles d’être interrogées. Ce n’est pas le cas mais la population française est suffisamment grande pour que cela ne change pas grand chose. C’est pour cela qu’on considère que l’hypothèse d’expériences identiques et indépendantes est raisonnable.

      Voilà, j’espère que c’est un peu plus clair. N’hésite pa sà revenir dans le cas contraire !
      Bon courage à toi
      Neige
      Voilà

  • Bonjour j’ai le problème suivant,
    Dans un lot de production, le responsable annonce aux clients que seulement 3% des produits qu’il fabrique sont hors normes. Les clients avant de conclure le marché désirent effectuer un test dont la règle est la suivante :

    On prend un échantillon de taille 10 et le marché soit conclu si on trouve au plus un produit défectueux. (Supposons que la production est de taille infinie)

    1- Soit X le nombre de produits défectueux trouvés dans l’échantillon. Justifier que X suit la loi binomiale dont on déterminera les paramètres.

    2- Le responsable accepte à procéder le test s-il est sûre que sur 100 clients, au moins 95 acceptent le lot après le test. Est-ce que le responsable doit procéder au test ?

    Je ne sais pas quoi répondre avec la question 1 à cause du "au plus"
    Et pour la question 2, je suis perdu

    Merci d’avance pour votre aide précieux

    • Bonjour !

      Voici un peu d’aide :)

      – La question 1 concerne la variable X qui compte le nombre de produits défectueux dans un échantillon de taille 10. En fait, cette question est indépendante de l’histoire du marché conclu : on demande juste si cette définition permet de dire que X suit une loi binomiale. La réponse est....oui ! En effet, si la production est de taille infinie, choisir 10 produits revient à répéter 10 fois de façon identique et indépendante le choix d’un produit. C’est suffisant pour dire que X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 3/100.

      – La question 2 n’est pas très bien posée : le responsable ne peut pas être absolument sûr que 95 clients sur 100 accepteront la marché...(il pourrait ne pas avoir de chance et ne tirer que des lots défectueux). Néanmoins, on peut essayer de calculer la probabilité qu’au moins 95 clients acceptent le lot. Pour cela, tu peux considérer la variable aléatoire N qui compte le nombre de clients qui acceptent le lot. On peut approximer N par une loi binomiale ! En effet, en considérant l’expérience aléatoire consistant à choisir un client au hasard et regarder s’il accepte le lot, on répète la même expérience de façon identique et indépendante 100 fois. Je te laisse calculer la probabilité qu’un client accepte le lot (il faut calculer une probabilité qui dépend de X dans la question 1).

      N’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair !
      Courage à toi
      Neige

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