Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 3

On utilise la relation $u_{n+1}=0,8u_n+18$ pour $n=0$. On obtient alors :
$\begin{align} u_{0+1} & =0,8u_0+18 \\ u_{1} & =0,8u_0+18 \\ & =0,8\times 65+18 \\ & =70 \end{align}$

On utilise de nouveau la relation $u_{n+1}=0,8u_n+18$ pour $n=1$ cette fois. On obtient alors :
$\begin{align} u_{1+1} & =0,8u_1+18 \\ u_{2} & =0,8u_1+18 \\ & =0,8\times 70+18 \\ & =74 \end{align}$

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-90$ d’après l’énoncé
$\qquad=(0,8u_n+18)-90$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression
$\qquad=0,8u_n-72$
$\qquad =0,8\times (u_n-90)$ en factorisant par 0,8
$\qquad =0,8\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-90=65-90=-25$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.

D’après la question précédente, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-25\times 0,8^n$.
Comme, d’après l’énoncé, $v_n=u_n-90$ alors $u_n=90+v_n=90-25\times 0,8^n$.

L’algorithme calcule les termes successifs de $(u_n)$ et doit continuer tant que la condition $u_n \lt 85$ est vraie. Il s’arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c’est à dire lorsque $u_n \geq 85$.
On peut donc compléter la ligne 3 ainsi :

ligne 3  : Tant que u<0,85

Exécutons pas à pas cet algorithme.

$\begin{align} u_n\geq 85 & \Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n \geq 85 \\ & \Leftrightarrow -25\times 0,8^n \geq -5 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq \frac{-5}{-25} \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq 0,2 \\ & \Leftrightarrow \ln(0,8^n) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,8) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \\ \end{align}$
Or $\frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}\approx 7,21$. Par conséquent, le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\geq 85$ est $n=8$.

On peut schématiser la situation de la façon suivante où $(w_n)$ est la suite qui correspond à l’énoncé de la question 4 :

Comme réaliser une diminution de 20 % revient à multiplier par 0,8, on peut conclure que $w_{n+1}=0,8w_n+18$ avec, par ailleurs, $w_0=65$.
Cette suite $(w_n)$ est, par conséquent, la suite $(u_n)$. C’est donc bien la suite $(u_n)$ qui permet de modéliser le nombre d’abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.

La recette mensuelle de la société Biocagette est constituée des frais d’abonnement de chaque particulier (52 €). Une recette de 4 420 € correspond donc à $\frac{4420}{52}=85$ abonnés. La question est donc de savoir si durant l’année 2018, l’entreprise va atteindre 85 abonnés. Or, nous avons résolu l’inéquation $u_n\geq 85$ à la question 3c.
$u_n\geq 85$ à partir de $n=8$.
Par conséquent, c’est à partir du mois de "juillet 2017 + 8 mois", c’est à dire mars 2018, que l’entreprise dépassera 85 abonnés.
La recette mensuelle de la société Biocagette va donc dépasser 4 420 € durant l’année 2018 (à partir mars 2018).

Calculons la limite de la suite $(u_n)$.
$0<0,8<1$ donc $\lim 0,8^n=0$.
Par produit par $-25$, $\lim -25\times 0,8^n=0$.
Par somme avec $90$, $\lim 90-25\times 0,8^n=90$.
Cela signifie qu’après un grand nombre de mois, le nombre d’abonnés sera proche de 90.
$90\times 52=4680$. On en déduit que la recette mensuelle de la société Biocagette tend vers 4 680 €.