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Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé)
mardi 24 janvier 2017, par
Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (réservé aux non spécialistes).
5 points - 45 minutes.
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.
Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :
Partie A
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=350$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,5u_n+100$.
Relire la méthode : Calculer les premiers termes d’une suite.
2. On considère la suite $(w_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n=u_n-200$.
a. Montrer que la suite $(w_n)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
Relire la méthode : Montrer qu’une suite est géométrique.
b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n, u_n=200+150\times 0,5^n$.
Relire la méthode : Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .
Partie B
Une commune propose aux enfants d’adhérer à une association sportive. Au premier septembre 2015 le nombre d’enfants inscrits dans cette association est 500 dont 350 filles.
Les statistiques relatives aux années précédentes nous amènent, pour l’évolution du nombre d’adhérents lors des prochaines années à la modélisation suivante :
- Chaque année, la moitié des filles inscrites l’année précédente ne renouvellent pas leur inscription ; par ailleurs l’association accueille chaque année 100 nouvelles filles.
- D’une année à l’autre, le nombre de garçons inscrits à l’association augmente de 10 %.
1. On représente l’évolution du nombre de filles inscrites dans ce club par une suite $(F_n)$ où $F_n$ désigne le nombre de filles adhérentes à l’association en l’année $2015+n$. On a donc $F_0=50$.
Pour tout entier naturel $n$, exprimer $F_{n+1}$ en fonction de $F_n$.
Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.
2. On représente l’évolution du nombre de garçons inscrits dans ce club par une suite $(G_n)$, où $G_n$ désigne le nombre de garçons adhérents à l’association l’année $2015+n$.
a. Pour tout entier naturel $n$, exprimer $G_{n}$ en fonction de $n$.
Relire les méthodes : Appliquer un pourcentage d’évolution puis Traduire un énoncé par une relation de récurrence et enfin Donner l’expression du terme général d’une suite géométrique .
b. À partir de quelle année le club comptera-t-il plus de 300 garçons ?
Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.
3. On souhaite savoir à partir de quelle année le nombre de garçons, dans cette association, va dépasser celui des filles. On propose l’algorithme suivant :
|
a. Recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l’unité.
Valeur de n | 0 | 1 | ... |
Valeur de G | 150 | ... | ... |
Valeur de F | 350 | ... | ... |
Condition G⩽F | vraie | ... | ... |
Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.
b. En déduire l’affichage obtenu, puis répondre au problème posé.
Messages
1. Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé), 23 janvier 2018, 18:21, par Borrelly
Merci pour cette correction compréhensible.
1. Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé), 24 janvier 2018, 12:48, par Neige
De rien, avec plaisir !