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Calculer un taux d’évolution moyen

samedi 23 juin 2018, par Neige

Méthode

On considère une quantité qui passe d’une valeur de départ $V_D$ à une valeur d’arrivée $V_A$ au bout de $n$ périodes (par exemple $n$ années ou $n$ jours).

Calculer le taux moyen d’évolution sur ces $n$ périodes, c’est déterminer quel serait le taux d’évolution $x$ qui, s’il était le même sur chacune des $n$ périodes, permettrait de passer de $V_D$ à $V_A$.

En d’autres termes, on cherche le taux $x$ tel que :
$V_D\times (1+x)^n=V_A$.

En transformant cette expression, on obtient le taux moyen d’évolution sur $n$ périodes :
$x=\left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\frac{1}{n}}-1$

En bref, pour calculer un taux d’évolution moyen,

  • on identifie la valeur de départ $V_D$, la valeur d’arrivée $V_A$ ainsi que le nombre de périodes $n$.
  • on applique la formule $x=\left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\frac{1}{n}}-1$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    D’après Bac
    On sait qu’entre 2002 et 2009, le nombre d’internautes en Chine est passé de 60 millions à 385 millions.
    Calculer le taux d’évolution moyen annuel du nombre d’internautes en Chine entre 2002 et 2009.
Voir la solution

La valeur de départ est $V_D= 60$.
La valeur d’arrivée est $V_A= 385$.
Le nombre de périodes est $n=2009-2002=7$.
Par conséquent, le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’internautes en Chine entre 2002 et 2009 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{385}{60}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,304 \\ & \approx 30,4 \% \end{align}$

  • Niveau facile
    D’après Bac
    On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015.
    En 2011, il y avait 620 214 abonnés.
    En 2015, il y en avait 555 239.
    Calculer le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’abonnés entre 2011 et 2015.
Voir la solution

La valeur de départ est $V_D= 620214$.
La valeur d’arrivée est $V_A= 555239$.
Le nombre de périodes est $n=2015-2011=4$.
Par conséquent, le taux d’évolution annuel moyen du nombre d’abonnés entre 2011 et 2015 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{555239}{620214}\right)^{\frac{1}{4}}-1 \\ & \approx -0,0273 \\ & \approx -2,73 \% \end{align}$

  • Niveau moyen
    D’après Bac
    La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000.
    Calculer le taux d’évolution moyen annuel sur ces 40 années.
Voir la solution

Ici, on ne connaît pas les valeurs de départ $V_D$ et d’arrivée $V_A$ de la population mondiale mais on sait que $V_A=2\times V_D$. Par conséquent, $\frac{V_A}{V_D}=2$.
De plus, le nombre de périodes est $n=40$ années.
Par conséquent, le taux d’évolution annuel moyen est :
$\begin{align} x & =\left(2\right)^{\frac{1}{40}}-1 \\ & \approx 0,0175 \\ & \approx 1,75 \% \end{align}$

  • Niveau moyen
    Dans un pays imaginaire, les prix à la consommation ont baissé de 10 % du 1er janvier 1998 au 31 décembre 2003. Si le taux d’évolution des prix d’une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, quelle serait sa valeur ?
Voir la solution

Ici, on ne connaît pas les valeurs de départ $V_D$ et d’arrivée $V_A$ des prix à la consommation mais on sait que $V_A=(1-10 \%)\times V_D$.
Donc :
$\begin{align} \frac{V_A}{V_D} & =1-10 \% \\ & = 1-\frac{10}{100} \\ & = 0,9 \end{align}$
De plus, le nombre de périodes est $n=5$ années.
Par conséquent, le taux d’évolution annuel moyen est :
$\begin{align} x & =\left(0,9\right)^{\frac{1}{5}}-1 \\ & \approx -0,021 \\ & \approx -2,1 \% \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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