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Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres

mardi 30 janvier 2018, par Neige

Méthode

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale lorsqu’elle "compte" le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli.
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’épreuves identiques et indépendantes ayant chacune exactement deux issues : Succès ou Echec ($S$ ou $E$ dans la figure suivante où l’on a représenté 3 répétitions).
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Remarque : si vous avez déjà des notions de probabilités conditionnelles, vous pouvez remarquer un abus de langage dans les notations $S$ et $E$ utilisées dans l’arbre. En effet, il serait mathématiquement plus rigoureux d’indiquer les évènements sous forme $S_1$, $S_2$ et $S_3$ afin d’éviter les $P_S(S)$ qui seraient toujours égaux à ... 1.

En résumé, pour justifier que $X$ suit une loi binomiale, il suffit de dire que :

  • on répète des épreuves identiques et indépendantes.
  • chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec).
  • $X$ compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

Donner les paramètres d’une loi binomiale, c’est préciser :

  • la probabilité d’obtenir un succès sur une épreuve (non répétée). Ce paramètre est noté $p$.
  • le nombre de répétitions de cette épreuve. Ce paramètre est noté $n$.

Par exemple, dans la figure ci-dessous, $p=0,2$ et $n=3$.
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Lorsque les paramètres d’une loi binomiale sont connus, on peut construire l’arbre en entier et calculer des probabilités (cela fera l’objet d’un autre article).

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    On jette un dé équilibré 10 fois de suites et on considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de réalisations de l’évènement $A$ : "Obtenir 5 ou 6".
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
Voir la solution

- L’épreuve consistant à tirer le dé et regarder si l’évènement $A$ est réalisé ou non comporte 2 issues : "$A$ est réalisé" (Succès) et "$A$ n’est pas réalisé" (Echec).
- On répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de réalisations de l’évènement $A$.

Par ailleurs,
- Comme le dé est équilibré, $P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. On en déduit que $p=\frac{1}{3}$.
- On répète l’épreuve 10 fois donc $n=10$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{3}$ et $n=10$.

  • Niveau moyen
    (D’après Bac)
    Une enquête a été réalisée auprès des élèves d’un lycée afin de connaître leur point de vue sur les rythmes scolaires.
    L’enquête révèle que 56,75 % des élèves sont favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
    On interroge successivement et de façon indépendante 4 élèves pris au hasard parmi les élèves de cet établissement. Le nombre d’élèves de l’établissement étant suffisamment grand, on admet que les choix successifs d’élèves constituent des épreuves identiques et indépendantes.
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d’élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire.
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
Voir la solution

- L’épreuve consistant à choisir un élève au hasard et regarder s’il est favorable à une répartition des cours plus étalée sur l’année scolaire comporte 2 issues : "l’élève est favorable" (Succès) et "l’élève n’est pas favorable" (Echec).
- D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre d’élèves favorables.

Par ailleurs,
- D’après l’énoncé, la probabilité qu’un élève soit favorable est $p=0,5675$.
- On répète l’épreuve 4 fois donc $n=4$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,5675$ et $n=4$.

  • Niveau moyen
    Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d’un nouveau forfait à sa clientèle.
    Les relevés réalisés permettent de constater que 12 % des personnes appelées souscrivent à ce forfait.
    Chaque employé de l’opérateur effectue 60 appels par jour. On suppose la liste de clients suffisamment importante pour que les choix soient considérés commes indépendants et réalisés dans des conditions identiques.
    On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
    Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.
Voir la solution

- L’épreuve consistant à choisir un client et regarder s’il souscrit au forfait comporte 2 issues : "le client souscrit au forfait" (Succès) et "le client ne souscrit pas au forfait" (Echec).
- D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès, c’est à dire le nombre de clients qui souscrivent au forfait.

Par ailleurs,
- D’après l’énoncé, la probabilité qu’un client souscrive au forfait est $p=0,12$.
- On répète l’épreuve 60 fois donc $n=60$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,12$ et $n=60$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(disponible prochainement)

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