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Résoudre une équation du 2nd degré

samedi 26 mai 2018, par Neige

Méthode

Nous allons voir ici comment résoudre une équation du 2nd degré dans $\mathbb{R}$.

Une équation du 2nd degré peut s’écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres fixés et $a\ne 0$.
Par exemple, les équations $-3x^2+5x-26=0$ ou bien $-x^2+\frac{2}{3}=0$ ou encore $x^2+5x=0$ sont des équations du 2nd degré. Par contre $2x-4=0$ n’est pas une équation du 2nd degré mais du 1er degré (il n’y a pas de $x^2$ ou mieux dit : le coefficient de $x^2$ est nul).

Voici la technique générale de résolution d’une équation de type $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\ne 0$) dans $\mathbb{R}$.

  • On écrit à quoi sont égaux $a, b$ et $c$.
  • On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
  • On donne l’une des 3 réponses suivantes selon la valeur de $\Delta$ :
    • Si $\Delta \lt 0$, l’équation n’a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
    • Si $\Delta = 0$, l’équation admet une unique solution réelle : $x=\frac{-b}{2a}$.
    • Si $\Delta \gt 0$, l’équation admet exactement deux solutions réelles : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Remarques

  • Inutile d’apprendre par coeur la formule correspondant à la racine unique (lorsque $\Delta = 0$), on la retrouve en remplaçant $\Delta$ par 0 dans l’une des deux solutions lorsque $\Delta \gt 0$.
  • Attention à bien regrouper tous les termes dans un même membre de l’équation avant de donner les valeurs de $a, b$ et $c$. Par exemple, l’équation $-2x^2+3x-2=4$ doit être réécrite en $-2x^2+3x-6=0$ avant d’être résolue.
  • Attention à bien ordonner les termes avant de donner les valeurs de $a, b$ et $c$. Par exemple, il est plus sûr d’écrire l’équation $3x-x^2+1=0$ sous la forme $-x^2+3x+1=0$ afin d’éviter les erreurs de coefficient !
  • Il peut être utile de factoriser (ou diviser) par une constante afin de simplifier l’équation (et donc, les coefficients). Par exemple, dans l’équation $-100x^2+100x-200=0$, on peut diviser chacun des membres par 100 afin d’obtenir : $-x^2+x-2=0$.

Une dernière remarque

  • Lorsque l’un des coefficients $b$ ou $c$ de l’équation $ax^2+bx+c=0$ est nul, il y a une méthode de résolution plus efficace :
    • Si $b=0$, on isole $x^2$.
    • Si $c=0$, on factorise par $x$.

Des exemples suivent la vidéo.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad x^2+x=2$

    $(E_2) : \qquad x^2+3x-5=2x^2-3x+4$

    $(E_3) : \qquad 8x+4x^2+16=0$

Voir la solution

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$(E_1) \Leftrightarrow x^2+x-2=0$.
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=1$ et $c=-2$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 1^2-4\times 1\times (-2) \\ & =1+8 \\ & =9 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_1)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1-3}{2} \\ & = \frac{-4}{2} \\ & = -2 \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1+3}{2} \\ & = \frac{2}{2} \\ & = 1 \end{align}$


On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow x^2-2x^2+3x+3x-5-4=0 \\ & \Leftrightarrow -x^2+6x-9=0 \end{align}$
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=-1, b=6$ et $c=-9$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 6^2-4\times (-1)\times (-9) \\ & =36-36 \\ & =0 \end{align}$
On constate que $\Delta = 0$ donc $(E_2)$ admet exactement une solution réelle :
$\begin{align} x &=\frac{-6}{2\times (-1)} \\ & = \frac{-6}{-2} \\ & = 3 \end{align}$


On commence par ordonner les termes dans le membre de gauche !
$(E_3) \Leftrightarrow 4x^2+8x+16=0$.
On peut aussi diviser par 4 chacun des membres (cela revient à diviser chaque terme par 4) :
$(E_3) \Leftrightarrow x^2+2x+4=0$.
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=2$ et $c=4$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 2^2-4\times 1\times 4 \\ & =4-16 \\ & =-12 \end{align}$
On constate que $\Delta \lt 0$ donc cette équation n’admet pas de solution réelle.

  • Niveau moyen
    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes de deux façons : d’abord en utilisant le discriminant $\Delta$ puis sans utiliser$\Delta$.

    $(E_1) : \qquad x^2-5=0$

    $(E_2) : \qquad 2x^2=-3x$

Voir la solution

$(E_1)$ est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=0$ et $c=-5$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 0^2-4\times 1\times (-5) \\ & =0+20 \\ & =20 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_1)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{0-\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = -\sqrt{5} \\ & \approx -2,236 \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{0+\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = \sqrt{5} \\ & \approx 2,236 \end{align}$

On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow x^2=5 \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{5} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{5} \end{align}$
On obtient bien les mêmes solutions.


On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$(E_2) \Leftrightarrow 2x^2+3x=0$.
C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=2, b=3$ et $c=0$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 3^2-4\times 2\times 0 \\ & =9 \\ \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_2)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{-3-\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3-3}{4} \\ & = \frac{-6}{4} \\ & = -\frac{3}{2} \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{-3+\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3+3}{4} \\ & = \frac{0}{4} \\ & = 0 \end{align}$

On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 2x^2+3x=5 \\ & \Leftrightarrow x(2x+3) \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x+3=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x=-3 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=-\frac{3}{2} \\ \end{align}$
On obtient bien les mêmes solutions.

  • Niveau difficile
    Pour quelles valeurs du réel $m$, l’équation $x^2-mx+1$ admet exactement une solution réelle ?
Voir la solution

C’est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=-m$ et $c=1$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= (-m)^2-4\times 1\times 1 \\ & =m^2-4 \end{align}$
L’équation admet exactement une solution réelle si et seulement si $\Delta = 0$. Or,
$\begin{align} \Delta = 0 & \Leftrightarrow m^2-4=0 \\ & \Leftrightarrow m^2=4 \\ & \Leftrightarrow m=2 \qquad ou \qquad m=-2 \end{align}$
L’équation admet exactement une solution réelle pour $m=2$ ou $m=-2$ et seulement dans ce cas.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

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