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Résoudre une équation du 1er degré

dimanche 20 mai 2018, par Neige

Méthode

Enfin une méthode facile !

Mais qu’est-ce qu’une équation du premier degré ?
C’est une équation de type $ax+b=0$ où $a$ et $b$ sont des nombres fixés comme par exemple $-3x+4=0$.

Attention, il est parfois nécessaire de développer et/ou réduire des expressions afin d’obtenir une équation similaire à la précédente. Par exemple, l’équation $x-1=3x-2$ est bien une équation du premier degré mais il est nécessaire de regrouper les termes en $x$ avant de se lancer dans la résolution.

Après avoir regroupé les termes et en particulier ceux faisant intervenir l’inconnue, celle-ci apparaît à un seul endroit. Résoudre l’équation, c’est simplement isoler l’inconnue dans un des deux membres en ajoutant/soustrayant ou en multipliant/divisant les deux membres de l’équation.

Ce n’est pas très clair ? Regardez la vidéo et faites les petits exercices ci-dessous.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile/moyen
    Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad -2x+3=0$

    $(E_2) : \qquad 3x-4=-2x+1$

    $(E_3) : \qquad \frac{2}{3}x+x=3$

    $(E_4) : \qquad \frac{x-3}{x+2}=4$

    $(E_5) : \qquad (x+5)(x-4)=(x-2)(x+6)$

Voir la solution

On commence par soustraire 3 aux deux membres :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2x+3-3=0-3 \\ & \Leftrightarrow -2x=-3 \end{align}$
On divise maintenant par -2 chacun des membres :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \frac{-2x}{-2}=\frac{-3}{-2} \\ & \Leftrightarrow x=1,5 \end{align}$
Voilà, on a isolé $x$. L’équation $(E_1)$ a une seule solution, c’est 1,5.


Dans l’équation $(E_2)$, on va regrouper les inconnues dans un seul membre et les constantes dans l’autre :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3x-4+2x=-2x+1+2x \\ & \Leftrightarrow 5x-4=1 \\ & \Leftrightarrow 5x-4+4=1+4 \\ & \Leftrightarrow 5x=5 \\ \end{align}$
On divise maintenant par 5 chacun des membres :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \frac{5x}{5}=\frac{5}{5} \\ & \Leftrightarrow x=1 \\ \end{align}$
C’est terminé !


Pour l’équation $(E_3)$, on va regrouper les termes où intervient l’inconnue $x$. Pour cela, on factorise par $x$ dans le terme de gauche :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow x\times \left(\frac{2}{3}+1\right)=3 \\ & \Leftrightarrow x\times \left(\frac{2}{3}+\frac{3}{3}\right)=3 \\ & \Leftrightarrow x\times \frac{5}{3}=3 \\ \end{align}$
On va maintenant multiplier par $\frac{3}{5}$ (ou diviser par $\frac{5}{3}$, c’est pareil) chacun des deux membres :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow x\times \frac{5}{3}\times \frac{3}{5}=3\times \frac{3}{5} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{9}{5} \end{align}$


L’équation $(E_4)$ ne ressemble pas vraiment à une équation du premier degré... et pourtant, en multipliant dans chacun des membres par $x+2$, on obtient, pour $x\ne -2$ :
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow \frac{x-3}{x+2}\times (x+2)=4\times (x+2) \\ & \Leftrightarrow x-3=4x+8 \\ & \Leftrightarrow -3x=11 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{11}{-3} \\ & \Leftrightarrow x=-\frac{11}{3} \\ \end{align}$


L’équation $(E_5)$ ne ressemble pas non plus à une équation du premier degré. Développons :
$\begin{align} (E_5) & \Leftrightarrow x^2+5x-4x-20=x^2-2x+6x-12 \\ & \Leftrightarrow x^2+x-20=x^2+4x-12 \\ \end{align}$
En soustrayant $x^2$ dans chacun des membres,
$\begin{align} (E_5) & \Leftrightarrow x-20=4x-12 \\ & \Leftrightarrow -3x-20=-12 \\ & \Leftrightarrow -3x=8 \\ & \Leftrightarrow x=-\frac{8}{3} \\ \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

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