Mathématiques.club

Calculer un taux d'évolution moyen

Neige — 2018-06-23T08:19:47Z

Méthode

On considère une quantité qui passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$ au bout de $n$ périodes (par exemple $n$ années ou $n$ jours).

Calculer le taux moyen d'évolution sur ces $n$ périodes, c'est déterminer quel serait le taux d'évolution $x$ qui, s'il était le même sur chacune des $n$ périodes, permettrait de passer de $V_D$ à $V_A$.

En d'autres termes, on cherche le taux $x$ tel que :
$V_D\times (1+x)^n=V_A$.

En transformant cette expression, on obtient le taux moyen d'évolution sur $n$ périodes :
$x=\left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\frac{1}{n}}-1$

En bref, pour calculer un taux d'évolution moyen,

on identifie la valeur de départ $V_D$, la valeur d'arrivée $V_A$ ainsi que le nombre de périodes $n$.
on applique la formule $x=\left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\frac{1}{n}}-1$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
D'après Bac
On sait qu'entre 2002 et 2009, le nombre d'internautes en Chine est passé de 60 millions à 385 millions.
Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre d'internautes en Chine entre 2002 et 2009.

Voir la solution

La valeur de départ est $V_D= 60$.
La valeur d'arrivée est $V_A= 385$.
Le nombre de périodes est $n=2009-2002=7$.
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'internautes en Chine entre 2002 et 2009 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{385}{60}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,304 \\ & \approx 30,4 \% \end{align}$

Niveau facile
D'après Bac
On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015.
En 2011, il y avait 620 214 abonnés.
En 2015, il y en avait 555 239.
Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'abonnés entre 2011 et 2015.

Voir la solution

La valeur de départ est $V_D= 620214$.
La valeur d'arrivée est $V_A= 555239$.
Le nombre de périodes est $n=2015-2011=4$.
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'abonnés entre 2011 et 2015 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{555239}{620214}\right)^{\frac{1}{4}}-1 \\ & \approx -0,0273 \\ & \approx -2,73 \% \end{align}$

Niveau moyen
D'après Bac
La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000.
Calculer le taux d'évolution moyen annuel sur ces 40 années.

Voir la solution

Ici, on ne connaît pas les valeurs de départ $V_D$ et d'arrivée $V_A$ de la population mondiale mais on sait que $V_A=2\times V_D$. Par conséquent, $\frac{V_A}{V_D}=2$.
De plus, le nombre de périodes est $n=40$ années.
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen est :
$\begin{align} x & =\left(2\right)^{\frac{1}{40}}-1 \\ & \approx 0,0175 \\ & \approx 1,75 \% \end{align}$

Niveau moyen
Dans un pays imaginaire, les prix à la consommation ont baissé de 10 % du 1er janvier 1998 au 31 décembre 2003. Si le taux d'évolution des prix d'une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, quelle serait sa valeur ?

Voir la solution

Ici, on ne connaît pas les valeurs de départ $V_D$ et d'arrivée $V_A$ des prix à la consommation mais on sait que $V_A=(1-10 \%)\times V_D$.
Donc :
$\begin{align} \frac{V_A}{V_D} & =1-10 \% \\ & = 1-\frac{10}{100} \\ & = 0,9 \end{align}$
De plus, le nombre de périodes est $n=5$ années.
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen est :
$\begin{align} x & =\left(0,9\right)^{\frac{1}{5}}-1 \\ & \approx -0,021 \\ & \approx -2,1 \% \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 2 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1.

Appliquer un pourcentage d'évolution

Neige — 2017-02-04T23:34:52Z

Méthode

Cette méthode est assez simple. Il suffit de retenir les principes suivants :

appliquer une augmentation de $x\%$ à une quantité revient à multiplier cette quantité par $1+\frac{x}{100}$.
appliquer une réduction de $x\%$ à une quantité revient à multiplier cette quantité par $1-\frac{x}{100}$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Un pantalon à 35 € est en solde. L'étiquette indique "-15 %". Quel est le prix après réduction.

Voir la solution

On applique une réduction de 15 % à 35 €, ce qui revient à multiplier 35 € par $1-\frac{15}{100}=0,85$.
$35\times 0,85=29, 75$.
Le pantalon coûte désormais 29,75 €.

Niveau facile
Le salaire de Jean, initialement de 1450 €, augmente de 8,5 %.
Quel est son nouveau salaire ?

Voir la solution

On applique une augmentation de 8,5 % à 1450 €, ce qui revient à multiplier 1450 € par $1+\frac{8,5}{100}=1,085$.
$1450\times 1,085=1573,25$.
Le nouveau salaire de Jean est de 1573,25 €.

Niveau facile
La population d'une ville augmente de 125 %. Par combien est-elle multipliée ?

Voir la solution

Augmenter la population de 125 % revient à la multiplier par $1+\frac{125}{100}$, c'est à dire 2,25.

Niveau moyen
Un capital de 5000 € est placée sur un compte bancaire et rapporte 1,75 % chaque année. Sachant qu'aucun retrait n'a lieu, quel capital obtient-on au bout de 10 ans ?

Voir la solution

Augmenter une quantité de 1,75 % revient à la multiplier par $1+\frac{1,75}{100}=1,0175$.
Ainsi, au bout d'un an, le capital s'élève à $5000\times 1,0175(=5087,5)$.
Au bout de deux ans, le capital s'élève à $5000\times 1,0175\times 1,0175=5000 \times 1,0175^2(\approx 5176,53)$.
Au bout de trois ans, le capital s'élève à $5000\times 1,0175\times 1,0175\times 1,0175=5000 \times 1,0175^3(\approx 5267,12)$.
etc...
Au bout de 10 ans, le capital s'élève à $5000 \times 1,0175^{10}\approx 5947,22$ €.

Niveau Moyen
On considère un nombre $N$. On applique à $N$ une augmentation de 20 % puis une réduction de 20 %. Le résultat obtenu après la réduction est -il égal à $N$ ?

Voir la solution

Appliquer à $N$ une augmentation de 20 % revient à multiplier $N$ par 1,2. On obtient alors $N\times 1,2$.
Appliquer à ce résultat une réduction de 20 % revient à le multiplier par 0,8. On obtient alors $N\times 1,2 \times 0,8$.
Or, $1,2\times 0,8=0,96$.
Le résultat obtenu après la réduction n'est pas égal à $N$ mais à $N\times 0,96$ (c'est à dire que globalement, la valeur de $N$ a diminué de 4 %).

Niveau Moyen
Appliquer une réduction de 8 % suivie d'une augmentation de 10 % revient-il au même qu'appliquer une augmentation de 10 % puis une réduction de 8 % ?

Voir la solution

Prenons un nombre $N$.
Appliquer à $N$ une réduction de 8 % revient à multiplier $N$ par 0,92. On obtient alors $N\times 0,92$.
Appliquer à ce résultat une augmentation de 10 % revient à le multiplier par 1,1. On obtient alors $N\times 0,92 \times 1,1=N\times 1,012$.
D'autre part, si on appliquait les mêmes évolutions mais dans l'ordre contraire, on obtiendrait : $N\times 1,1 \times 0,92=N\times 1,012$.
Par conséquent, les deux situations reviennent exactement au même.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question B.2a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question A.1 de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question B de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 1 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Calculer un pourcentage d'évolution

Neige — 2016-12-17T21:04:41Z

Méthode

Pour calculer un pourcentage d'évolution entre une valeur de départ $V_{d}$ et une valeur d'arrivée $V_{a}$, on utilise simplement la formule : $ \frac{V_{a}-V_{d}}{V_{d}}$

Le résultat est un nombre sans unité que l'on peut écrire en pourcentage.

Attention, une erreur répandue est de confondre la valeur de départ et celle d'arrivée. Une analyse attentive de l'énoncé est donc primordiale pour éviter cet écueil.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère l'évolution du prix d'une action entre 2012 et 2015.

Année	2012	2013	2014	2015
Prix de l'action en euros	98	95	77	75

$ \\$
Quel est le pourcentage d'évolution du prix de cette action entre 2012 et 2015 ?

Voir la réponse

Ici, la valeur de départ est : $V_d=98$.
La valeur d'arrivée est : $V_a=75$.
$\frac{V_{a}-V_{d}}{V_{d}}=\frac{75-98}{98}\\ \qquad \approx -0,235\\ \qquad \approx -23,5\%$

Cela signifie que le pourcentage d'évolution du prix de cette action entre 2012 et 2015 est d'environ $-23,5\%$. On peut aussi dire que le prix a diminué de $23,5\%$.

Niveau moyen
On considère l'évolution du prix d'une baguette de pain entre 1960 et 2010.

Année	1960	1970	1980	1990	2000	2010
Prix du pain en euros	0,05	0,09	0,25	0,48	0,64	0,84

$ \\$
Quel est le pourcentage d'évolution du prix du pain entre 1960 et 2010 ?

Voir la réponse

Ici, la valeur de départ est : $V_d=0,05$.
La valeur d'arrivée est : $V_a=0,84$.
$\frac{V_{a}-V_{d}}{V_{d}}=\frac{0,84-0,05}{0,05}\\ \qquad =15,8\\ \qquad =1580\%$

Cela signifie que le pourcentage d'augmentation du prix du pain entre 1960 et 2010 est de $1580\%$.

Au bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 1 de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).