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Etudier les variations d'une suite par différence

Neige — 2017-04-01T20:21:36Z

Méthode

Il existe de nombreuses méthodes pour étudier le sens de variation d'une suite.
La méthode exposée ici est une méthode générale d'étude de variations, particulièrement intéressante lorsque la suite à étudier ne fait pas partie des suites "connues" (arithmétique ou géométrique) en classe de Terminale ou bien lorsqu'on n'a pas vraiment d'idées.

Voici son prinicipe.
On considère une suite $(u_n)$.
Il s'agit d'étudier le signe de $u_{n+1}-u_n$ pour tout entier $n$.

Si $u_{n+1}-u_n \geq 0$, alors $(u_n)$ est croissante.
Si $u_{n+1}-u_n \leq 0$, alors $(u_n)$ est décroissante.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=-2$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=n+u_n+6$.
Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n=(n+u_n+6)-u_n \\ \qquad \qquad =n+6$
Comme $n \geq 0$ alors $n+6 \gt 0$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est croissante (et même strictement croissante).

Niveau facile
On considère la suite $(u_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n}=-n^2-n+2$.
Calculer $u_{n+1}-u_n$ puis en déduire le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n=\left(-(n+1)^2-(n+1)+2\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =\left(-(n^2+2n+1)-n-1+2\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =\left(-n^2-2n-1-n+1\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =\left(-n^2-3n\right)-\left(-n^2-n+2\right) \\ \qquad \qquad =-n^2-3n+n^2+n-2 \\ \qquad \qquad =-2n-2$
Comme $n \geq 0$ alors $-2n-2 \lt 0$.
On en déduit que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Niveau moyen
On considère la suite $(v_n)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $v_{n}=3\times 1,2^{n-1}+4n-5$.
Calculer $v_{n+1}-v_n$ puis en déduire le sens de variation de la suite $(v_n)$.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}-v_n=\left(3\times 1,2^{n+1-1}+4(n+1)-5)\right)-\left(3\times 1,2^{n-1}+4n-5\right) \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^n+4n+4-5-3\times 1,2^{n-1}-4n+5 \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^n-3\times 1,2^{n-1}+4 \\ \qquad \qquad =3\times (1,2^n-1,2^{n-1})+4 \\ \qquad \qquad =3\times (1,2^{n}-1,2^{n}\times 1,2^{-1})+4 \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^{n}\times (1-1,2^{-1})+4 \\ \qquad \qquad =3\times 1,2^{n}\times \frac{1}{6}+4 \\ \qquad \qquad =0,5\times 1,2^{n}+4$
Comme $1,2^{n} \gt 0$ alors, par produit par 0,5 puis par somme avec 4, $0,5\times 1,2^{n}+4 \gt 0$.
Par conséquent, $v_{n+1}-v_n \gt 0$ et la suite $(v_n)$ est strictement croissante.

Niveau moyen
On appelle $b_n$ le nombre de millions de bactéries présentes dans quelques gouttes d'eau (l'expérience a lieu en laboratoire) au bout de $n$ heures. On sait que la suite $(b_n)$ est définie par $b_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par : $b_{n+1}=b_n^2-b_n+1$.
Montrer que le nombre de bactéries croît au cours du temps .

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$b_{n+1}-b_n=(b_n^2-b_n+1)-b_n \\ \qquad \qquad =b_n^2-2b_n+1$
On reconnaît une identité remarquable.
En effet, $(b_n-1)^2=b_n^2-2b_n+1$.
Par conséquent, $b_{n+1}-b_n=(b_n-1)^2$.
Comme un carré est toujours positif alors $b_{n+1}-b_n \geq 0$ et on peut conclure que la suite $(b_n)$ est croissante.
Le nombre de bactéries croît au cours du temps.

Niveau difficile
On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n+1}=16u_n-50-u_n^2$.
On sait, de plus, que pour tout entier naturel $n$, $u_n \lt 5$.
Etudier le sens de variation de la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$u_{n+1}-u_n=16u_n-50-u_n^2-u_n \\ \qquad \qquad =-u_n^2+15u_n-50$
On considère le polynôme $-x^2+15x-50$.
Déterminons son signe. Pour cela, on calcule tout d'abord ses racines.
$\Delta=15^2-4\times (-1)\times (-50)=25=5^2$
Par conséquent, ce polynôme admet 2 racines : $x_1=\frac{-15-5}{-2}=10$ et $x_2=\frac{-15+5}{-2}=5$.
On en déduit que si $x \lt 5$, alors $-x^2+15x-50 \lt 0$.
Appliquons ce résultat pour $x=u_n$ :
si $u_n \lt 5$, alors $-u_n^2+15u_n-50 \lt 0$.
D'après l'énoncé, $u_n \lt 5$.
Par conséquent, $u_{n+1}-u_n \lt 0$ et la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 3 de Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé).

Traduire un énoncé par une relation de récurrence

Neige — 2017-02-03T23:07:51Z

Méthode

Etablir une relation de récurrence pour une suite $(u_n)$, c'est écrire une égalité faisant intervenir un terme quelconque et son ou ses suivant(s). Bien souvent dans les exercices de type Bac, il s'agit d'écrire une égalité faisant intervenir $u_{n+1}$ et $u_n$.

Il n'est pas toujours facile de traduire un énoncé pour établir ce type d'égalités. On peut toutefois suivre les étapes suivantes :

Lire l'énoncé avec beaucoup d'attention et surligner les mots importants.
Faire un schéma permettant de résumer la situation. Si l'exercice fait mention d'une suite $(u_n)$, il est nécessaire de faire apparaître (au moins) les termes $u_n$ et $u_{n+1}$ sur le schéma. Cliquer sur le schéma pour l'agrandir.
Traduire le schéma par une égalité.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère une suite $(u_n)$ telle qu $u_0=8$ et chaque terme d'indice $n \ge 1$ vaut $77\%$ du précédent.
Etablir une relation de récurrence pour la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Ici, les mots « chaque terme d'indice $n \ge 1$ vaut $77\%$ du précédent » sont primordiaux car ils précisent la relation de passage entre un terme et le suivant.
On va noter $u_n$ un terme quelconque et $u_{n+1}$ le terme suivant.
L'énoncé nous permet de réaliser le schéma ci-dessous (cliquer dessus pour l'agrandir) :

L'étape suivante consiste à traduire ce schéma par une égalité mathématique.
Ici, dire que $u_{n+1}$ vaut $77\%$ de$u_n$ signifie que, pour tout entier $n \ge 1$,
$u_{n+1}=0,77\times u_n$ $.$

Niveau facile
On considère une suite $(u_n)$ telle qu $u_0=-3$, $u_1=-1$ et chaque terme d'indice $n \ge 2$ vaut la somme des deux précédents.
Etablir une relation de récurrence pour la suite $(u_n)$.

Voir la solution

Les mots « chaque terme d'indice $n \ge 2$ vaut la somme des deux précédents » permettent de construire le schéma suivant (cliquer dessus pour l'agrandir) dans lequel $u_n$ désigne un terme quelconque, $u_{n+1}$ le terme suivant et $u_{n+2}$ le terme qui suit $u_{n+1}$.

On peut alors écrire que pour tout entier $n \ge 2$,
$u_{n+2}=u_{n+1}+u_n$ $.$

Niveau moyen
On considère une population d'abeilles dont on compte le nombre d'individus le premier jour de chaque mois. On notera $u_n$ le nombre d'individus dans la population au bout de $n$ mois depuis le début du comptage. On sait que $u_0=1000$ et que d'un mois à l'autre :
– les abeilles se reproduisent et leur population croît de $20\%$.
– après cette augmentation, 150 abeilles meurent.
Etablir une relation de récurrence pour la suite $(u_n)$.

Voir la solution

L'énoncé permet de construire le schéma suivant (cliquer dessus pour l'agrandir).

On rappelle qu'appliquer une augmentation de 20 % revient à multiplier par 1,2 (voir à ce sujet la méthode Appliquer un pourcentage d'évolution).
Par conséquent, on peut établir la relation suivante :
Pour tout entier naturel $n$,
$u_{n+1}=1,2\times u_{n}-150$ $.$

Niveau difficile
Dans un petit village, 1500 personnes vont acheter une baguette de pain tous les matins du mois de janvier 2017. Il y a deux boulangeries dans ce village. Le 1^er janvier 2017, 750 habitants sont allés dans la boulangerie A et 750 dans la boulangerie B. Ensuite, d'un jour à l'autre,
– 15 % des habitants ayant acheté leur pain dans la boulangerie A vont l'acheter, le jour suivant, dans la boulangerie B. Les 85 % restants retournent dans la boulangerie A.
– 20 % des habitants ayant acheté leur pain dans la boulangerie B vont l'acheter, le jour suivant, dans la boulangerie A. Les 80 % restants retournent dans la boulangerie B.
On appelle $a_n$ et $b_n$ le nombre d'habitants se rendant dans les boulangeries A et B le $n^{ème}$ jour du mois de janvier 2017.
Ainsi $a_1=b_1=750$.
Déterminer les expressions de $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ et $b_{n}$.

Voir la solution

Voici une traduction de l'énoncé sous forme de schéma (cliquer dessus pour l'agrandir).

On peut alors établir les relations suivantes, vraies pour tout entier naturel $n$ :
$a_{n+1}=0,85 \times a_n+0,2 \times b_n$
$a_{n+1}=0,8 \times b_n+0,15 \times a_n$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question B.1 de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question B.2a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question A.2 de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 1 de Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 2a de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Calculer la limite d'une suite géométrique

Neige — 2017-01-22T18:36:52Z

Méthode

On considère un nombre $q$ strictement positif et la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=q^n$.

La règle de calcul de limite est simple :

si $0 < q < 1$ alors $\lim q^n=0$.
si $q=1$ alors $\lim q^n=1$.
si $q>1$ alors $\lim q^n=+\infty$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Déterminer la limite de la suite géométrique $(u_n)$ de raison $\frac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=-2$.

Voir la solution

La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=-2$ donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=-2\times \left(\frac{8}{3}\right)^n$.
Comme $\frac{8}{3}>1$ alors $\lim\left(\frac{8}{3}\right)^n=+\infty$.
Par produit par $-2$, on obtient : $\lim -2\times \left(\frac{8}{3}\right)^n=-\infty$.

Niveau facile
Le nombre de poissons dans un lac à la fin de l'année $2010+n$ est égal à $2500-1000\times 0,5^n$.
A long terme, combien le lac comptera-t-il de poissons ?

Voir la solution

Les mots "A long terme" signifient que l'on doit calculer la limite de $(u_n)$.
$0<0,5<1$ donc $\lim 0,5^n=0$.
Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0,5^n=0$.
Par somme avec $2500$, $\lim 2500-1000\times 0,5^n=2500$.
Par conséquent, à long terme, le lac comptera 2500 poissons.

Niveau moyen
Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$.

Voir la solution

Ici, il est nécessaire de transformer l'expression de $u_n$ afin de pouvoir appliquer les règles de calcul de limite.
$u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n\times 3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times \frac{1}{3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3^1 \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3 \\ \qquad =\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3$
Comme $0<\frac{2}{3}<1$ alors $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$.
Par produit par 3, on peut conclure que $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3=0$ ou encore, $\lim u_n=0$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 5 de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 3 de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question 2d de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Déterminer un rang sous condition

Neige — 2017-01-21T18:07:10Z

Méthode

On considère une suite $(u_n)$ dont on connaît l'expression du terme général.
Chercher le rang $n$ tel que $u_n$ respecte une condition, c'est résoudre une équation ou une inéquation d'inconnue $n$ faisant intervenir $u_n$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Déterminer le rang $n$ pour lequel la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=4^n$ atteint la valeur 262 144.

Voir la solution

Il s'agit de résoudre l'équation $u_n=262 144$.
$u_n=262 144 \Leftrightarrow 4^n=262 144 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \ln(4^n)=\ln(262 144) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(4)=\ln(262 144) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n=\frac{\ln(262 144)}{\ln(4)} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n=9$
La valeur du rang recherchée est 9.

Niveau moyen
Le salaire de M. Renard à l'année $2010+n$ est noté $u_n$. Son salaire est réactualisé une seule fois par an en tout début d'année. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $90$ et de premier terme $u_0=1250$.
Déterminer l'année à partir de laquelle le salaire de M. Rebard dépassera 2000 €.

Voir la solution

Il s'agit de résoudre l'inéquation $u_n>2000$.
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $90$ et de premier terme $u_0=1250$ donc pour tout entier positif ou nul $n$, $u_n=1250+90n$.
$u_n>2000 \Leftrightarrow 1250+90n>2000 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow 90n>750 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{750}{90} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{25}{3}$
Comme $\frac{25}{3}\approx 8,3$ alors c'est à partir de $n=9$ ou, autrement dit, à partir de 2019 que le salaire de M. Renard dépassera 2000 €.

Niveau moyen
Des scientifiques ont affirmé que le pourcentage de la population (d'un pays imaginaire) vivant dans les campagnes au cours de l'année $2017+n$ serait de $0,25+0,15\times (\frac{2}{3})^n$.
Quand est-ce que ce pourcentage deviendra inférieur à $26,5\%$ ?

Voir la solution

Il s'agit de résoudre l'inéquation $u_n<0,265$.
$u_n<0,265 \Leftrightarrow 0,25+0,15\times \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,265 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow 0,15\times \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,015 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n<\frac{0,015}{0,15} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,1 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \ln\left[\left(\frac{2}{3}\right)^n\right]<\ln(0,1) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n\times\ln\left(\frac{2}{3}\right)<\ln(0,1) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{\ln(0,1)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}$
Dans cette dernière inégalité, l'ordre a changé car $\ln\left(\frac{2}{3}\right)<0$.
Comme $\frac{\ln(0,1)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}\approx 5,68$ alors c'est entre la 5ème et la 6ème année (entre 2022 et 2023) que le pourcentage de la population vivant à la campagne deviendra inférieur à $26,5\%$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 4d de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question B.2b de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question 3 de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question B de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 4a de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique

Neige — 2016-12-30T20:32:30Z

Méthode

On considère une suite géométrique $(u_n)$ dont on connaît la raison $q$ et le premier terme $u_0$.
Alors, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n$.
Cette dernière égalité est une réponse aux questions :

"Exprimer $u_n$ en fonction de $n$."
"Donner une expression explicite de $u_n$."

Attention : cette expression n'est valable que si la suite est géométrique (il faut donc s'assurer qu'on a déjà montré que la suite était géométrique dans une question antérieure).

Remarque : dans certains cas, la suite géométrique n'est pas définie à partir du rang 0 mais à partir du rang 1 ou du rang 2 (ou d'un rang encore plus grand). Dans ces cas, on peut utiliser l'une des expressions suivantes :
$u_n=u_1\times q^{n-1}$
$u_n=u_2\times q^{n-2}$
$u_n=u_3\times q^{n-3}$
...
$u_n=u_p\times q^{n-p}$

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison $\frac{1}{2}$ et de premier terme $u_0=3$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Voir la solution

D'après le cours, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3\times (\frac{1}{2})^n$
(Attention à ne pas oublier les parenthèses autour de $\frac{1}{2}$ !).

Niveau facile
On considère la suite géométrique $(u_n)$ de raison 8 et de premier terme $u_1=5$.
Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

Voir la solution

D'après le cours, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $u_n=5\times 8^{n-1}$

Niveau moyen
On considère la suite $(u_n)$ telle que $u_1=4$ et définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par $u_{n+1}=5\times u_n-2$. On considère, de plus, la suite $(v_n)$ définie pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1 par $v_{n}=u_n-\frac{1}{2}$.
Montrer que $(v_n)$ est géométrique puis donner une expression explicite de son terme général.

Voir la solution

Soit $n$ un entier supérieur ou égal à 1.
$v_{n+1}=u_{n+1}-\frac{1}{2}$ $d'après l'énoncé.$
$v_{n+1}=(5\times u_n-2)-\frac{1}{2}$ $d'après l'énoncé.$
$v_{n+1}=5\times u_n-\frac{5}{2}$
$v_{n+1}=5\times (u_n-\frac{1}{2})$ $en factorisant par 5.$
$v_{n+1}=5\times v_n$ $d'après l'énoncé.$

La suite $(v_n)$ est donc géométrique de raison 5 et de premier terme $v_1=u_1-\frac{1}{2}=4-\frac{1}{2}=\frac{7}{2}$.
D'après le cours, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 1, $v_n=\frac{7}{2}\times 5^{n-1}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 4b de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question A.2b de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question B.2a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question 2c de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question A.3b de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question B de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 2b de Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 2c de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Montrer qu'une suite est géométrique

Neige — 2016-12-29T14:25:15Z

Méthode

Il existe différentes méthodes pour démontrer qu'une suite est géométrique.
On présente ici la plus classique en Terminale ES.

Une suite $(u_{n})$ est géométrique si et seulement si pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=a\times u_{n}$ où $a$ est un nombre indépendant de $n$.

Pour démontrer qu'un suite est géométrique, on peut donc montrer qu'elle respecte bien la relation $u_{n+1}=a\times u_{n}$.
Lors des épreuves de BAC, il est fréquent d'utiliser la rédaction suivante :
$u_{n+1}=... \qquad $(d'après la relation donnée dans l'énoncé)
$\\ \qquad =... \\ \qquad =a\times u_{n}$
Donc $(u_{n})$ est géométrique de raison $a$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau moyen
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=12$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=3u_n-4$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=u_n-2$.
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-2$ d'après l'énoncé.
$\qquad =(3u_n-4)-2$ d'après l'énoncé.
$\qquad =3u_n-6$
$\qquad =3(u_n-2)$ en factorisant (on peut aussi remplacer $u_n$ par $v_n+2$)
$\qquad =3v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison 3.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=u_0-2=10$.

Niveau difficile
On considère la suite $(u_{n})$ telle que $u_0=7$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=\frac{2}{u_n-1}$. Par ailleurs, on considère la suite $(v_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_{n}=\frac{u_n+1}{u_n-2}$.
Montrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique et préciser sa raison ainsi que son premier terme.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=\frac{u_{n+1}+1}{u_{n+1}-2}$ d'après l'énoncé.
$\qquad =\frac{\frac{2}{u_n-1}+1}{\frac{2}{u_n-1}-2}$
$\qquad =\frac{(\frac{2}{u_n-1}+1)\times (u_n-1)}{(\frac{2}{u_n-1}-2)\times (u_n-1)}$ en multipliant numérateur et dénominateur par $u_n-1$
$\qquad =\frac{2+(u_n-1)}{2-2(u_n-1)}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2u_n+4}$
$\qquad =\frac{u_n+1}{-2(u_n-2)}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times \frac{u_n+1}{u_n-2}$
$\qquad =-\frac{1}{2}\times v_n$
Donc $(v_{n})$ est une suite géométrique de raison $-\frac{1}{2}$.
De plus, le premier terme de cette suite est $v_0=\frac{u_0+1}{u_0-2}=\frac{8}{5}$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 4a de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question A.2a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question 2b de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question A.3a de Métropole, Septembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 2a de Asie, Juin 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question 2b de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.

Calculer les premiers termes d'une suite

Neige — 2016-12-18T16:24:42Z

Méthode

On considère une suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=f(u_n)$ où $f$ est une fonction donnée. De plus, le premier terme $u_0$ est également connu.

Si l'exercice demande de calculer $u_1$, on peut se servir de la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $0$.
On obtient alors $u_{0+1}=f(u_0)$, c'est à dire $u_{1}=f(u_0)$.
Comme $f$ et $u_0$ sont donnés, c'est terminé.

Si, par la suite, l'exercice demande de calculer $u_2$, on raisonne de façon analogue. On utilise à nouveau la relation $u_{n+1}=f(u_n)$ en remplaçant $n$ par $1$.
On obtient alors $u_{1+1}=f(u_1)$, c'est à dire $u_{2}=f(u_1)$.
Comme $f$ est connue et $u_1$ vient d'être calculé, c'est terminé.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-3$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6 \\$.
Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.

Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=-2\times u_{0}+6$, c'est à dire $u_{1}=-2\times u_{0}+6 \\ \qquad =-2\times (-3)+6 \\ \qquad =6+6 \\ \qquad =12 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=-2\times u_{n}+6$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=-2\times u_{1}+6$, c'est à dire $u_{2}=-2\times u_{1}+6 \\ \qquad =-2\times (12)+6 \\ \qquad =-24+6 \\ \qquad =-18$

Niveau moyen
On considère la suite $(u_{n})$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. De plus, on sait que $u_{0}=4$ et $u_{1}=3 \\$.
Calculer $u_{2}$ puis $u_{3}$.

Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+2}=3\times u_{0+1}-2\times u_{0}$, c'est à dire $u_{2}=3\times u_{1}-2\times u_{0} \\ \qquad =3\times 3-2\times 4 \\ \qquad =9-8 \\ \qquad =1 \\$

Pour calculer $u_{3}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+2}=3\times u_{n+1}-2\times u_{n} $ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+2}=3\times u_{1+1}-2\times u_{1}$, c'est à dire $u_{3}=3\times u_{2}-2\times u_{1} \\ \qquad =3\times 1-2\times 3 \\ \qquad =3-6 \\ \qquad =-3 \\$

Niveau difficile
On considère la suite $(u_{n})$ pour laquelle $u_{0}=-2$ et définie pour tout entier naturel $n$ par $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1} \\$.
Calculer $u_{1}$ puis $u_{2}$.

Voir la solution

On sait que pour tout entier naturel $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$. On utilise cette relation pour $n=0$ et on obtient :
$u_{0+1}=(0+1) \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1}$, c'est à dire $u_{1}=1 \times \frac{u_{0}-1}{u_{0}^2+1} \\ \qquad =\frac{-2-1}{(-2)^2+1} \\ \qquad =\frac{-3}{4+1} \\ \qquad =\frac{-3}{5} \\ \qquad =-0,6 \\$

Pour calculer $u_{2}$, on suit le même raisonnement.
On utilise la relation $u_{n+1}=(n+1) \times \frac{u_{n}-1}{u_{n}^2+1}$ pour $n=1$ et on obtient :
$u_{1+1}=(1+1) \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1}$, c'est à dire $u_{2}=2 \times \frac{u_{1}-1}{u_{1}^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-0,6-1}{(-0,6)^2+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{0,36+1} \\ \qquad =2 \times \frac{-1,6}{1,36} \\ \qquad =\frac{-40}{17} \\ \qquad \approx -2,35$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 2 de Amérique du Sud, Novembre 2016 - Exercice 3 (non spé).
la question A.1 de Nouvelle Calédonie, Novembre 2016 - Exercice 2 (non spé).
la question 2a de Antilles-Guyane, Septembre 2016 - Exercice 4.
la question 1 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2.