Sujet 0, 2020 - Exercice 3

Neige — 2019-10-27T13:04:05Z

Sujet 0, 2020 - Exercice 3
5 points - 30 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, espérance.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Une compagnie d'assurance auto propose deux types de contrat :
– un contrat « Tous risques » dont le montant annuel est de 500 € ;
– un contrat « de base » dont le montant annuel est de 400 €.

En consultant le fichier clients de la compagnie, on recueille les données suivantes :
– 60% des clients possèdent un véhicule récent (moins de 5 ans). Les autres clients ont un véhicule ancien ;
– parmi les clients possédant un véhicule récent, 70% ont souscrit au contrat « Tous risques » ;
– parmi les clients possédant un véhicule ancien, 50% ont souscrit au contrat « Tous risques ».

On considère un client choisi au hasard.
D'une manière générale, la probabilité d'un événement $A$ est notée $P(A)$ et son événement contraire est noté $\bar{A}$.
On note les événements suivants :
• $R$ : « le client possède un véhicule récent » ;
• $T$ : « le client a souscrit au contrat « Tous risques ».
On note $X$ la variable aléatoire qui donne le montant du contrat souscrit par un client.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré de probabilité traduisant les données de l'exercice.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

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D'après l'énoncé, $P(R)=60\%=0,6$. De plus, $P_R(T)=70\%=0,7$ et $P_\bar{R}(T)=50\%=0,5$.
D'où l'arbre suivant :

2. Calculer la probabilité qu'un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques », c'est-à-dire calculer $P(R \cap{T})$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

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D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P(R \cap{T}) & = P(R)\times P_R(T) \\ & = 0,6\times 0,7 \\ & = 0,42 \end{align}$
La probabilité qu'un client pris au hasard possède un véhicule récent et ait souscrit au contrat « Tous risques » est de 0,42.

3. Montrer que $P(T)=0,62$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

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D'après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(T) & = P(R \cap{T})+P(\bar{R} \cap{T}) \\ & = P(R \cap{T})+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(T) \\ & = 0,42+0,4\times 0,5 \\ & = 0,42+0,2 \\ & = 0,62 \end{align}$
La probabilité qu'un client pris au hasard ait souscrit au contrat « Tous risques » est de 0,62.

4. La variable aléatoire $X$ ne prend que deux valeurs $a$ et $b$. Déterminer ces deux valeurs, les probabilités $P(X=a)$ et $P(X=b)$, puis l'espérance de $X$.

Relire les méthodes : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.

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$X$ donne le montant du contrat souscrit par un client. D'après l'énoncé, cette variable aléatoire ne peut prendre que deux valeurs : 400 € ou 500 €.
$P(X=500)$ est la probabilité qu'un client pris au hasard ait souscrit au contrat « Tous risques ».
D'après la question précédente, $P(X=500)=0,62$.
On en déduit que $P(X=400)=1-0,62=0,38$.
On peut résumer la loi de probabilité de $X$ dans un tableau :

$x_i$	400 €	500 €
$P(X=x_i)$	$0,38$	$0,62$

Calculons l'espérance de cette loi :
$E(X)=0,38\times 400+0,62\times 500=462 €$.
Interprétation (non demandée dans l'exercice) : la dépense moyenne d'un client souscrivant un contrat (sur un grand nombre de clients) est de 462 €.

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