https://www.mathematiques.club/ Un site pour aider les élèves à préparer leur Bac. fr SPIP - www.spip.net https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L128xH128/siteon0-b9b71.png?1766851971 https://www.mathematiques.club/ 128 128 https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-1 https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-1 2018-07-23T17:43:26Z text/html fr Neige <p>Dérivée d'une fonction, taux d'évolution moyen, loi normale, loi uniforme.</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/" rel="directory">Exercices corrigés du bac</a> <div class='rss_chapo'><p>Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1<br class='autobr' /> 4 points - 36 minutes<br class='autobr' /> Thèmes abordés : dérivée d'une fonction, taux d'évolution moyen, loi normale, loi uniforme.</p> <p>Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :</p> <ul class="spip" role="list"><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/derivation/article/deriver-une-somme-un-produit-par-un-reel' class="spip_in">Dériver une somme, un produit par un réel</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/derivation/article/deriver-l-exponentielle-d-une-fonction' class="spip_in">Dériver l'exponentielle d'une fonction</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/calculer-un-taux-d-evolution-moyen' class="spip_in">Calculer un taux d'évolution moyen</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/article/calculer-des-probabilites-avec-une-loi-normale' class="spip_in">Calculer des probabilités avec une loi normale</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/article/calculer-des-probabilites-avec-une-loi-uniforme' class="spip_in">Calculer des probabilités avec une loi uniforme</a>.</li></ul></div> <div class='rss_texte'><p><i>Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.<br class='autobr' /> Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.</i></p> <p><a id="Q1"></a><br class='autobr' /> <strong>1.</strong> Soit <span class="spip-math">$f$</span> la fonction définie pour tout réel <span class="spip-math">$x$</span> par <span class="spip-math">$f(x)=e^{-3x}+e^2$</span>.<br class='autobr' /> A. <span class="spip-math">$f'(x)=-e^{-3x}+2e$</span><br class='autobr' /> B. <span class="spip-math">$f'(x)=-e^{-3x}+e^2$</span><br class='autobr' /> C. <span class="spip-math">$f'(x)=-3e^{-3x}$</span><br class='autobr' /> D. <span class="spip-math">$f'(x)=e^{-3x}$</span></p> <p><i>Relire les méthodes : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/derivation/article/deriver-une-somme-un-produit-par-un-reel' class="spip_in">Dériver une somme, un produit par un réel</a> et <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/derivation/article/deriver-l-exponentielle-d-une-fonction' class="spip_in">Dériver l'exponentielle d'une fonction</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On remarque que <span class="spip-math">$f=e^u+v$</span> avec <span class="spip-math">$u$</span> et <span class="spip-math">$v$</span> dérivables sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.<br class='autobr' /> Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions puis la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction.<br class='autobr' /> Or la fonction <span class="spip-math">$v$</span> est une fonction constante : <span class="spip-math">$v(x)=e^2$</span>. Sa dérivée est donc nulle.<br class='autobr' /> Par ailleurs, <span class="spip-math">$u(x)=-3x$</span> et <span class="spip-math">$u'(x)=-3$</span>. <br class='autobr' /> Donc <span class="spip-math">$f$</span> est dérivable sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span> et :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} f'(x) & = u'(x)\times e^{u(x)}+0 \\ & = -3\times e^{-3x} +0 \\ & = -3e^{-3x} \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> <strong>La bonne réponse est la réponse C</strong>.</p> </div></div> <p><a id="Q2"></a><br class='autobr' /> <strong>2.</strong> D'après une étude, le nombre d'objets connectés à Internet à travers le monde est passé de 4 milliards en 2010 à 15 milliards en 2017. L'arrondi au dixième du taux d'évolution annuel moyen est de :<br class='autobr' /> A. 10,5 % <br class='autobr' /> B. 68,8 %<br class='autobr' /> C. 39,3 % <br class='autobr' /> D. 20,8 %</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/calculer-un-taux-d-evolution-moyen' class="spip_in">Calculer un taux d'évolution moyen</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p><i>1ère méthode :</i><br class='autobr' /> La valeur de départ est <span class="spip-math">$V_D= 4$</span>.<br class='autobr' /> La valeur d'arrivée est <span class="spip-math">$V_A= 15$</span>.<br class='autobr' /> Le nombre de périodes est <span class="spip-math">$n=2017-2010=7$</span>.<br class='autobr' /> Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'objets connectés à internet entre 2010 et 2017 est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x & =\left(\frac{15}{4}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,208 \\ & \approx 20,8 \% \end{align}$</span><br class='autobr' /> <strong>La bonne réponse est la réponse D</strong>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><i>2ème méthode :</i><br class='autobr' /> On teste chacune des réponses proposées en utilisant la méthode <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/appliquer-un-pourcentage-d-evolution' class="spip_in">Appliquer un pourcentage d'évolution</a> :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$4\times \left( 1+\frac{10,5}{100}\right)^7\approx 8$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$4\times \left( 1+\frac{68,8}{100}\right)^7\approx 156$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$4\times \left( 1+\frac{39,3}{100}\right)^7\approx 41$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$4\times \left( 1+\frac{20,8}{100}\right)^7\approx 15$</span>.<br class='autobr' /> <strong>La bonne réponse est la réponse D</strong>.</p> </div></div> <p><a id="Q3"></a><br class='autobr' /> <strong>3.</strong> Soit <span class="spip-math">$X$</span> une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance <span class="spip-math">$\mu=13$</span> et d'écart-type <span class="spip-math">$\sigma=2,4$</span>.<br class='autobr' /> L'arrondi au centième de <span class="spip-math">$P(X\geq 12,5)$</span> est :<br class='autobr' /> A. 0,58 <br class='autobr' /> B. 0,42<br class='autobr' /> C. 0,54 <br class='autobr' /> D. 0,63</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/article/calculer-des-probabilites-avec-une-loi-normale' class="spip_in">Calculer des probabilités avec une loi normale</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>A l'aide de la calculatrice, <span class="spip-math">$P(X\geq 12,5)\approx 0,58$</span>.<br class='autobr' /> <strong>La bonne réponse est la réponse A</strong>.</p> </div></div> <p><a id="Q4"></a><br class='autobr' /> <strong>4.</strong> Soit <span class="spip-math">$Y$</span> une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[14 ;16]$</span>. <span class="spip-math">$P(Y\leq 15,5)$</span> est égal à :<br class='autobr' /> A. 0,97 <br class='autobr' /> B. 0,75<br class='autobr' /> C. 0,5 <br class='autobr' /> D. <span class="spip-math">$\frac{1}{4}$</span></p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/article/calculer-des-probabilites-avec-une-loi-uniforme' class="spip_in">Calculer des probabilités avec une loi uniforme</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[14 ;16]$</span> a pour densité la fonction constante <span class="spip-math">$f$</span> définie par <span class="spip-math">$f(t)=\frac{1}{16-14}=\frac{1}{2}$</span>.<br class='autobr' /> La probabilité recherchée est <span class="spip-math">$P(Y\leq 15,5)=P(14\leq Y \leq 15,5)$</span>. Elle correspond à l'aire du rectangle rouge dessiné ci-dessous :</p> <div class='spip_document_195 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/ex1_1_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH302/ex1_1_copiar_-63106.png?1766854537' width='500' height='302' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Par conséquent, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P(Y\leq 15,5) & =(15,5-14)\times \frac{1}{2} \\ & = \frac{1,5}{2} \\ & = 0,75 \end{align}$</span><br class='autobr' /> <strong>La bonne réponse est la réponse B</strong>.</p> </div></div></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/article/calculer-des-probabilites-avec-une-loi-uniforme https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/article/calculer-des-probabilites-avec-une-loi-uniforme 2018-07-23T14:39:50Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> La loi uniforme sur l'intervalle $[a ;b]$ a pour densité une fonction très simple : la fonction constante définie pour tout $t\in[a ;b]$ par $f(t)=\frac1b-a$ comme on peut le voir sur ce schéma : <br class='autobr' /> Remarque : pour retrouver la valeur de la constante $\frac1b-a$, on peut se rappeler que l'aire sous la courbe (qui est en fait un rectangle) doit valoir 1. Comme la longueur mesure $b-a$, alors la largeur vaut $\frac1b-a$. <br class='autobr' /> On considère un intervalle $[c ;d]$ inclus dans $[a ;b]$ et (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/lois-de-probabilites-continues/" rel="directory">Lois de probabilités continues</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>La loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[a ;b]$</span> a pour densité une fonction très simple : la fonction constante définie pour tout <span class="spip-math">$t\in[a ;b]$</span> par <span class="spip-math">$f(t)=\frac{1}{b-a}$</span> comme on peut le voir sur ce schéma :</p> <div class='spip_document_183 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_01_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_01_copiar_-826de.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div> <p><i>Remarque</i> : pour retrouver la valeur de la constante <span class="spip-math">$\frac{1}{b-a}$</span>, on peut se rappeler que l'aire sous la courbe (qui est en fait un rectangle) doit valoir 1. Comme la longueur mesure <span class="spip-math">$b-a$</span>, alors la largeur vaut <span class="spip-math">$\frac{1}{b-a}$</span>.</p> <p>On considère un intervalle <span class="spip-math">$[c ;d]$</span> inclus dans <span class="spip-math">$[a ;b]$</span> et <span class="spip-math">$X$</span> la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur <span class="spip-math">$[a ;b]$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(X\in [c ;d])$</span> est tout simplement l'aire sous la courbe densité entre <span class="spip-math">$c$</span> et <span class="spip-math">$d$</span> comme on peut l'illustrer ci-dessous :</p> <div class='spip_document_184 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_02_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_02_copiar_-db726.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Par conséquent, l'aire de ce rectangle est le produit de sa largeur <span class="spip-math">$d-c$</span> par sa longueur <span class="spip-math">$\frac{1}{b-a}$</span> :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(X\in [c ;d])=(d-c)\times \frac{1}{b-a}=\frac{d-c}{b-a}$</span></p> <p><i>Remarques</i> :</p> <ul class="spip" role="list"><li> <span class="spip-math">$P(X\in [c ;d])$</span> s'écrit aussi <span class="spip-math">$P(c \leq X \leq d)$</span>.</li><li> Comme pour n'importe quelle loi <strong>continue</strong>, <span class="spip-math">$P(c \leq X \leq d)=P(c \lt X \lt d)$</span>.</li></ul> <p>En résumé, pour calculer une probabilité avec la loi uniforme sur <span class="spip-math">$[a ;b]$</span>,</p> <ul class="spip" role="list"><li> On détermine la valeur de la constante (pour la fonction densité) : <span class="spip-math">$\frac{1}{b-a}$</span>.</li><li> On dessine un schéma sur lequel on colorie (ou on hachure) un rectangle dont l'aire correspond à la probabilité recherchée.</li><li> On calcule cette aire (<span class="spip-math">$longueur\times largeur$</span>).</li></ul><h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Calculer des probabilités avec une loi uniforme" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/hu6z5JIMjQk?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> (<i>d'après BAC</i>)<br class='autobr' /> Une variable aléatoire <span class="spip-math">$X$</span> suit la loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[1 ;9]$</span>. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES. <br class='autobr' /> Proposition 1 : <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 9)=\frac{1}{8}$</span>.<br class='autobr' /> Proposition 2 : <span class="spip-math">$P(5 \lt X \lt 9)=\frac{1}{2}$</span>.<br class='autobr' /> Proposition 3 : <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 3)=\frac{3}{8}$</span>.<br class='autobr' /> Proposition 4 : <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 2)=\frac{1}{8}$</span>.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[1 ;9]$</span> a pour densité la fonction constante <span class="spip-math">$f$</span> définie par <span class="spip-math">$f(t)=\frac{1}{9-1}=\frac{1}{8}$</span> :</p> <div class='spip_document_185 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_03_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH263/calculs_uniforme_03_copiar_-51e9a.png?1766854537' width='500' height='263' alt='' /></a> </figure> </div> <p>La proposition 1 est FAUSSE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 9)=1$</span>.</p> <div class='spip_document_186 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_04_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_04_copiar_-e1df1.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div> <p><i>Remarque </i> : il n'est pas vraiment nécessaire de calculer une aire ici car ce résultat fait partie de la définition de la densité d'une loi (l'aire sous la courbe vaut 1).</p> <hr></hr> <p>La proposition 2 est VRAIE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, <span class="spip-math">$P(5 \lt X \lt 9)=(9-5)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$</span>.</p> <div class='spip_document_187 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_05_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_05_copiar_-2c439.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div> <hr></hr> <p>La proposition 3 est FAUSSE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 3)=(3-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$</span>.</p> <div class='spip_document_188 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_06_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_06_copiar_-565b3.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div> <hr></hr> <p>La proposition 4 est VRAIE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{8}$</span>.</p> <div class='spip_document_189 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_07_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_07_copiar_-dea88.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div></div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> (<i>d'après BAC</i>)<br class='autobr' /> Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire <span class="spip-math">$X$</span> qui suit la loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[1 ;5]$</span>. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES. <br class='autobr' /> Proposition 1 : la probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 2 minutes est de <span class="spip-math">$\frac{3}{4}$</span>.<br class='autobr' /> Proposition 2 : la probabilité que le temps d'attente soit inférieur ou égal à 2 minutes est de <span class="spip-math">$\frac{3}{4}$</span>.<br class='autobr' /> Proposition 3 : la probabilité que le temps d'attente soit inférieur ou égal à 5 minutes est de <span class="spip-math">$1$</span>.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La loi uniforme sur l'intervalle <span class="spip-math">$[1 ;5]$</span> a pour densité la fonction constante <span class="spip-math">$f$</span> définie par <span class="spip-math">$f(t)=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}$</span> :</p> <div class='spip_document_190 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_08_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH262/calculs_uniforme_08_copiar_-513fd.png?1766854537' width='500' height='262' alt='' /></a> </figure> </div> <p>La proposition 1 est VRAIE. <br class='autobr' /> En effet, <span class="spip-math">$P(X \gt 2)=P(2\lt X \lt 5)$</span> et comme l'illustre le schéma suivant, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(2 \lt X \lt 5)=(5-2)\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$</span></p> <div class='spip_document_191 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_09_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH263/calculs_uniforme_09_copiar_-e9d63.png?1766854537' width='500' height='263' alt='' /></a> </figure> </div> <hr></hr> <p>La proposition 2 est FAUSSE. En effet, <span class="spip-math">$P(X \leq 2)=P(1\lt X \lt 2)$</span> et comme l'illustre le schéma suivant, <span class="spip-math">$P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$</span>.</p> <div class='spip_document_192 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculs_uniforme_10_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH263/calculs_uniforme_10_copiar_-ca65a.png?1766854537' width='500' height='263' alt='' /></a> </figure> </div> <p><i>Remarque </i> : on peut aussi dire que <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(\overline{X \gt 2}) \\ & = 1-P(X \gt 2) \\ & = 1-\frac{3}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align}$</span><br class='autobr' /> (en utilisant la question précédente pour le calcul de <span class="spip-math">$P(X \gt 2)$</span>)</p> <hr></hr> <p>La proposition 3 est VRAIE. En effet, <span class="spip-math">$P(X \leq 5)=P(1\lt X \lt 5)=1$</span> (<i>inutile de calculer l'aire, cela fait partie de la définition d'une fonction densité</i>).</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> la question 4 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-1#Q4' class="spip_in">Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1</a>.</li></ul></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/calculer-un-taux-d-evolution-moyen https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/calculer-un-taux-d-evolution-moyen 2018-06-23T08:19:47Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> On considère une quantité qui passe d'une valeur de départ $V_D$ à une valeur d'arrivée $V_A$ au bout de $n$ périodes (par exemple $n$ années ou $n$ jours). <br class='autobr' /> Calculer le taux moyen d'évolution sur ces $n$ périodes, c'est déterminer quel serait le taux d'évolution $x$ qui, s'il était le même sur chacune des $n$ périodes, permettrait de passer de $V_D$ à $V_A$. <br class='autobr' /> En d'autres termes, on cherche le taux $x$ tel que : $V_D\times (1+x)^n=V_A$. <br class='autobr' /> En transformant cette expression, on (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/" rel="directory">Evolutions, pourcentages</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>On considère une quantité qui passe d'une valeur de départ <span class="spip-math">$V_D$</span> à une valeur d'arrivée <span class="spip-math">$V_A$</span> au bout de <span class="spip-math">$n$</span> périodes (par exemple <span class="spip-math">$n$</span> années ou <span class="spip-math">$n$</span> jours).</p> <p>Calculer le taux moyen d'évolution sur ces <span class="spip-math">$n$</span> périodes, c'est déterminer quel serait le taux d'évolution <span class="spip-math">$x$</span> qui, s'il était le même sur chacune des <span class="spip-math">$n$</span> périodes, permettrait de passer de <span class="spip-math">$V_D$</span> à <span class="spip-math">$V_A$</span>.</p> <p>En d'autres termes, on cherche le taux <span class="spip-math">$x$</span> tel que :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$V_D\times (1+x)^n=V_A$</span>.</p> <p>En transformant cette expression, on obtient le taux moyen d'évolution sur <span class="spip-math">$n$</span> périodes :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$x=\left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\frac{1}{n}}-1$</span></p> <p>En bref, pour calculer un taux d'évolution moyen,</p> <ul class="spip" role="list"><li> on identifie la valeur de départ <span class="spip-math">$V_D$</span>, la valeur d'arrivée <span class="spip-math">$V_A$</span> ainsi que le nombre de périodes <span class="spip-math">$n$</span>.</li><li> on applique la formule <span class="spip-math">$x=\left(\frac{V_A}{V_D}\right)^{\frac{1}{n}}-1$</span>.</li></ul><h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Calculer un taux d'évolution moyen" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/8WFjj0SrW2g?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> <i>D'après Bac</i><br class='autobr' /> On sait qu'entre 2002 et 2009, le nombre d'internautes en Chine est passé de 60 millions à 385 millions.<br class='autobr' /> Calculer le taux d'évolution moyen annuel du nombre d'internautes en Chine entre 2002 et 2009.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La valeur de départ est <span class="spip-math">$V_D= 60$</span>.<br class='autobr' /> La valeur d'arrivée est <span class="spip-math">$V_A= 385$</span>.<br class='autobr' /> Le nombre de périodes est <span class="spip-math">$n=2009-2002=7$</span>.<br class='autobr' /> Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'internautes en Chine entre 2002 et 2009 est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x & =\left(\frac{385}{60}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,304 \\ & \approx 30,4 \% \end{align}$</span></p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> <i>D'après Bac</i><br class='autobr' /> On étudie les abonnements à un grand quotidien de 2011 à 2015.<br class='autobr' /> En 2011, il y avait 620 214 abonnés.<br class='autobr' /> En 2015, il y en avait 555 239.<br class='autobr' /> Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'abonnés entre 2011 et 2015.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La valeur de départ est <span class="spip-math">$V_D= 620214$</span>.<br class='autobr' /> La valeur d'arrivée est <span class="spip-math">$V_A= 555239$</span>.<br class='autobr' /> Le nombre de périodes est <span class="spip-math">$n=2015-2011=4$</span>.<br class='autobr' /> Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'abonnés entre 2011 et 2015 est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x & =\left(\frac{555239}{620214}\right)^{\frac{1}{4}}-1 \\ & \approx -0,0273 \\ & \approx -2,73 \% \end{align}$</span></p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> <i>D'après Bac</i><br class='autobr' /> La population mondiale a doublé entre 1960 et 2000.<br class='autobr' /> Calculer le taux d'évolution moyen annuel sur ces 40 années.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Ici, on ne connaît pas les valeurs de départ <span class="spip-math">$V_D$</span> et d'arrivée <span class="spip-math">$V_A$</span> de la population mondiale mais on sait que <span class="spip-math">$V_A=2\times V_D$</span>. Par conséquent, <span class="spip-math">$\frac{V_A}{V_D}=2$</span>.<br class='autobr' /> De plus, le nombre de périodes est <span class="spip-math">$n=40$</span> années.<br class='autobr' /> Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x & =\left(2\right)^{\frac{1}{40}}-1 \\ & \approx 0,0175 \\ & \approx 1,75 \% \end{align}$</span></p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Dans un pays imaginaire, les prix à la consommation ont baissé de 10 % du 1er janvier 1998 au 31 décembre 2003. Si le taux d'évolution des prix d'une année à la suivante était fixe de 1998 à 2003, quelle serait sa valeur ?</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Ici, on ne connaît pas les valeurs de départ <span class="spip-math">$V_D$</span> et d'arrivée <span class="spip-math">$V_A$</span> des prix à la consommation mais on sait que <span class="spip-math">$V_A=(1-10 \%)\times V_D$</span>. <br class='autobr' /> Donc :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \frac{V_A}{V_D} & =1-10 \% \\ & = 1-\frac{10}{100} \\ & = 0,9 \end{align}$</span><br class='autobr' /> De plus, le nombre de périodes est <span class="spip-math">$n=5$</span> années.<br class='autobr' /> Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x & =\left(0,9\right)^{\frac{1}{5}}-1 \\ & \approx -0,021 \\ & \approx -2,1 \% \end{align}$</span></p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> la question 2 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-1#Q2' class="spip_in">Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1</a>.</li></ul></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-3 https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-3 2018-06-17T10:12:30Z text/html fr Neige <p>Probabilités conditionnelles, espérance, loi binomiale, intervalle de confiance.</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/" rel="directory">Exercices corrigés du bac</a> <div class='rss_chapo'><p>Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3<br class='autobr' /> 5 points - 45 minutes<br class='autobr' /> Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, espérance, loi binomiale, intervalle de confiance.</p> <p>Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :</p> <ul class="spip" role="list"><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites' class="spip_in">Traduire un texte dans le langage des probabilités</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere' class="spip_in">Construire un arbre pondéré</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-totales' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités totales</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités conditionnelles</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/generalites-en-probabilites/article/determiner-la-loi-de-probabilite-d-une-variable-aleatoire' class="spip_in">Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/generalites-en-probabilites/article/calculer-l-esperance-d-une-variable-aleatoire' class="spip_in">Calculer l'espérance d'une variable aléatoire</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/loi-binomiale/article/manipuler-les-au-plus-et-au-moins-avec-la-loi-binomiale' class="spip_in">Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/intervalles-de-fluctuation-et-de-confiance/article/etablir-un-intervalle-de-confiance' class="spip_in">Etablir un intervalle de confiance</a>.</li></ul></div> <div class='rss_texte'><p>Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40 % des guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.<br class='autobr' /> Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu'en extérieur.</p> <p><a id="Q1"></a><a id="Q1a"></a><br class='autobr' /> <strong>1.</strong> On choisit au hasard une guirlande dans le stock.<br class='autobr' /> • On note <span class="spip-math">$A$</span> l'évènement « la guirlande provient du fournisseur A » et <span class="spip-math">$B$</span> l'évènement « la guirlande provient du fournisseur B ».<br class='autobr' /> • On note <span class="spip-math">$I$</span> l'évènement « la guirlande peut être utilisée uniquement en intérieur ».<br class='autobr' /> <strong>a.</strong> Construire un arbre pondéré décrivant la situation.</p> <p><i>Relire les méthodes : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites' class="spip_in">Traduire un texte dans le langage des probabilités</a> et <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere' class="spip_in">Construire un arbre pondéré</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après l'énoncé, <span class="spip-math">$P(A)=40\%=0,4$</span>. De plus, <span class="spip-math">$P_A(I)=\frac{1}{4}$</span> et <span class="spip-math">$P_B(I)=\frac{1}{3}$</span>.<br class='autobr' /> D'où l'arbre suivant :</p> <div class='spip_document_178 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/ex3_1_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/ex3_1_copiar_-48310.png?1766854537' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div></div></div> <p><a id="Q1b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> Montrer que la probabilité <span class="spip-math">$P(I)$</span> de l'évènement <span class="spip-math">$I$</span> est 0,3.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-totales' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités totales</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après la formule des probabilités totales,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P(I) & = P(A \cap{I})+P(B \cap{I}) \\ & = P(A)\times P_A(I)+P(B)\times P_{B}(I) \\ & = 0,4\times \frac{1}{4}+0,6\times \frac{1}{3} \\ & = 0,1+0,2 \\ & = 0,3 \end{align}$</span></p> </div></div> <p><a id="Q1c"></a><br class='autobr' /> <strong>c.</strong> On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.<br class='autobr' /> Le responsable a-t-il raison ? Justifier.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités conditionnelles</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Nous allons calculer <span class="spip-math">$P_\bar{I}(A)$</span> et <span class="spip-math">$P_\bar{I}(B)$</span>.<br class='autobr' /> D'après la formule des probabilités conditionnelles,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P_\bar{I}(A) & =\frac{P(\bar{I}\cap A)}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{P(A)\times P_A(\bar{I})}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{0,4\times \frac{3}{4}}{1-0,3} \\ & = \frac{0,3}{0,7} \\ & = \frac{3}{7} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Par conséquent,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P_\bar{I}(B) & =1-P_\bar{I}(A) \\ & = 1-\frac{3}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Par conséquent, le responsable a tort : il y a plus de chance que la guirlande provienne du fournisseur B.</p> </div></div> <p><a id="Q2"></a><br class='autobr' /> <strong>2.</strong> Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est vendue 5 € et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est vendue 3 €.<br class='autobr' /> Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.</p> <p><i>Relire les méthodes : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/generalites-en-probabilites/article/determiner-la-loi-de-probabilite-d-une-variable-aleatoire' class="spip_in">Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire</a> et <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/generalites-en-probabilites/article/calculer-l-esperance-d-une-variable-aleatoire' class="spip_in">Calculer l'espérance d'une variable aléatoire</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On appelle <span class="spip-math">$X$</span> la variable aléatoire qui donne le prix d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock. Les valeurs prises par <span class="spip-math">$X$</span> sont 3 € et 5 €.<br class='autobr' /> D'après les questions précédentes, on peut établir la loi de probabilité de <span class="spip-math">$X$</span> :</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><span class="spip-math">$x_i$</span></td> <td>3 €</td> <td>5 €</td></tr> <tr class='row_even even'> <td><span class="spip-math">$P(X=x_i)$</span></td> <td><span class="spip-math">$P(I)=0,3$</span></td> <td><span class="spip-math">$P(\bar{I})=0,7$</span></td></tr> </tbody> </table> <p>Calculons l'espérance de cette loi :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$E(X)=0,3\times 3+0,7\times 5=4,4$</span>.<br class='autobr' /> Le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock est en moyenne (sur un grand nombre de prélèvements) de 4,40 €.</p> </div></div> <p><a id="Q3"></a><br class='autobr' /> <strong>3.</strong> Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard 50 guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.<br class='autobr' /> On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à 0,02.<br class='autobr' /> Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à <span class="spip-math">$10^{-3}$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/loi-binomiale/article/manipuler-les-au-plus-et-au-moins-avec-la-loi-binomiale' class="spip_in">Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On considère la variable aléatoire <span class="spip-math">$Y$</span>, qui compte le nombre de guirlandes défectueuses parmi les 50 guirlandes prélevées. Comme les tirages sont considérés identiques et indépendants, <span class="spip-math">$Y$</span> suit la loi binomiale de paramètres <span class="spip-math">$n=50$</span> et <span class="spip-math">$p=0,6$</span>.<br class='autobr' /> Il s'agit de déterminer <span class="spip-math">$P(Y\geq 1)$</span>.<br class='autobr' /> On utilise l'évènement contraire :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P(Y \geq 1) & =1-P(Y=0) \\ & = 1-\binom{50}{0}\times 0,02^0\times (1-0,02)^{50} \\ & = 1-0,98^{50} \\ & \approx 0,636 \end{align}$</span><br class='autobr' /> La probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse est d'environ 0,636.</p> </div></div> <p><a id="Q4"></a><br class='autobr' /> <strong>4.</strong> L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de 95 % à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 8 %.<br class='autobr' /> Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/intervalles-de-fluctuation-et-de-confiance/article/etablir-un-intervalle-de-confiance' class="spip_in">Etablir un intervalle de confiance</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après le cours, un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de clients satisfaits est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$</span><br class='autobr' /> Son amplitude est donc : <span class="spip-math">$\frac{2}{\sqrt{n}}$</span>.<br class='autobr' /> Il s'agit alors de résoudre l'inéquation <span class="spip-math">$\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08 & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}}{2} \geq \frac{1}{0,08} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \geq 625 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'entreprise doit interroger au minimum 625 personnes.</p> </div></div></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-2 https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-2 2018-06-17T07:37:16Z text/html fr Neige <p>Suites (géométriques), algorithmes.</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/" rel="directory">Exercices corrigés du bac</a> <div class='rss_chapo'><p>Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2<br class='autobr' /> 5 points - 45 minutes<br class='autobr' /> Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.</p> <p>Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :</p> <ul class="spip" role="list"><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-les-premiers-termes-d-une-suite' class="spip_in">Calculer les premiers termes d'une suite</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/appliquer-un-pourcentage-d-evolution' class="spip_in">Appliquer un pourcentage d'évolution</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/traduire-un-enonce-par-une-relation-de-recurrence' class="spip_in">Traduire un énoncé par une relation de récurrence</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/montrer-qu-une-suite-est-geometrique' class="spip_in">Montrer qu'une suite est géométrique</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/donner-l-expression-du-terme-general-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique </a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-la-limite-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Calculer la limite d'une suite géométrique</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/ecrire-un-algorithme-de-seuil' class="spip_in">Ecrire un algorithme de seuil</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/faire-tourner-un-algorithme' class="spip_in">Faire "tourner" un algorithme</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/determiner-un-rang-sous-condition' class="spip_in">Déterminer un rang sous condition</a>.</li></ul></div> <div class='rss_texte'><p>Des algues prolifèrent dans un étang. <br class='autobr' /> Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.<br class='autobr' /> En journée, la masse d'algues augmente de 2 %, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 100 kg d'algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.<br class='autobr' /> Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du système de filtration est de 2 000 kg.<br class='autobr' /> On modélise par <span class="spip-math">$a_n$</span> la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant <span class="spip-math">$n$</span> jours ; ainsi, <span class="spip-math">$a_0=2000$</span>. On admet que cette modélisation demeure valable tant que <span class="spip-math">$a_n$</span> reste positif.</p> <p><a id="Q1"></a> <br class='autobr' /> <strong>1.</strong> Vérifier par le calcul que la masse <span class="spip-math">$a_2$</span> d'algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de 1 878,8 kg.</p> <p><i>Relire les méthodes : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-les-premiers-termes-d-une-suite' class="spip_in">Calculer les premiers termes d'une suite</a> et <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/evolutions-pourcentages/article/appliquer-un-pourcentage-d-evolution' class="spip_in">Appliquer un pourcentage d'évolution</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On sait que <span class="spip-math">$a_0=2000$</span>.<br class='autobr' /> Après la première journée, la masse d'algues a augmenté de 2 %, ce qui signifie que cette masse a été multipliée par <span class="spip-math">$1+\frac{2}{100}=1,02$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$2000\times 1,02=2040$</span>.<br class='autobr' /> Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg. <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$2040-100=1940$</span>.<br class='autobr' /> Après la deuxième journée, la masse d'algues a augmenté de 2 %.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$1940\times 1,02=1978,8$</span>.<br class='autobr' /> Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg. <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$1978,8-100=1878,8$</span>.<br class='autobr' /> Par conséquent, <span class="spip-math">$a_2$</span> est bien égal à 1 878,8 kg.</p> </div></div> <p><a id="Q2"></a><a id="Q2a"></a><br class='autobr' /> <strong>2.</strong> On affirme que pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span>, <span class="spip-math">$a_{n+1}=1,02\times a_n-100$</span>.</p> <p><strong>a.</strong> Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/traduire-un-enonce-par-une-relation-de-recurrence' class="spip_in">Traduire un énoncé par une relation de récurrence</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On peut illustre la situation par le schéma ci-dessous :</p> <div class='spip_document_177 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/centres_2018_ex2_1_copiar_.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH174/centres_2018_ex2_1_copiar_-2257d.jpg?1766854537' width='500' height='174' alt='' /></a> </figure> </div> <p>On rappelle, par ailleurs, qu'une augmentation de 2 % revient à multiplier par 1,02.<br class='autobr' /> Par conséquent, pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span>, <span class="spip-math">$a_{n+1}=1,02\times a_n-100$</span>.</p> </div></div> <p><a id="Q2b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> On considère la suite <span class="spip-math">$(b_n)$</span> définie pour tout nombre entier naturel <span class="spip-math">$n$</span> par : <span class="spip-math">$b_n=a_n-5000$</span>.<br class='autobr' /> Démontrer que la suite <span class="spip-math">$(b_n)$</span> est géométrique. Préciser son premier terme <span class="spip-math">$b_0$</span> et sa raison.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/montrer-qu-une-suite-est-geometrique' class="spip_in">Montrer qu'une suite est géométrique</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Soit <span class="spip-math">$n$</span> un entier naturel.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$b_{n+1}=a_{n+1}-5000$</span> d'après l'énoncé<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=(1,02\times a_n-100)-5000$</span> en remplaçant <span class="spip-math">$a_{n+1}$</span> par son expression<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=1,02\times a_n-5100$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =1,02\times (a_n-5000)$</span> en factorisant par 1,02<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =1,02\times b_n$</span><br class='autobr' /> Par ailleurs, <span class="spip-math">$b_0=a_0-5000=2000-5000=-3000$</span> donc <span class="spip-math">$(b_n)$</span> est la suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.</p> </div></div> <p><a id="Q2c"></a><br class='autobr' /> <strong>c.</strong> En déduire pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span>, une expression de <span class="spip-math">$b_n$</span> en fonction de <span class="spip-math">$n$</span>, puis montrer que <span class="spip-math">$a_n=5000-3000\times 1,02^n$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/donner-l-expression-du-terme-general-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique </a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après la question précédente, <span class="spip-math">$(b_n)$</span> est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.<br class='autobr' /> Par conséquent, pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span>, <span class="spip-math">$b_n=-3000\times 1,02^n$</span>.<br class='autobr' /> Comme, d'après l'énoncé, <span class="spip-math">$b_n=a_n-5000$</span> alors <span class="spip-math">$a_n=5000+b_n=5000-3000\times 1,02^n$</span>.</p> </div></div> <p><a id="Q2d"></a><br class='autobr' /> <strong>d.</strong> En déterminant la limite de la suite <span class="spip-math">$(a_n)$</span>, justifier que les algues finissent par disparaître.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-la-limite-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Calculer la limite d'une suite géométrique</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Calculons la limite de la suite <span class="spip-math">$(a_n)$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$1,02>1$</span> alors <span class="spip-math">$\lim 1,02^n=+\infty$</span>.<br class='autobr' /> Par produit par <span class="spip-math">$-3000$</span>, <span class="spip-math">$\lim -3000\times 1,02^n=-\infty$</span>.<br class='autobr' /> Par somme avec <span class="spip-math">$5000$</span>, <span class="spip-math">$\lim 5000-3000\times 1,02^n=-\infty$</span>.<br class='autobr' /> Cela implique qu'après un certain nombre de jours, la masse d'algue va nécessairement être nulle (une masse négative signifie qu'il n'y a plus d'algues).</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><i>Remarque</i><br class='autobr' /> On arrive à une limite de <span class="spip-math">$-\infty$</span> car le modèle ne prévoit pas que lorsqu'il reste moins de 100 kg d'algues, on ne peut pas en enlever 100 kg pendant la nuit !</p> </div></div> <p><a id="Q3"></a><a id="Q3a"></a><br class='autobr' /> <strong>3. a.</strong> Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><div class="precode"><pre class='spip_code spip_code_block' dir='ltr' style='text-align:left;'><code>N ← 0 A ← 2000 Tant que ... A ← ... N ← N + 1 Fin Tant que Afficher ...</code></pre></div></td></tr> </tbody> </table> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/ecrire-un-algorithme-de-seuil' class="spip_in">Ecrire un algorithme de seuil</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>L'algorithme calcule les termes successifs de <span class="spip-math">$(a_n)$</span> et doit continuer tant que la condition <span class="spip-math">$a_n \gt 0$</span> est vraie. Il s'arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c'est à dire lorsque <span class="spip-math">$a_n \leq 0$</span>, c'est à dire lorsqu'il n'y aura plus d'algues.<br class='autobr' /> On peut donc compléter le compléter ainsi :</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><div class="precode"><pre class='spip_code spip_code_block' dir='ltr' style='text-align:left;'><code>N ← 0 A ← 2000 Tant que A > 0 A ← 1,02×A - 100 N ← N + 1 Fin Tant que Afficher N</code></pre></div></td></tr> </tbody> </table></div></div> <p><a id="Q3b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/faire-tourner-un-algorithme' class="spip_in">Faire "tourner" un algorithme</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Comme l'exécution pas à pas est longue, on se contente d'indiquer une exécution partielle (et on utilise la calculatrice).</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><span class="spip-math">$N=0 \\ A=2000$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$A\gt 0$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$A=1,02\times 2000-100=1940 \\ N=1$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$A\gt 0$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$A=1,02\times 1940-100=1878,8 \\ N=2$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$A\gt 0$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$A=1,02\times 1878,8-100=1816,376 \\ N=3$</span><br class='autobr' /> ....(<i>nombreuses étapes</i>)....<br class='autobr' /> ....(<i>A est toujours positif</i>)....<br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$A\gt 0$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$A\approx 78,18 \\ N=25$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$A\gt 0$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$A\approx 1,02\times 78,18-100\approx -20,25 \\ N=26$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$A\gt 0$</span> est fausse, on sort du "Tant que" et l'algorithme s'arrête.<br class='autobr' /> La valeur de <span class="spip-math">$N$</span> lorsque l'algorithme est arrêté est 26.</td></tr> </tbody> </table> <p>C'est donc au bout de 26 jours que les algues auront disparu.</p> </div></div> <p><a id="Q4"></a><a id="Q4a"></a><br class='autobr' /> <strong>4. a.</strong> Résoudre par le calcul l'inéquation <span class="spip-math">$5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/determiner-un-rang-sous-condition' class="spip_in">Déterminer un rang sous condition</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p><span class="spip-math">$\begin{align} 5000-3000 \times 1,02^n \leq 0 & \Leftrightarrow -3000 \times 1,02^n \leq -5000 \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{-5000}{-3000} \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{5}{3} \\ & \Leftrightarrow \ln(1,02^n) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(1,02) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Or <span class="spip-math">$\frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)}\approx 25,8$</span>. Par conséquent, le plus petit entier naturel <span class="spip-math">$n$</span> tel que <span class="spip-math">$5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$</span> est <span class="spip-math">$n=26$</span>.</p> </div></div> <p><a id="Q4b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On retrouve le résultat obtenu par exécution de l'algorithme (ce qui est rassurant).<br class='autobr' /> C'est au bout de 26 jours que les algues auront disparu.</p> </div></div></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-produit-nul https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-produit-nul 2018-06-09T18:30:36Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Pour comprendre au mieux cette méthode, il est recommandé d'avoir lu : Résoudre une équation du 1er degré Résoudre une équation du 2nd degré Résoudre une équation simple avec l'exponentielle ou le logarithme <br class='autobr' /> Nous allons voir ici comment résoudre une équation produit nul. <br class='autobr' /> Une équation produit nul est une équation de type $A\times B=0$ où $A$ et $B$ sont des expressions. Par exemple l'équation $(3x-4)\times (1-e^x)=0$ est une équation produit nul. <br class='autobr' /> Attention, il est parfois (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/" rel="directory">Equations</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Pour comprendre au mieux cette méthode, il est recommandé d'avoir lu :</p> <ul class="spip" role="list"><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-du-1er-degre' class="spip_in">Résoudre une équation du 1er degré</a></li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-du-2nd-degre' class="spip_in">Résoudre une équation du 2nd degré</a></li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-simple-avec-l-exponentielle-ou-le-logarithme' class="spip_in">Résoudre une équation simple avec l'exponentielle ou le logarithme</a></li></ul> <p>Nous allons voir ici comment résoudre une équation <i>produit nul</i>.</p> <p>Une équation <i>produit nul</i> est une équation de type <span class="spip-math">$A\times B=0$</span> où <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> sont des expressions. Par exemple l'équation <span class="spip-math">$(3x-4)\times (1-e^x)=0$</span> est une équation <i>produit nul</i>.</p> <p>Attention, il est parfois nécessaire de <strong>factoriser</strong> avant d'obtenir une telle équation. Nous verrons quelques exemples ci-après.</p> <p>Pour résoudre une équation <i>produit nul</i>, on écrit <span class="spip-math">$A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$</span>. <br class='autobr' /> On résout ensuite chacune des équations <span class="spip-math">$A=0$</span> et <span class="spip-math">$B=0$</span> séparément. Les solutions obtenues en résolvant ces deux équations sont celles de l'équation initiale.</p> <p><i>Remarques</i></p> <ul class="spip" role="list"><li> L'intérêt de cette méthode est qu'on transforme un problème <span class="spip-math">$A\times B=0$</span> qui peut être compliqué en deux petits problèmes <span class="spip-math">$A=0 \qquad ou \qquad B=0$</span> souvent beaucoup plus simple. On décompose un problème en sous-problèmes.</li><li> Attention, cette technique ne s'applique qu'aux produits <strong>nuls</strong>. <span class="spip-math">$A\times B=1$</span> n'est pas équivalent à <span class="spip-math">$A=1 \qquad ou \qquad B=1$</span>.</li></ul> <p>En résumé,</p> <ul class="spip" role="list"><li> on factorise si ce n'est pas déjà fait (après avoir regroupé tous les termes dans un même membre).</li><li> on écrit <span class="spip-math">$A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$</span> et on résout ces deux dernières équations séparément.</li></ul><h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Résoudre une équation "produit nul"" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/jJQQN7REmhc?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Résoudre les équations suivantes. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad (3x-2)(x+4)=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad (1-x)(2-e^x)=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_3) : \qquad e^{2x-4}(0,5x-7)=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_4) : \qquad (x-2)\ln(x)=0$</span> pour <span class="spip-math">$x\gt 0$</span>.</p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>L'équation <span class="spip-math">$(E_1)$</span> est bien une équation <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (3x-2)(x+4)=0 & \Leftrightarrow 3x-2=0 \qquad ou \qquad x+4=0 \\ & \Leftrightarrow 3x=2 \qquad ou \qquad x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \qquad ou \qquad x=-4 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_1)$</span> admet deux solutions : <span class="spip-math">$\frac{2}{3}$</span> et <span class="spip-math">$-4$</span>.</p> <hr></hr> <p>L'équation <span class="spip-math">$(E_2)$</span> est bien une équation <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (1-x)(2-e^x)=0 & \Leftrightarrow 1-x=0 \qquad ou \qquad 2-e^x=0 \\ & \Leftrightarrow -x=-1 \qquad ou \qquad -e^x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad e^x=2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad x=\ln(2) \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_2)$</span> admet deux solutions : <span class="spip-math">$1$</span> et <span class="spip-math">$\ln(2)$</span>.</p> <hr></hr> <p>L'équation <span class="spip-math">$(E_3)$</span> est bien une équation <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$e^{2x-4}(0,5x-7)=0 \Leftrightarrow e^{2x-4}=0 \qquad ou \qquad 0,5x-7=0$</span><br class='autobr' /> Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation <span class="spip-math">$e^{2x-4}=0$</span> n'a pas de solution.<br class='autobr' /> Par conséquent, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} e^{2x-4}(0,5x-7)=0 & \Leftrightarrow 0,5x-7=0 \\ & \Leftrightarrow 0,5x=7 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{7}{0,5} \\ & \Leftrightarrow x=14 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_3)$</span> admet une seule solution : <span class="spip-math">$14$</span>.</p> <hr></hr> <p>L'équation <span class="spip-math">$(E_4)$</span> est bien une équation <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (x-2)\ln(x)=0 & \Leftrightarrow x-2=0 \qquad ou \qquad \ln(x)=0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=e^0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=1 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_4)$</span> admet deux solutions : <span class="spip-math">$2$</span> et <span class="spip-math">$1$</span>.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Résoudre les équations suivantes sur les intervalles indiqués.<br class='autobr' /> Il est demandé de se ramener à des équations de type <i>produit nul</i> après avoir factorisé. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad 2x^3+x^2-6x=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad 3e^{1-x}-xe^{1-x}=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_3) : \qquad e^{-x}-2e^{-2x}=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_4) : \qquad x\ln(x+2)=x$</span> pour <span class="spip-math">$x\gt -2$</span>.</p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Factorisons le membre de gauche de <span class="spip-math">$(E_1)$</span> par <span class="spip-math">$x$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_1) \Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$</span><br class='autobr' /> Cette équation est de type <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_1) \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x^2+x-6=0$</span><br class='autobr' /> Cette dernière équation est une équation du 2nd degré <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> avec <span class="spip-math">$a=2$</span>, <span class="spip-math">$b=1$</span> et <span class="spip-math">$c=-6$</span>. Calculons le discriminant.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta & =b^2-4ac \\ & =1^2-4\times 2\times(-6) \\ & = 1+48 \\ & = 49 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On constate que <span class="spip-math">$\Delta \gt 0$</span> donc cette équation admet exactement deux solutions : <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_1 & =\frac{-1-\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1-7}{4} \\ & = \frac{-8}{4} \\ &=-2 \end{align}$</span><br class='autobr' /> et <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_2 & =\frac{-1+\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1+7}{4} \\ & = \frac{6}{4} \\ &=1,5 \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, l'équation <span class="spip-math">$(E_1)$</span> admet trois solutions : <span class="spip-math">$0$</span>, <span class="spip-math">$-2$</span> et <span class="spip-math">$1,5$</span>.</p> <hr></hr> <p>Factorisons le membre de gauche de <span class="spip-math">$(E_2)$</span> par <span class="spip-math">$e^{1-x}$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}(3-x)=0$</span><br class='autobr' /> Cette équation est de type <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}=0 \qquad ou \qquad 3-x=0$</span><br class='autobr' /> Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation <span class="spip-math">$e^{1-x}=0$</span> n'a pas de solution.<br class='autobr' /> Par conséquent, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3-x=0 \\ & \Leftrightarrow x=3 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_2)$</span> admet une seule solution : <span class="spip-math">$3$</span>.</p> <hr></hr> <p>On remarque (propriété de la fonction exponentielle) que :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$e^{-2x}=e^{-x}\times e^{-x}$</span><br class='autobr' /> Par conséquent,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}-2e^{-x}\times e^{-x}=0$</span><br class='autobr' /> Factorisons le membre de gauche par <span class="spip-math">$e^{-x}$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}(1-2e^{-x})=0$</span><br class='autobr' /> Cette équation est de type <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}=0 \qquad ou \qquad 1-2e^{-x}=0$</span><br class='autobr' /> Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation <span class="spip-math">$e^{-x}=0$</span> n'a pas de solution.<br class='autobr' /> Par conséquent,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 1-2e^{-x}=0 \\ & \Leftrightarrow -2e^{-x}=-1 \\ & \Leftrightarrow 2e^{-x}=1 \\ & \Leftrightarrow e^{-x}=0,5 \\ & \Leftrightarrow -x=\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(2) \end{align}$</span><br class='autobr' /> (<i>la dernière étape est facultative</i>)<br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_2)$</span> admet une seule solution : <span class="spip-math">$\ln(2)$</span>.</p> <hr></hr> <p>Dans cette équation <span class="spip-math">$(E_4)$</span>, il y a une erreur à ne pas commettre : diviser chacun des membres par <span class="spip-math">$x$</span>. En effet, cela aurait pour conséquence de perdre une solution... De façon générale, il vaut mieux éviter de diviser par des quantités pouvant s'annuler. On va donc transformer l'équation de sorte que l'inconnue apparaisse uniquement dans le membre de gauche puis, on factorisera.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x\ln(x+2)-x=0 \\ & \Leftrightarrow x(\ln(x+2)-1)=0 \end{align}$</span><br class='autobr' /> Cette équation est de type <i>produit nul</i>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)-1=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)=1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e^1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=e-2 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation <span class="spip-math">$(E_4)$</span> admet deux solutions : <span class="spip-math">$0$</span> et <span class="spip-math">$e-2$</span>.</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :<br class='autobr' /> (prochainement disponible)</p></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-simple-avec-l-exponentielle-ou-le-logarithme https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-simple-avec-l-exponentielle-ou-le-logarithme 2018-06-02T18:53:36Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Nous allons voir ici comment utiliser les fonctions exponentielle et logarithme népérien pour résoudre des équations simples. <br class='autobr' /> J'appelle équation "simple" une équation dans laquelle l'inconnue apparaît exclusivement soit en exposant, soit dans un logarithme. Par exemple, $3e^2x+1-5=2$ ou bien $5-2\ln(x)=0$ ou encore $e^x^2+x=-1$ sont des équations "simples". Par contre $x\ln(x)=8$ ou encore $3x-4e^x=0$ ne le sont pas. <br class='autobr' /> Lorsque l'équation n'est pas "simple", vous devez essayer de (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/" rel="directory">Equations</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Nous allons voir ici comment utiliser les fonctions exponentielle et logarithme népérien pour résoudre des équations simples.</p> <p>J'appelle équation "simple" une équation dans laquelle l'inconnue apparaît exclusivement soit en exposant, soit dans un logarithme. <br class='autobr' /> Par exemple, <span class="spip-math">$3e^{2x+1}-5=2$</span> ou bien <span class="spip-math">$5-2\ln{(x)}=0$</span> ou encore <span class="spip-math">$e^{x^2+x}=-1$</span> sont des équations "simples".<br class='autobr' /> Par contre <span class="spip-math">$x\ln{(x)}=8$</span> ou encore <span class="spip-math">$3x-4e^x=0$</span> ne le sont pas.</p> <p>Lorsque l'équation n'est pas "simple", vous devez essayer de factoriser afin de vous ramener à une équation de type "produit nul" ou encore essayer de transformer l'équation afin d'obtenir une équation "simple". Cela n'est malheureusement pas toujours possible et une résolution approchée est parfois inévitable (cela fera l'objet d'une prochaine vidéo).</p> <p>Face à une équation "simple", l'idée est :</p> <ul class="spip" role="list"><li> d'isoler les termes contenant l'inconnue (une exponentielle ou un logarithme).</li><li> puis d'appliquer la fonction réciproque dans chaque membre. En d'autres termes, si vous avez isolé une exponentielle, vous appliquez le logarithme (après avoir vérifié que les deux membres sont strictement positifs). Si vous avez isolé un logarithme, vous appliquez l'exponentielle.</li><li> d'utiliser ensuite les propriétés suivantes :<br class='autobr' /> Pour tout réel <span class="spip-math">$X$</span>, on peut écrire que <span class="spip-math">$\ln(e^X)=X$</span><br class='autobr' /> Pour tout réel <span class="spip-math">$X\gt 0$</span>, on peut écrire que <span class="spip-math">$e^{\ln(X)}=X$</span></li><li> de poursuivre la résolution (avec un problème en moins !).</li></ul> <p>Cette méthode est un peu compliquée à expliquer avec des mots mais la mise en pratique est plus simple et j'espère que la vidéo ci-dessous et les exercices qui suivent vous permettront d'y voir un peu plus clair.</p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Résoudre une équation simple avec l'exponentielle ou le logarithme" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/-f_BehYI4Bk?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Résoudre les équations suivantes. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad 3-2\ln(x)=4$</span> pour <span class="spip-math">$x\gt 0$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad 4e^x=5$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_3) : \qquad 3^n=177147$</span> pour <span class="spip-math">$n$</span> entier.</p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On isole le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2\ln(x)=1 \\ & \Leftrightarrow \ln(x)=-0,5 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{-0,5} \\ & \Leftrightarrow x=e^{-0,5} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, la solution est <span class="spip-math">$x=e^{-0,5}\approx 0,607$</span>.</p> <hr></hr> <p>On isole le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_2) \Leftrightarrow e^x=1,25$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln(1,25) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(1,25) \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, la solution est <span class="spip-math">$x=\ln(1,25)\approx 0,223$</span>.</p> <hr></hr> <p>Le terme contenant l'inconnue est déjà isolé.<br class='autobr' /> On applique la fonction logarithme népérien car l'inconnue est en exposant (et les deux membres sont strictement positifs) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow \ln\left(3^n\right)=\ln(177147) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(3)=\ln(177147) \\ & \Leftrightarrow n=\frac{\ln(177147)}{\ln(3)} \\ & \Leftrightarrow n=11 \end{align}$</span></p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Résoudre les équations suivantes. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad 1-e^{-3x+4}=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad 4\ln(5x-2)=3$</span> pour <span class="spip-math">$x\gt 0,4$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_3) : \qquad 5+2\times 0,4^n=5,01$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On isole le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -e^{-3x+4}=-1 \\ & \Leftrightarrow e^{-3x+4}=1 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{-3x+4}\right)=\ln(1) \\ & \Leftrightarrow -3x+4=0 \\ & \Leftrightarrow -3x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{-4}{-3} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{4}{3} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, la solution est <span class="spip-math">$x=\frac{4}{3}\approx 1,333$</span>.</p> <hr></hr> <p>On isole le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln(5x-2)=\frac{3}{4} \\ & \Leftrightarrow \ln(5x-2)=0,75 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow e^{\ln(5x-2)}=e^{0,75} \\ & \Leftrightarrow 5x-2=e^{0,75} \\ & \Leftrightarrow 5x=e^{0,75}+2 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{e^{0,75}+2}{5} \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, la solution est <span class="spip-math">$x=\frac{e^{0,75}+2}{5}\approx 0,823$</span>.</p> <hr></hr> <p>On isole le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 2\times 0,4^n=0,01 \\ & \Leftrightarrow 0,4^n=\frac{0,01}{2} \\ & \Leftrightarrow 0,4^n=0,005 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction logarithme népérien car l'inconnue est en exposant (et les deux membres sont strictement positifs) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow \ln\left(0,4^n\right)=\ln(0,005) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,4)=\ln(0,005) \\ & \Leftrightarrow n=\frac{\ln(0,005)}{\ln(0,4)} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, la solution est <span class="spip-math">$n=\frac{\ln(0,005)}{\ln(0,4)} \approx 5,782$</span>.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Résoudre les équations suivantes. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad 3-2e^{x^2-1}=0$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad \ln\left(1+e^{-x}\right)=3$</span> sur <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On isole le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2e^{x^2-1}=-3 \\ & \Leftrightarrow e^{x^2-1}=\frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow e^{x^2-1}=1,5 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{x^2-1}\right)=\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x^2-1=\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x^2=1+\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{1+\ln(1,5)} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{1+\ln(1,5)} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, les solutions sont <span class="spip-math">$\sqrt{1+\ln(1,5)}\approx 1,186$</span> et <span class="spip-math">$-\sqrt{1+\ln(1,5)}\approx -1,186$</span>.</p> <hr></hr> <p>Le terme contenant l'inconnue est déjà isolé.<br class='autobr' /> On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow e^{\ln\left(1+e^{-x}\right)}=e^{3} \\ & \Leftrightarrow 1+e^{-x}=e^{3} \end{align}$</span><br class='autobr' /> On isole à nouveau le terme contenant l'inconnue :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_2) \Leftrightarrow e^{-x}=e^{3}-1$</span><br class='autobr' /> On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{-x}\right)=\ln\left(e^{3}-1\right) \\ & \Leftrightarrow -x=\ln\left(e^{3}-1\right) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln\left(e^{3}-1\right) \end{align}$</span><br class='autobr' /> Finalement, la solution est <span class="spip-math">$x=-\ln\left(e^{3}-1\right)\approx -2,949$</span>.</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :<br class='autobr' /> (prochainement disponible)</p></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-du-2nd-degre https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-du-2nd-degre 2018-05-26T16:39:23Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Nous allons voir ici comment résoudre une équation du 2nd degré dans $\mathbbR$. <br class='autobr' /> Une équation du 2nd degré peut s'écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres fixés et $a\ne 0$. Par exemple, les équations $-3x^2+5x-26=0$ ou bien $-x^2+\frac23=0$ ou encore $x^2+5x=0$ sont des équations du 2nd degré. Par contre $2x-4=0$ n'est pas une équation du 2nd degré mais du 1er degré (il n'y a pas de $x^2$ ou mieux dit : le coefficient de $x^2$ est nul). <br class='autobr' /> Voici la (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/" rel="directory">Equations</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Nous allons voir ici comment résoudre une équation du 2nd degré dans <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <p>Une équation du 2nd degré peut s'écrire sous la forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a, b$</span> et <span class="spip-math">$c$</span> sont des nombres fixés et <span class="spip-math">$a\ne 0$</span>.<br class='autobr' /> Par exemple, les équations <span class="spip-math">$-3x^2+5x-26=0$</span> ou bien <span class="spip-math">$-x^2+\frac{2}{3}=0$</span> ou encore <span class="spip-math">$x^2+5x=0$</span> sont des équations du 2nd degré. Par contre <span class="spip-math">$2x-4=0$</span> n'est pas une équation du 2nd degré mais du 1er degré (il n'y a pas de <span class="spip-math">$x^2$</span> ou mieux dit : le coefficient de <span class="spip-math">$x^2$</span> est nul).</p> <p>Voici la technique générale de résolution d'une équation de type <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> (avec <span class="spip-math">$a\ne 0$</span>) dans <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</p> <ul class="spip" role="list"><li> On écrit à quoi sont égaux <span class="spip-math">$a, b$</span> et <span class="spip-math">$c$</span>.</li><li> On calcule le <strong>discriminant</strong> <span class="spip-math">$\Delta=b^2-4ac$</span>.</li><li> On donne l'une des 3 réponses suivantes selon la valeur de <span class="spip-math">$\Delta$</span> : <ul class="spip" role="list"><li> Si <span class="spip-math">$\Delta \lt 0$</span>, l'équation n'a pas de solution dans <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span>.</li><li> Si <span class="spip-math">$\Delta = 0$</span>, l'équation admet une unique solution réelle : <span class="spip-math">$x=\frac{-b}{2a}$</span>.</li><li> Si <span class="spip-math">$\Delta \gt 0$</span>, l'équation admet exactement deux solutions réelles : <span class="spip-math">$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$</span> et <span class="spip-math">$x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$</span>.</li></ul></li></ul> <p><i>Remarques</i></p> <ul class="spip" role="list"><li> Inutile d'apprendre par coeur la formule correspondant à la racine unique (lorsque <span class="spip-math">$\Delta = 0$</span>), on la retrouve en remplaçant <span class="spip-math">$\Delta$</span> par 0 dans l'une des deux solutions lorsque <span class="spip-math">$\Delta \gt 0$</span>.</li><li> Attention à bien regrouper tous les termes dans un même membre de l'équation avant de donner les valeurs de <span class="spip-math">$a, b$</span> et <span class="spip-math">$c$</span>. Par exemple, l'équation <span class="spip-math">$-2x^2+3x-2=4$</span> doit être réécrite en <span class="spip-math">$-2x^2+3x-6=0$</span> avant d'être résolue.</li><li> Attention à bien ordonner les termes avant de donner les valeurs de <span class="spip-math">$a, b$</span> et <span class="spip-math">$c$</span>. Par exemple, il est plus sûr d'écrire l'équation <span class="spip-math">$3x-x^2+1=0$</span> sous la forme <span class="spip-math">$-x^2+3x+1=0$</span> afin d'éviter les erreurs de coefficient !</li><li> Il peut être utile de factoriser (ou diviser) par une constante afin de simplifier l'équation (et donc, les coefficients). Par exemple, dans l'équation <span class="spip-math">$-100x^2+100x-200=0$</span>, on peut diviser chacun des membres par 100 afin d'obtenir : <span class="spip-math">$-x^2+x-2=0$</span>.</li></ul> <p><i>Une dernière remarque</i></p> <ul class="spip" role="list"><li> Lorsque l'un des coefficients <span class="spip-math">$b$</span> ou <span class="spip-math">$c$</span> de l'équation <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> est nul, il y a une méthode de résolution plus efficace : <ul class="spip" role="list"><li> Si <span class="spip-math">$b=0$</span>, on isole <span class="spip-math">$x^2$</span>.</li><li> Si <span class="spip-math">$c=0$</span>, on factorise par <span class="spip-math">$x$</span>.</li></ul></li></ul> <p>Des exemples suivent la vidéo.</p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Résoudre une équation du 2nd degré" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/rng4XJf07y4?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Résoudre dans <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span> les équations suivantes. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad x^2+x=2$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad x^2+3x-5=2x^2-3x+4$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_3) : \qquad 8x+4x^2+16=0$</span></p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_1) \Leftrightarrow x^2+x-2=0$</span>.<br class='autobr' /> C'est une équation du 2nd degré de forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a=1, b=1$</span> et <span class="spip-math">$c=-2$</span>.<br class='autobr' /> Calcul du discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta &= 1^2-4\times 1\times (-2) \\ & =1+8 \\ & =9 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On constate que <span class="spip-math">$\Delta \gt 0$</span> donc <span class="spip-math">$(E_1)$</span> admet exactement deux solutions réelles :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_1 &=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1-3}{2} \\ & = \frac{-4}{2} \\ & = -2 \end{align}$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_2 &=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1+3}{2} \\ & = \frac{2}{2} \\ & = 1 \end{align}$</span></p> <hr></hr> <p>On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow x^2-2x^2+3x+3x-5-4=0 \\ & \Leftrightarrow -x^2+6x-9=0 \end{align}$</span><br class='autobr' /> C'est une équation du 2nd degré de forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a=-1, b=6$</span> et <span class="spip-math">$c=-9$</span>.<br class='autobr' /> Calcul du discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta &= 6^2-4\times (-1)\times (-9) \\ & =36-36 \\ & =0 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On constate que <span class="spip-math">$\Delta = 0$</span> donc <span class="spip-math">$(E_2)$</span> admet exactement une solution réelle :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x &=\frac{-6}{2\times (-1)} \\ & = \frac{-6}{-2} \\ & = 3 \end{align}$</span></p> <hr></hr> <p>On commence par ordonner les termes dans le membre de gauche !<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_3) \Leftrightarrow 4x^2+8x+16=0$</span>.<br class='autobr' /> On peut aussi diviser par 4 chacun des membres (cela revient à diviser chaque terme par 4) :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_3) \Leftrightarrow x^2+2x+4=0$</span>.<br class='autobr' /> C'est une équation du 2nd degré de forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a=1, b=2$</span> et <span class="spip-math">$c=4$</span>.<br class='autobr' /> Calcul du discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta &= 2^2-4\times 1\times 4 \\ & =4-16 \\ & =-12 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On constate que <span class="spip-math">$\Delta \lt 0$</span> donc cette équation n'admet pas de solution réelle.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Résoudre dans <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span> les équations suivantes de deux façons : d'abord en utilisant le discriminant <span class="spip-math">$\Delta$</span> puis sans utiliser<span class="spip-math">$\Delta$</span>. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad x^2-5=0$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad 2x^2=-3x$</span></p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p><span class="spip-math">$(E_1)$</span> est une équation du 2nd degré de forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a=1, b=0$</span> et <span class="spip-math">$c=-5$</span>.<br class='autobr' /> Calcul du discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta &= 0^2-4\times 1\times (-5) \\ & =0+20 \\ & =20 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On constate que <span class="spip-math">$\Delta \gt 0$</span> donc <span class="spip-math">$(E_1)$</span> admet exactement deux solutions réelles :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_1 &=\frac{0-\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = -\sqrt{5} \\ & \approx -2,236 \end{align}$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_2 &=\frac{0+\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = \sqrt{5} \\ & \approx 2,236 \end{align}$</span></p> <div style="margin-top:20px;"></div> <p>On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow x^2=5 \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{5} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{5} \end{align}$</span><br class='autobr' /> On obtient bien les mêmes solutions.</p> <hr></hr> <p>On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$(E_2) \Leftrightarrow 2x^2+3x=0$</span>.<br class='autobr' /> C'est une équation du 2nd degré de forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a=2, b=3$</span> et <span class="spip-math">$c=0$</span>.<br class='autobr' /> Calcul du discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta &= 3^2-4\times 2\times 0 \\ & =9 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> On constate que <span class="spip-math">$\Delta \gt 0$</span> donc <span class="spip-math">$(E_2)$</span> admet exactement deux solutions réelles :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_1 &=\frac{-3-\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3-3}{4} \\ & = \frac{-6}{4} \\ & = -\frac{3}{2} \end{align}$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} x_2 &=\frac{-3+\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3+3}{4} \\ & = \frac{0}{4} \\ & = 0 \end{align}$</span></p> <div style="margin-top:20px;"></div> <p>On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 2x^2+3x=5 \\ & \Leftrightarrow x(2x+3) \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x+3=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x=-3 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=-\frac{3}{2} \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> On obtient bien les mêmes solutions.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau difficile<br class='autobr' /> Pour quelles valeurs du réel <span class="spip-math">$m$</span>, l'équation <span class="spip-math">$x^2-mx+1$</span> admet exactement une solution réelle ?</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>C'est une équation du 2nd degré de forme <span class="spip-math">$ax^2+bx+c=0$</span> où <span class="spip-math">$a=1, b=-m$</span> et <span class="spip-math">$c=1$</span>.<br class='autobr' /> Calcul du discriminant :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta &= (-m)^2-4\times 1\times 1 \\ & =m^2-4 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation admet exactement une solution réelle si et seulement si <span class="spip-math">$\Delta = 0$</span>. Or,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} \Delta = 0 & \Leftrightarrow m^2-4=0 \\ & \Leftrightarrow m^2=4 \\ & \Leftrightarrow m=2 \qquad ou \qquad m=-2 \end{align}$</span><br class='autobr' /> L'équation admet exactement une solution réelle pour <span class="spip-math">$m=2$</span> ou <span class="spip-math">$m=-2$</span> et seulement dans ce cas.</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :<br class='autobr' /> (prochainement disponible)</p></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-du-1er-degre https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/article/resoudre-une-equation-du-1er-degre 2018-05-20T06:26:55Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Enfin une méthode facile ! <br class='autobr' /> Mais qu'est-ce qu'une équation du premier degré ? C'est une équation de type $ax+b=0$ où $a$ et $b$ sont des nombres fixés comme par exemple $-3x+4=0$. <br class='autobr' /> Attention, il est parfois nécessaire de développer et/ou réduire des expressions afin d'obtenir une équation similaire à la précédente. Par exemple, l'équation $x-1=3x-2$ est bien une équation du premier degré mais il est nécessaire de regrouper les termes en $x$ avant de se lancer dans la résolution. (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/equations/" rel="directory">Equations</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Enfin une méthode facile !</p> <p>Mais qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?<br class='autobr' /> C'est une équation de type <span class="spip-math">$ax+b=0$</span> où <span class="spip-math">$a$</span> et <span class="spip-math">$b$</span> sont des nombres fixés comme par exemple <span class="spip-math">$-3x+4=0$</span>.</p> <p>Attention, il est parfois nécessaire de <strong>développer et/ou réduire</strong> des expressions afin d'obtenir une équation similaire à la précédente. Par exemple, l'équation <span class="spip-math">$x-1=3x-2$</span> est bien une équation du premier degré mais il est nécessaire de regrouper les termes en <span class="spip-math">$x$</span> avant de se lancer dans la résolution.</p> <p>Après avoir regroupé les termes et en particulier ceux faisant intervenir l'inconnue, celle-ci apparaît <strong>à un seul endroit</strong>. Résoudre l'équation, c'est simplement <strong>isoler </strong> l'inconnue dans un des deux membres en ajoutant/soustrayant ou en multipliant/divisant les deux membres de l'équation.</p> <p>Ce n'est pas très clair ? Regardez la vidéo et faites les petits exercices ci-dessous.</p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Résoudre une équation du 1er degré" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/f3pS1jvUnBM?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile/moyen<br class='autobr' /> Résoudre dans <span class="spip-math">$\mathbb{R}$</span> les équations suivantes. <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_1) : \qquad -2x+3=0$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_2) : \qquad 3x-4=-2x+1$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_3) : \qquad \frac{2}{3}x+x=3$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_4) : \qquad \frac{x-3}{x+2}=4$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p><span class="spip-math">$(E_5) : \qquad (x+5)(x-4)=(x-2)(x+6)$</span></p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On commence par soustraire 3 aux deux membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2x+3-3=0-3 \\ & \Leftrightarrow -2x=-3 \end{align}$</span><br class='autobr' /> On divise maintenant par -2 chacun des membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \frac{-2x}{-2}=\frac{-3}{-2} \\ & \Leftrightarrow x=1,5 \end{align}$</span><br class='autobr' /> Voilà, on a isolé <span class="spip-math">$x$</span>. L'équation <span class="spip-math">$(E_1)$</span> a une seule solution, c'est 1,5.</p> <hr></hr> <p>Dans l'équation <span class="spip-math">$(E_2)$</span>, on va regrouper les inconnues dans un seul membre et les constantes dans l'autre :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3x-4+2x=-2x+1+2x \\ & \Leftrightarrow 5x-4=1 \\ & \Leftrightarrow 5x-4+4=1+4 \\ & \Leftrightarrow 5x=5 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> On divise maintenant par 5 chacun des membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \frac{5x}{5}=\frac{5}{5} \\ & \Leftrightarrow x=1 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> C'est terminé !</p> <hr></hr> <p>Pour l'équation <span class="spip-math">$(E_3)$</span>, on va regrouper les termes où intervient l'inconnue <span class="spip-math">$x$</span>. Pour cela, on factorise par <span class="spip-math">$x$</span> dans le terme de gauche :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow x\times \left(\frac{2}{3}+1\right)=3 \\ & \Leftrightarrow x\times \left(\frac{2}{3}+\frac{3}{3}\right)=3 \\ & \Leftrightarrow x\times \frac{5}{3}=3 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> On va maintenant multiplier par <span class="spip-math">$\frac{3}{5}$</span> (ou diviser par <span class="spip-math">$\frac{5}{3}$</span>, c'est pareil) chacun des deux membres :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow x\times \frac{5}{3}\times \frac{3}{5}=3\times \frac{3}{5} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{9}{5} \end{align}$</span></p> <hr></hr> <p>L'équation <span class="spip-math">$(E_4)$</span> ne ressemble pas vraiment à une équation du premier degré... et pourtant, en multipliant dans chacun des membres par <span class="spip-math">$x+2$</span>, on obtient, pour <span class="spip-math">$x\ne -2$</span> :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow \frac{x-3}{x+2}\times (x+2)=4\times (x+2) \\ & \Leftrightarrow x-3=4x+8 \\ & \Leftrightarrow -3x=11 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{11}{-3} \\ & \Leftrightarrow x=-\frac{11}{3} \\ \end{align}$</span></p> <hr></hr> <p>L'équation <span class="spip-math">$(E_5)$</span> ne ressemble pas non plus à une équation du premier degré. Développons :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_5) & \Leftrightarrow x^2+5x-4x-20=x^2-2x+6x-12 \\ & \Leftrightarrow x^2+x-20=x^2+4x-12 \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> En soustrayant <span class="spip-math">$x^2$</span> dans chacun des membres, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} (E_5) & \Leftrightarrow x-20=4x-12 \\ & \Leftrightarrow -3x-20=-12 \\ & \Leftrightarrow -3x=8 \\ & \Leftrightarrow x=-\frac{8}{3} \\ \end{align}$</span></p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :<br class='autobr' /> (prochainement disponible)</p></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/pondichery-mai-2018-exercice-3 https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/pondichery-mai-2018-exercice-3 2018-05-11T17:10:28Z text/html fr Neige <p>Suites (géométriques), algorithmes.</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/" rel="directory">Exercices corrigés du bac</a> <div class='rss_chapo'><p>Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 3<br class='autobr' /> 5 points - 45 minutes<br class='autobr' /> Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.</p> <p>Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :</p> <ul class="spip" role="list"><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-les-premiers-termes-d-une-suite' class="spip_in">Calculer les premiers termes d'une suite</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/montrer-qu-une-suite-est-geometrique' class="spip_in">Montrer qu'une suite est géométrique</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/donner-l-expression-du-terme-general-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique </a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/ecrire-un-algorithme-de-seuil' class="spip_in">Ecrire un algorithme de seuil</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/faire-tourner-un-algorithme' class="spip_in">Faire "tourner" un algorithme</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/determiner-un-rang-sous-condition' class="spip_in">Déterminer un rang sous condition</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/traduire-un-enonce-par-une-relation-de-recurrence' class="spip_in">Traduire un énoncé par une relation de récurrence</a>.</li><li> <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-la-limite-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Calculer la limite d'une suite géométrique</a>.</li></ul></div> <div class='rss_texte'><p>On considère la suite <span class="spip-math">$(u_n)$</span> définie par <span class="spip-math">$u_0=65$</span> et pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span> :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$u_{n+1}=0,8u_n+18$</span></p> <p><a id="Q1"></a> <br class='autobr' /> <strong>1.</strong> Calculer <span class="spip-math">$u_1$</span> et <span class="spip-math">$u_2$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-les-premiers-termes-d-une-suite' class="spip_in">Calculer les premiers termes d'une suite</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On utilise la relation <span class="spip-math">$u_{n+1}=0,8u_n+18$</span> pour <span class="spip-math">$n=0$</span>. On obtient alors :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} u_{0+1} & =0,8u_0+18 \\ u_{1} & =0,8u_0+18 \\ & =0,8\times 65+18 \\ & =70 \end{align}$</span></p> <div style="margin-top:10px;"></div> <p>On utilise de nouveau la relation <span class="spip-math">$u_{n+1}=0,8u_n+18$</span> pour <span class="spip-math">$n=1$</span> cette fois. On obtient alors :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} u_{1+1} & =0,8u_1+18 \\ u_{2} & =0,8u_1+18 \\ & =0,8\times 70+18 \\ & =74 \end{align}$</span></p> </div></div> <p><a id="Q2"></a><br class='autobr' /> <strong>2.</strong> Pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span>, on pose : <span class="spip-math">$v_n=u_n-90$</span>.</p> <p><a id="Q2a"></a><br class='autobr' /> <strong>a.</strong> Démontrer que la suite <span class="spip-math">$(v_n)$</span> est géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur de <span class="spip-math">$v_0$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/montrer-qu-une-suite-est-geometrique' class="spip_in">Montrer qu'une suite est géométrique</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Soit <span class="spip-math">$n$</span> un entier naturel.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$v_{n+1}=u_{n+1}-90$</span> d'après l'énoncé<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=(0,8u_n+18)-90$</span> en remplaçant <span class="spip-math">$u_{n+1}$</span> par son expression<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=0,8u_n-72$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =0,8\times (u_n-90)$</span> en factorisant par 0,8<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =0,8\times v_n$</span><br class='autobr' /> Par ailleurs, <span class="spip-math">$v_0=u_0-90=65-90=-25$</span> donc <span class="spip-math">$(v_n)$</span> est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.</p> </div></div> <p><a id="Q2b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> Démontrer que, pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span> : <span class="spip-math">$u_n=90-25\times 0,8^n$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/donner-l-expression-du-terme-general-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique </a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après la question précédente, <span class="spip-math">$(v_n)$</span> est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25. <br class='autobr' /> Par conséquent, pour tout entier naturel <span class="spip-math">$n$</span>, <span class="spip-math">$v_n=-25\times 0,8^n$</span>.<br class='autobr' /> Comme, d'après l'énoncé, <span class="spip-math">$v_n=u_n-90$</span> alors <span class="spip-math">$u_n=90+v_n=90-25\times 0,8^n$</span>.</p> </div></div> <p><a id="Q3"></a><br class='autobr' /> <strong>3.</strong> On considère l'algorithme ci-dessous :</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><div class="precode"><pre class='spip_code spip_code_block' dir='ltr' style='text-align:left;'><code>ligne 1 : u ← 65 ligne 2 : n ← 0 ligne 3 : Tant que ......... ligne 4 : n ← n +1 ligne 5 : u ← 0,8×u +18 ligne 6 : Fin Tant que</code></pre></div></td></tr> </tbody> </table> <p><a id="Q3a"></a><br class='autobr' /> <strong>a.</strong> Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel <span class="spip-math">$n$</span> tel que <span class="spip-math">$u_n\geq 85$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/ecrire-un-algorithme-de-seuil' class="spip_in">Ecrire un algorithme de seuil</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>L'algorithme calcule les termes successifs de <span class="spip-math">$(u_n)$</span> et doit continuer tant que la condition <span class="spip-math">$u_n \lt 85$</span> est vraie. Il s'arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c'est à dire lorsque <span class="spip-math">$u_n \geq 85$</span>.<br class='autobr' /> On peut donc compléter la ligne 3 ainsi :</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><div class="precode"><pre class='spip_code spip_code_block' dir='ltr' style='text-align:left;'><code>ligne 3 : Tant que u<0,85</code></pre></div></td></tr> </tbody> </table></div></div> <p><a id="Q3b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> Quelle est la valeur de la variable <span class="spip-math">$n$</span> à la fin de l'exécution de l'algorithme ?</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/algorithmes/article/faire-tourner-un-algorithme' class="spip_in">Faire "tourner" un algorithme</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Exécutons pas à pas cet algorithme.</p> <table class="table spip"> <tbody> <tr class='row_odd odd'> <td><span class="spip-math">$u=65 \\ n=0$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=1 \\ u=0,8\times 65 +18=70$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=2 \\ u=0,8\times 70 +18=74$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=3 \\ u=0,8\times 74 +18=77,2$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=4 \\ u=0,8\times 77,2 +18=79,76$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=5 \\ u=0,8\times 79,76 +18=81,808$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=6 \\ u=0,8\times 81,808 +18\approx 83,45$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=7 \\ u\approx 0,8\times 83,45 +18\approx 84,76$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est vraie, on entre dans le "Tant que" :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$n=8 \\ u\approx 0,8\times 84,76 +18\approx 85,81$</span><br class='autobr' /> La condition <span class="spip-math">$u\lt 0,85$</span> est fausse, on sort du "Tant que" et l'algorithme s'arrête.<br class='autobr' /> La valeur de <span class="spip-math">$n$</span> lorsque l'algorithme est arrêté est 8.</td></tr> </tbody> </table></div></div> <p><a id="Q3c"></a><br class='autobr' /> <strong>c.</strong> Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation <span class="spip-math">$u_n\geq 85$</span>.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/determiner-un-rang-sous-condition' class="spip_in">Déterminer un rang sous condition</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p><span class="spip-math">$\begin{align} u_n\geq 85 & \Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n \geq 85 \\ & \Leftrightarrow -25\times 0,8^n \geq -5 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq \frac{-5}{-25} \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq 0,2 \\ & \Leftrightarrow \ln(0,8^n) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,8) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \\ \end{align}$</span><br class='autobr' /> Or <span class="spip-math">$\frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}\approx 7,21$</span>. Par conséquent, le plus petit entier naturel <span class="spip-math">$n$</span> tel que <span class="spip-math">$u_n\geq 85$</span> est <span class="spip-math">$n=8$</span>.</p> </div></div> <p><a id="Q4"></a><br class='autobr' /> <strong>4.</strong> La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52 € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.<br class='autobr' /> En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.<br class='autobr' /> Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :<br class='autobr' /> • d'un mois à l'autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;<br class='autobr' /> • chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.</p> <p><a id="Q4a"></a><br class='autobr' /> <strong>a.</strong> Justifier que la suite <span class="spip-math">$(u_n)$</span> permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/traduire-un-enonce-par-une-relation-de-recurrence' class="spip_in">Traduire un énoncé par une relation de récurrence</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On peut schématiser la situation de la façon suivante où <span class="spip-math">$(w_n)$</span> est la suite qui correspond à l'énoncé de la question 4 :</p> <div class='spip_document_166 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/ex3_01_copiar_.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH165/ex3_01_copiar_-078ae.jpg?1766917448' width='500' height='165' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Comme réaliser une diminution de 20 % revient à multiplier par 0,8, on peut conclure que <span class="spip-math">$w_{n+1}=0,8w_n+18$</span> avec, par ailleurs, <span class="spip-math">$w_0=65$</span>.<br class='autobr' /> Cette suite <span class="spip-math">$(w_n)$</span> est, par conséquent, la suite <span class="spip-math">$(u_n)$</span>. C'est donc bien la suite <span class="spip-math">$(u_n)$</span> qui permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.</p> </div></div> <p><a id="Q3b"></a><br class='autobr' /> <strong>b.</strong> Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420 € durant l'année 2018 ? Justifier la réponse.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La recette mensuelle de la société Biocagette est constituée des frais d'abonnement de chaque particulier (52 €). Une recette de 4 420 € correspond donc à <span class="spip-math">$\frac{4420}{52}=85$</span> abonnés. La question est donc de savoir si durant l'année 2018, l'entreprise va atteindre 85 abonnés. Or, nous avons résolu l'inéquation <span class="spip-math">$u_n\geq 85$</span> à la question 3c.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$u_n\geq 85$</span> à partir de <span class="spip-math">$n=8$</span>. <br class='autobr' /> Par conséquent, c'est à partir du mois de "juillet 2017 + 8 mois", c'est à dire mars 2018, que l'entreprise dépassera 85 abonnés.<br class='autobr' /> La recette mensuelle de la société Biocagette va donc dépasser 4 420 € durant l'année 2018 (à partir mars 2018).</p> </div></div> <p><a id="Q3c"></a><br class='autobr' /> <strong>c.</strong> Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ? Argumenter la réponse.</p> <p><i>Relire la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/suites/article/calculer-la-limite-d-une-suite-geometrique' class="spip_in">Calculer la limite d'une suite géométrique</a>.</i></p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Calculons la limite de la suite <span class="spip-math">$(u_n)$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$0<0,8<1$</span> donc <span class="spip-math">$\lim 0,8^n=0$</span>.<br class='autobr' /> Par produit par <span class="spip-math">$-25$</span>, <span class="spip-math">$\lim -25\times 0,8^n=0$</span>.<br class='autobr' /> Par somme avec <span class="spip-math">$90$</span>, <span class="spip-math">$\lim 90-25\times 0,8^n=90$</span>.<br class='autobr' /> Cela signifie qu'après un grand nombre de mois, le nombre d'abonnés sera proche de 90.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$90\times 52=4680$</span>. On en déduit que la recette mensuelle de la société Biocagette tend vers 4 680 €.</p> </div></div></div>