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Résoudre une équation "produit nul"

Neige — 2018-06-09T18:30:36Z

Méthode

Pour comprendre au mieux cette méthode, il est recommandé d'avoir lu :

Nous allons voir ici comment résoudre une équation produit nul.

Une équation produit nul est une équation de type $A\times B=0$ où $A$ et $B$ sont des expressions. Par exemple l'équation $(3x-4)\times (1-e^x)=0$ est une équation produit nul.

Attention, il est parfois nécessaire de factoriser avant d'obtenir une telle équation. Nous verrons quelques exemples ci-après.

Pour résoudre une équation produit nul, on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$.
On résout ensuite chacune des équations $A=0$ et $B=0$ séparément. Les solutions obtenues en résolvant ces deux équations sont celles de l'équation initiale.

Remarques

L'intérêt de cette méthode est qu'on transforme un problème $A\times B=0$ qui peut être compliqué en deux petits problèmes $A=0 \qquad ou \qquad B=0$ souvent beaucoup plus simple. On décompose un problème en sous-problèmes.
Attention, cette technique ne s'applique qu'aux produits nuls. $A\times B=1$ n'est pas équivalent à $A=1 \qquad ou \qquad B=1$.

En résumé,

on factorise si ce n'est pas déjà fait (après avoir regroupé tous les termes dans un même membre).
on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$ et on résout ces deux dernières équations séparément.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Résoudre les équations suivantes.

$(E_1) : \qquad (3x-2)(x+4)=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_2) : \qquad (1-x)(2-e^x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_3) : \qquad e^{2x-4}(0,5x-7)=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_4) : \qquad (x-2)\ln(x)=0$ pour $x\gt 0$.

Voir la solution

L'équation $(E_1)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (3x-2)(x+4)=0 & \Leftrightarrow 3x-2=0 \qquad ou \qquad x+4=0 \\ & \Leftrightarrow 3x=2 \qquad ou \qquad x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \qquad ou \qquad x=-4 \end{align}$
L'équation $(E_1)$ admet deux solutions : $\frac{2}{3}$ et $-4$.

L'équation $(E_2)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (1-x)(2-e^x)=0 & \Leftrightarrow 1-x=0 \qquad ou \qquad 2-e^x=0 \\ & \Leftrightarrow -x=-1 \qquad ou \qquad -e^x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad e^x=2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad x=\ln(2) \end{align}$
L'équation $(E_2)$ admet deux solutions : $1$ et $\ln(2)$.

L'équation $(E_3)$ est bien une équation produit nul.
$e^{2x-4}(0,5x-7)=0 \Leftrightarrow e^{2x-4}=0 \qquad ou \qquad 0,5x-7=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation $e^{2x-4}=0$ n'a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} e^{2x-4}(0,5x-7)=0 & \Leftrightarrow 0,5x-7=0 \\ & \Leftrightarrow 0,5x=7 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{7}{0,5} \\ & \Leftrightarrow x=14 \end{align}$
L'équation $(E_3)$ admet une seule solution : $14$.

L'équation $(E_4)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (x-2)\ln(x)=0 & \Leftrightarrow x-2=0 \qquad ou \qquad \ln(x)=0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=e^0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=1 \end{align}$
L'équation $(E_4)$ admet deux solutions : $2$ et $1$.

Niveau moyen
Résoudre les équations suivantes sur les intervalles indiqués.
Il est demandé de se ramener à des équations de type produit nul après avoir factorisé.

$(E_1) : \qquad 2x^3+x^2-6x=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_2) : \qquad 3e^{1-x}-xe^{1-x}=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_3) : \qquad e^{-x}-2e^{-2x}=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_4) : \qquad x\ln(x+2)=x$ pour $x\gt -2$.

Voir la solution

Factorisons le membre de gauche de $(E_1)$ par $x$.
$(E_1) \Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_1) \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x^2+x-6=0$
Cette dernière équation est une équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-6$. Calculons le discriminant.
$\begin{align} \Delta & =b^2-4ac \\ & =1^2-4\times 2\times(-6) \\ & = 1+48 \\ & = 49 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc cette équation admet exactement deux solutions :
$\begin{align} x_1 & =\frac{-1-\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1-7}{4} \\ & = \frac{-8}{4} \\ &=-2 \end{align}$
et
$\begin{align} x_2 & =\frac{-1+\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1+7}{4} \\ & = \frac{6}{4} \\ &=1,5 \end{align}$
Finalement, l'équation $(E_1)$ admet trois solutions : $0$, $-2$ et $1,5$.

Factorisons le membre de gauche de $(E_2)$ par $e^{1-x}$.
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}(3-x)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}=0 \qquad ou \qquad 3-x=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation $e^{1-x}=0$ n'a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3-x=0 \\ & \Leftrightarrow x=3 \end{align}$
L'équation $(E_2)$ admet une seule solution : $3$.

On remarque (propriété de la fonction exponentielle) que :
$e^{-2x}=e^{-x}\times e^{-x}$
Par conséquent,
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}-2e^{-x}\times e^{-x}=0$
Factorisons le membre de gauche par $e^{-x}$.
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}(1-2e^{-x})=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}=0 \qquad ou \qquad 1-2e^{-x}=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l'équation $e^{-x}=0$ n'a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 1-2e^{-x}=0 \\ & \Leftrightarrow -2e^{-x}=-1 \\ & \Leftrightarrow 2e^{-x}=1 \\ & \Leftrightarrow e^{-x}=0,5 \\ & \Leftrightarrow -x=\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(2) \end{align}$
(la dernière étape est facultative)
L'équation $(E_2)$ admet une seule solution : $\ln(2)$.

Dans cette équation $(E_4)$, il y a une erreur à ne pas commettre : diviser chacun des membres par $x$. En effet, cela aurait pour conséquence de perdre une solution... De façon générale, il vaut mieux éviter de diviser par des quantités pouvant s'annuler. On va donc transformer l'équation de sorte que l'inconnue apparaisse uniquement dans le membre de gauche puis, on factorisera.
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x\ln(x+2)-x=0 \\ & \Leftrightarrow x(\ln(x+2)-1)=0 \end{align}$
Cette équation est de type produit nul.
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)-1=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)=1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e^1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=e-2 \end{align}$
L'équation $(E_4)$ admet deux solutions : $0$ et $e-2$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

Résoudre une équation simple avec l'exponentielle ou le logarithme

Neige — 2018-06-02T18:53:36Z

Méthode

Nous allons voir ici comment utiliser les fonctions exponentielle et logarithme népérien pour résoudre des équations simples.

J'appelle équation "simple" une équation dans laquelle l'inconnue apparaît exclusivement soit en exposant, soit dans un logarithme.
Par exemple, $3e^{2x+1}-5=2$ ou bien $5-2\ln{(x)}=0$ ou encore $e^{x^2+x}=-1$ sont des équations "simples".
Par contre $x\ln{(x)}=8$ ou encore $3x-4e^x=0$ ne le sont pas.

Lorsque l'équation n'est pas "simple", vous devez essayer de factoriser afin de vous ramener à une équation de type "produit nul" ou encore essayer de transformer l'équation afin d'obtenir une équation "simple". Cela n'est malheureusement pas toujours possible et une résolution approchée est parfois inévitable (cela fera l'objet d'une prochaine vidéo).

Face à une équation "simple", l'idée est :

d'isoler les termes contenant l'inconnue (une exponentielle ou un logarithme).
puis d'appliquer la fonction réciproque dans chaque membre. En d'autres termes, si vous avez isolé une exponentielle, vous appliquez le logarithme (après avoir vérifié que les deux membres sont strictement positifs). Si vous avez isolé un logarithme, vous appliquez l'exponentielle.
d'utiliser ensuite les propriétés suivantes :
Pour tout réel $X$, on peut écrire que $\ln(e^X)=X$
Pour tout réel $X\gt 0$, on peut écrire que $e^{\ln(X)}=X$
de poursuivre la résolution (avec un problème en moins !).

Cette méthode est un peu compliquée à expliquer avec des mots mais la mise en pratique est plus simple et j'espère que la vidéo ci-dessous et les exercices qui suivent vous permettront d'y voir un peu plus clair.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Résoudre les équations suivantes.

$(E_1) : \qquad 3-2\ln(x)=4$ pour $x\gt 0$.

$(E_2) : \qquad 4e^x=5$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_3) : \qquad 3^n=177147$ pour $n$ entier.

Voir la solution

On isole le terme contenant l'inconnue :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2\ln(x)=1 \\ & \Leftrightarrow \ln(x)=-0,5 \end{align}$
On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow e^{\ln(x)}=e^{-0,5} \\ & \Leftrightarrow x=e^{-0,5} \end{align}$
Finalement, la solution est $x=e^{-0,5}\approx 0,607$.

On isole le terme contenant l'inconnue :
$(E_2) \Leftrightarrow e^x=1,25$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln\left(e^x\right)=\ln(1,25) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(1,25) \end{align}$
Finalement, la solution est $x=\ln(1,25)\approx 0,223$.

Le terme contenant l'inconnue est déjà isolé.
On applique la fonction logarithme népérien car l'inconnue est en exposant (et les deux membres sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow \ln\left(3^n\right)=\ln(177147) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(3)=\ln(177147) \\ & \Leftrightarrow n=\frac{\ln(177147)}{\ln(3)} \\ & \Leftrightarrow n=11 \end{align}$

Niveau facile
Résoudre les équations suivantes.

$(E_1) : \qquad 1-e^{-3x+4}=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_2) : \qquad 4\ln(5x-2)=3$ pour $x\gt 0,4$.

$(E_3) : \qquad 5+2\times 0,4^n=5,01$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la solution

On isole le terme contenant l'inconnue :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -e^{-3x+4}=-1 \\ & \Leftrightarrow e^{-3x+4}=1 \end{align}$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{-3x+4}\right)=\ln(1) \\ & \Leftrightarrow -3x+4=0 \\ & \Leftrightarrow -3x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{-4}{-3} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{4}{3} \end{align}$
Finalement, la solution est $x=\frac{4}{3}\approx 1,333$.

On isole le terme contenant l'inconnue :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln(5x-2)=\frac{3}{4} \\ & \Leftrightarrow \ln(5x-2)=0,75 \\ \end{align}$
On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow e^{\ln(5x-2)}=e^{0,75} \\ & \Leftrightarrow 5x-2=e^{0,75} \\ & \Leftrightarrow 5x=e^{0,75}+2 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{e^{0,75}+2}{5} \\ \end{align}$
Finalement, la solution est $x=\frac{e^{0,75}+2}{5}\approx 0,823$.

On isole le terme contenant l'inconnue :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 2\times 0,4^n=0,01 \\ & \Leftrightarrow 0,4^n=\frac{0,01}{2} \\ & \Leftrightarrow 0,4^n=0,005 \end{align}$
On applique la fonction logarithme népérien car l'inconnue est en exposant (et les deux membres sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow \ln\left(0,4^n\right)=\ln(0,005) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,4)=\ln(0,005) \\ & \Leftrightarrow n=\frac{\ln(0,005)}{\ln(0,4)} \end{align}$
Finalement, la solution est $n=\frac{\ln(0,005)}{\ln(0,4)} \approx 5,782$.

Niveau moyen
Résoudre les équations suivantes.

$(E_1) : \qquad 3-2e^{x^2-1}=0$ sur $\mathbb{R}$.

$(E_2) : \qquad \ln\left(1+e^{-x}\right)=3$ sur $\mathbb{R}$.

Voir la solution

On isole le terme contenant l'inconnue :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2e^{x^2-1}=-3 \\ & \Leftrightarrow e^{x^2-1}=\frac{3}{2} \\ & \Leftrightarrow e^{x^2-1}=1,5 \\ \end{align}$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{x^2-1}\right)=\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x^2-1=\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x^2=1+\ln(1,5) \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{1+\ln(1,5)} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{1+\ln(1,5)} \end{align}$
Finalement, les solutions sont $\sqrt{1+\ln(1,5)}\approx 1,186$ et $-\sqrt{1+\ln(1,5)}\approx -1,186$.

Le terme contenant l'inconnue est déjà isolé.
On applique la fonction exponentielle dans les deux membres :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow e^{\ln\left(1+e^{-x}\right)}=e^{3} \\ & \Leftrightarrow 1+e^{-x}=e^{3} \end{align}$
On isole à nouveau le terme contenant l'inconnue :
$(E_2) \Leftrightarrow e^{-x}=e^{3}-1$
On applique la fonction logarithme népérien dans les deux membres (qui sont strictement positifs) :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \ln\left(e^{-x}\right)=\ln\left(e^{3}-1\right) \\ & \Leftrightarrow -x=\ln\left(e^{3}-1\right) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln\left(e^{3}-1\right) \end{align}$
Finalement, la solution est $x=-\ln\left(e^{3}-1\right)\approx -2,949$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

Résoudre une équation du 2nd degré

Neige — 2018-05-26T16:39:23Z

Méthode

Nous allons voir ici comment résoudre une équation du 2nd degré dans $\mathbb{R}$.

Une équation du 2nd degré peut s'écrire sous la forme $ax^2+bx+c=0$ où $a, b$ et $c$ sont des nombres fixés et $a\ne 0$.
Par exemple, les équations $-3x^2+5x-26=0$ ou bien $-x^2+\frac{2}{3}=0$ ou encore $x^2+5x=0$ sont des équations du 2nd degré. Par contre $2x-4=0$ n'est pas une équation du 2nd degré mais du 1er degré (il n'y a pas de $x^2$ ou mieux dit : le coefficient de $x^2$ est nul).

Voici la technique générale de résolution d'une équation de type $ax^2+bx+c=0$ (avec $a\ne 0$) dans $\mathbb{R}$.

On écrit à quoi sont égaux $a, b$ et $c$.
On calcule le discriminant $\Delta=b^2-4ac$.
On donne l'une des 3 réponses suivantes selon la valeur de $\Delta$ :
- Si $\Delta \lt 0$, l'équation n'a pas de solution dans $\mathbb{R}$.
- Si $\Delta = 0$, l'équation admet une unique solution réelle : $x=\frac{-b}{2a}$.
- Si $\Delta \gt 0$, l'équation admet exactement deux solutions réelles : $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$.

Remarques

Inutile d'apprendre par coeur la formule correspondant à la racine unique (lorsque $\Delta = 0$), on la retrouve en remplaçant $\Delta$ par 0 dans l'une des deux solutions lorsque $\Delta \gt 0$.
Attention à bien regrouper tous les termes dans un même membre de l'équation avant de donner les valeurs de $a, b$ et $c$. Par exemple, l'équation $-2x^2+3x-2=4$ doit être réécrite en $-2x^2+3x-6=0$ avant d'être résolue.
Attention à bien ordonner les termes avant de donner les valeurs de $a, b$ et $c$. Par exemple, il est plus sûr d'écrire l'équation $3x-x^2+1=0$ sous la forme $-x^2+3x+1=0$ afin d'éviter les erreurs de coefficient !
Il peut être utile de factoriser (ou diviser) par une constante afin de simplifier l'équation (et donc, les coefficients). Par exemple, dans l'équation $-100x^2+100x-200=0$, on peut diviser chacun des membres par 100 afin d'obtenir : $-x^2+x-2=0$.

Une dernière remarque

Lorsque l'un des coefficients $b$ ou $c$ de l'équation $ax^2+bx+c=0$ est nul, il y a une méthode de résolution plus efficace :
- Si $b=0$, on isole $x^2$.
- Si $c=0$, on factorise par $x$.

Des exemples suivent la vidéo.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

$(E_1) : \qquad x^2+x=2$

$(E_2) : \qquad x^2+3x-5=2x^2-3x+4$

$(E_3) : \qquad 8x+4x^2+16=0$

Voir la solution

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$(E_1) \Leftrightarrow x^2+x-2=0$.
C'est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=1$ et $c=-2$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 1^2-4\times 1\times (-2) \\ & =1+8 \\ & =9 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_1)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{-1-\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1-3}{2} \\ & = \frac{-4}{2} \\ & = -2 \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{-1+\sqrt{9}}{2\times 1} \\ & = \frac{-1+3}{2} \\ & = \frac{2}{2} \\ & = 1 \end{align}$

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow x^2-2x^2+3x+3x-5-4=0 \\ & \Leftrightarrow -x^2+6x-9=0 \end{align}$
C'est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=-1, b=6$ et $c=-9$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 6^2-4\times (-1)\times (-9) \\ & =36-36 \\ & =0 \end{align}$
On constate que $\Delta = 0$ donc $(E_2)$ admet exactement une solution réelle :
$\begin{align} x &=\frac{-6}{2\times (-1)} \\ & = \frac{-6}{-2} \\ & = 3 \end{align}$

On commence par ordonner les termes dans le membre de gauche !
$(E_3) \Leftrightarrow 4x^2+8x+16=0$.
On peut aussi diviser par 4 chacun des membres (cela revient à diviser chaque terme par 4) :
$(E_3) \Leftrightarrow x^2+2x+4=0$.
C'est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=2$ et $c=4$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 2^2-4\times 1\times 4 \\ & =4-16 \\ & =-12 \end{align}$
On constate que $\Delta \lt 0$ donc cette équation n'admet pas de solution réelle.

Niveau moyen
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes de deux façons : d'abord en utilisant le discriminant $\Delta$ puis sans utiliser$\Delta$.

$(E_1) : \qquad x^2-5=0$

$(E_2) : \qquad 2x^2=-3x$

Voir la solution

$(E_1)$ est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=0$ et $c=-5$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 0^2-4\times 1\times (-5) \\ & =0+20 \\ & =20 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_1)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{0-\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = -\frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = -\sqrt{5} \\ & \approx -2,236 \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{0+\sqrt{20}}{2\times 1} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times \sqrt{4}}{2} \\ & = \frac{\sqrt{5}\times 2}{2} \\ & = \sqrt{5} \\ & \approx 2,236 \end{align}$

On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow x^2=5 \\ & \Leftrightarrow x=\sqrt{5} \qquad ou \qquad x=-\sqrt{5} \end{align}$
On obtient bien les mêmes solutions.

On commence par regrouper tous les termes dans le membre de gauche :
$(E_2) \Leftrightarrow 2x^2+3x=0$.
C'est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=2, b=3$ et $c=0$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= 3^2-4\times 2\times 0 \\ & =9 \\ \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc $(E_2)$ admet exactement deux solutions réelles :
$\begin{align} x_1 &=\frac{-3-\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3-3}{4} \\ & = \frac{-6}{4} \\ & = -\frac{3}{2} \end{align}$
$\begin{align} x_2 &=\frac{-3+\sqrt{9}}{2\times 2} \\ & = \frac{-3+3}{4} \\ & = \frac{0}{4} \\ & = 0 \end{align}$

On peut aussi résoudre cette équation sans utiliser le discriminant :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 2x^2+3x=5 \\ & \Leftrightarrow x(2x+3) \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x+3=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x=-3 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=-\frac{3}{2} \\ \end{align}$
On obtient bien les mêmes solutions.

Niveau difficile
Pour quelles valeurs du réel $m$, l'équation $x^2-mx+1$ admet exactement une solution réelle ?

Voir la solution

C'est une équation du 2nd degré de forme $ax^2+bx+c=0$ où $a=1, b=-m$ et $c=1$.
Calcul du discriminant :
$\begin{align} \Delta &= (-m)^2-4\times 1\times 1 \\ & =m^2-4 \end{align}$
L'équation admet exactement une solution réelle si et seulement si $\Delta = 0$. Or,
$\begin{align} \Delta = 0 & \Leftrightarrow m^2-4=0 \\ & \Leftrightarrow m^2=4 \\ & \Leftrightarrow m=2 \qquad ou \qquad m=-2 \end{align}$
L'équation admet exactement une solution réelle pour $m=2$ ou $m=-2$ et seulement dans ce cas.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

Résoudre une équation du 1er degré

Neige — 2018-05-20T06:26:55Z

Méthode

Enfin une méthode facile !

Mais qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?
C'est une équation de type $ax+b=0$ où $a$ et $b$ sont des nombres fixés comme par exemple $-3x+4=0$.

Attention, il est parfois nécessaire de développer et/ou réduire des expressions afin d'obtenir une équation similaire à la précédente. Par exemple, l'équation $x-1=3x-2$ est bien une équation du premier degré mais il est nécessaire de regrouper les termes en $x$ avant de se lancer dans la résolution.

Après avoir regroupé les termes et en particulier ceux faisant intervenir l'inconnue, celle-ci apparaît à un seul endroit. Résoudre l'équation, c'est simplement isoler l'inconnue dans un des deux membres en ajoutant/soustrayant ou en multipliant/divisant les deux membres de l'équation.

Ce n'est pas très clair ? Regardez la vidéo et faites les petits exercices ci-dessous.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile/moyen
Résoudre dans $\mathbb{R}$ les équations suivantes.

$(E_1) : \qquad -2x+3=0$

$(E_2) : \qquad 3x-4=-2x+1$

$(E_3) : \qquad \frac{2}{3}x+x=3$

$(E_4) : \qquad \frac{x-3}{x+2}=4$

$(E_5) : \qquad (x+5)(x-4)=(x-2)(x+6)$

Voir la solution

On commence par soustraire 3 aux deux membres :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow -2x+3-3=0-3 \\ & \Leftrightarrow -2x=-3 \end{align}$
On divise maintenant par -2 chacun des membres :
$\begin{align} (E_1) & \Leftrightarrow \frac{-2x}{-2}=\frac{-3}{-2} \\ & \Leftrightarrow x=1,5 \end{align}$
Voilà, on a isolé $x$. L'équation $(E_1)$ a une seule solution, c'est 1,5.

Dans l'équation $(E_2)$, on va regrouper les inconnues dans un seul membre et les constantes dans l'autre :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3x-4+2x=-2x+1+2x \\ & \Leftrightarrow 5x-4=1 \\ & \Leftrightarrow 5x-4+4=1+4 \\ & \Leftrightarrow 5x=5 \\ \end{align}$
On divise maintenant par 5 chacun des membres :
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow \frac{5x}{5}=\frac{5}{5} \\ & \Leftrightarrow x=1 \\ \end{align}$
C'est terminé !

Pour l'équation $(E_3)$, on va regrouper les termes où intervient l'inconnue $x$. Pour cela, on factorise par $x$ dans le terme de gauche :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow x\times \left(\frac{2}{3}+1\right)=3 \\ & \Leftrightarrow x\times \left(\frac{2}{3}+\frac{3}{3}\right)=3 \\ & \Leftrightarrow x\times \frac{5}{3}=3 \\ \end{align}$
On va maintenant multiplier par $\frac{3}{5}$ (ou diviser par $\frac{5}{3}$, c'est pareil) chacun des deux membres :
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow x\times \frac{5}{3}\times \frac{3}{5}=3\times \frac{3}{5} \\ & \Leftrightarrow x=\frac{9}{5} \end{align}$

L'équation $(E_4)$ ne ressemble pas vraiment à une équation du premier degré... et pourtant, en multipliant dans chacun des membres par $x+2$, on obtient, pour $x\ne -2$ :
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow \frac{x-3}{x+2}\times (x+2)=4\times (x+2) \\ & \Leftrightarrow x-3=4x+8 \\ & \Leftrightarrow -3x=11 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{11}{-3} \\ & \Leftrightarrow x=-\frac{11}{3} \\ \end{align}$

L'équation $(E_5)$ ne ressemble pas non plus à une équation du premier degré. Développons :
$\begin{align} (E_5) & \Leftrightarrow x^2+5x-4x-20=x^2-2x+6x-12 \\ & \Leftrightarrow x^2+x-20=x^2+4x-12 \\ \end{align}$
En soustrayant $x^2$ dans chacun des membres,
$\begin{align} (E_5) & \Leftrightarrow x-20=4x-12 \\ & \Leftrightarrow -3x-20=-12 \\ & \Leftrightarrow -3x=8 \\ & \Leftrightarrow x=-\frac{8}{3} \\ \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)