Mathématiques.club

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire

Neige — 2018-03-10T19:50:05Z

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d'avoir pris connaissance de celle-ci : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.

On considère une variable aléatoire discrète $X$ dont on connaît la loi de probabilité.

L'espérance de $X$, notée $E(X)$ est la moyenne des valeurs prises par $X$, pondéré par les probabilités associées. Autrement dit, si la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :

alors $E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+...+x_n\times P(X=x_n)$.

Cette formule s'écrit sous forme plus rigoureuse :
$E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i\times P(X=x_i)$

Important : l'espérance de $X$ est la valeur que l'on peut espérer obtenir (pour $X$) en moyenne, sur un grand nombre d'expériences. Cette interprétation de l'espérance est une conséquence de la loi des grands nombres.

Remarques :

lorsque $X$ suit une loi de probabilité "connue" (comme la loi binomiale par exemple), on dispose de formules. Par exemple, si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ alors l'espérance de $X$ est $E(X)=n\times p$.
lorsque $X$ comptabilise un gain en euros pour un joueur et que l'on demande si le jeu est avantageux, désavantageux ou équilibré, il suffit de regarder si $E(X) \geq 0$, $E(X) \leq 0$ ou $E(X) = 0$. Dans ce dernier cas, on dit aussi que le jeu est équilibré.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère une variable aléatoire $X$ qui compte le gain (en €) d'un joueur qui participe à un jeu de hasard. Voici la loi de probabilité de $X$ :

Calculer $E(X)$.
Interpréter ce résultat.

Voir la solution

1. D'après le cours,
$\begin{align} E(X) & =0,25\times 1+0,57\times 8+0,1\times 25+0,08\times 100 \\ & =15,31 € \end{align}$

2. En moyenne, sur un grand nombre de jeu, le joueur peut espérer gagner 15,31 € par jeu.

Niveau moyen
On jette un dé à 6 faces équilibré 4 fois de suite.
Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus.
Calculer $E(X)$ puis interpréter le résultat obtenu.

Voir la solution

Il peut être utile de relire la méthode suivante : Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres.
L'expérience consistant à jeter un dé à 6 face comporte 2 issues :
– obtenir 6 (succès) avec une probabilité de $\frac{1}{6}$.
– ne pas obtenir 6 (échec) avec une probabilité de $\frac{5}{6}$.
On répète cette expérience à l'identique et de façon indépendante 4 fois.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\frac{1}{6}$.
Il en résulte que $E(X)=4\times \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,67$.
En moyenne, sur un grand nombre d'expériences (consistant à jeter 4 fois le dé de suite), on peut espérer obtenir en moyenne environ 0,67 fois le nombre 6 par expérience.

Niveau difficile
Un sac contient 10 boules : 3 bleues et 7 vertes. Un joueur se présente et tire au hasard, successivement et sans remises deux boules dans l'urne.
– Si la 1ère boule tirée est bleue, on gagne 10 €.
– Si la 2ème boule tirée est verte, on gagne 5 € (cette somme peut éventuellement se cumuler avec la première).
– Dans les autres cas, on ne gagne rien.
Avant chaque partie, un joueur doit s'acquitter d'un montant de 8 €.

Ce jeu est-il équitable ?
Combien peut espérer gagner l'organisateur du jeu après 50 parties ?
Quel devrait être le prix d'une partie pour que le jeu devienne équitable ?

Voir la solution

1. On note :
– $B_1$ l'évènement "le joueur tire une boule bleue au 1er tirage".
– $V_1$ l'évènement "le joueur tire une boule verte au 1er tirage".
– $B_2$ l'évènement "le joueur tire une boule bleue au 2ème tirage".
– $V_2$ l'évènement "le joueur tire une boule verte au 2ème tirage".
D'après l'énoncé, $P(B_1)=\frac{3}{10}$ et $P(V_1)=\frac{7}{10}$.
Au 2ème tirage, il n'y a plus que 6 boules puisqu'il n'y a pas de remise.
Donc $P_{B_1}(B_2)=\frac{2}{9}$, $P_{B_1}(V_2)=\frac{7}{9}$, $P_{V_1}(B_2)=\frac{3}{9}$ et $P_{V_1}(V_2)=\frac{6}{9}$.
D'où l'arbre :

Soit $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le gain algébrique d'un joueur. On retire 8 € à chacune des sommes gagnées puisque la participation coûte 8 €.

Ainsi,
$\begin{align} P(X=7) & =P(B_1\cap V_2) \\ & = P(B_1)\times P_{B_1}(V_2) \\ & = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \\ & = \frac{7}{30} \end{align}$

$\begin{align} P(X=2) & =P(B_1\cap B_2) \\ & = P(B_1)\times P_{B_1}(B_2) \\ & = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \\ & = \frac{1}{15} \end{align}$

$\begin{align} P(X=-3) & =P(V_1\cap V_2) \\ & = P(V_1)\times P_{V_1}(V_2) \\ & = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \\ & = \frac{7}{15} \end{align}$

$\begin{align} P(X=-8) & =P(V_1\cap B_2) \\ & = P(V_1)\times P_{V_1}(B_2) \\ & = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \\ & = \frac{7}{30} \end{align}$

On en déduit la loi de probabilité de $X$ :

Par conséquent $\begin{align} E(X) & =\frac{7}{30}\times 7+\frac{1}{15}\times 2+\frac{7}{15}\times (-3)+\frac{7}{30}\times (-8) \\ & =\frac{49+4-42-56}{30} \\ & =\frac{-45}{30} \\ & = -1,5 \end{align}$.
Comme $E(X)\lt 0$, le jeu n'est pas équilibré. Il est désavantageux pour le joueur.

2. Le résultat précédent permet d'écrire que l'organisateur du jeu peut espérer gagner en moyenne 1,50 € par partie sur un grand nombre de parties. Par conséquent, après 50 parties, il peut espérer gagner 75 €.

3. Pour que le jeu soit équitable, il faudrait que l'espérance soit nulle, c'est à dire que la partie coûte 1,50 € de moins (d'après la question 1.), c'est à dire 6,50 €.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Première, spécialité maths
- la question 4 de Sujet 0, 2020 - Exercice 3.
Terminale ES et L spécialité
- la question 4.b de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
- la question 2 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3.

Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire

Neige — 2018-02-28T17:35:17Z

Méthode

On considère une variable aléatoire discrète $X$.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, c'est :

lister l'ensemble des valeurs $x_i$ prises par $X$.
associer à chacune de ces valeurs une probabilité (celle de l'évènement $X=x_i$).
résumer ces informations dans un tableau, comme celui-ci :

Remarques :

certaines lois de probabilité sont "connues" comme la loi équirépartie ou la loi binomiale. Dans ce cas, inutile de construire le tableau, il suffit de donner le nom de la loi et préciser les paramètres éventuels (voir par exemple Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres).
pour déterminer une loi de probabilité, il est souvent utile d'utiliser un tableau à double entrée ou un arbre, comme nous allons le voir dans les exercices qui suivent la vidéo.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau moyen
Un jeu consiste à lancer 2 dés tétraédriques (c'est à dire à 4 faces) équilibrés et dont les faces sont numérotées de 1 à 4. On considère la variable aléatoire $X$ qui correspond au plus petit des 2 chiffres obtenus avec les dés.
Par exemple, si on obtient 4 avec le dé n°1 et 3 avec le dé n°2 alors $X$ prend la valeur 3.
A l'aide d'un tableau à double entrée, déterminer la loi de probabilité de $X$.

Voir la solution

Comme les dés sont équilibrés, chacun des 16 couples de résultats a 1 chance sur 16 de sortir.
On construit donc le tableau suivant dans lequel la 1ère colonne correspond aux valeurs prises par le dé n°1 et la 1ère ligne aux valeurs prises par le dé n°2.

Par exemple, la valeur 2 en couleur dans le tableau, indique que si on obtient 4 avec le dé n°1 et 2 avec le dé n°2 alors $X$ prendra la valeur 2.

Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont : 1, 2, 3 et 4.
Pour obtenir les probabilités associées, il suffit de compter les cases et utiliser le fait que chaque couple a une chance sur 16 de sortir.
D'où la loi de probabilité de $X$ :

Niveau moyen
Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée de 1 à 3 fois de suite. Plus précisément, on lance successivement la pièce en respectant ces règles :
– si on obtient Pile après un lancer, on gagne 2,50 € et on relance la pièce.
– si on obtient Face après un lancer, le jeu s'arrête.
– si on vient de lancer 3 fois la pièce, le jeu s'arrête (après avoir éventuellement empoché les gains liés au 3ème lancer).
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le gain, en €, du joueur.
A l'aide d'un arbre, déterminer la loi de probabilité de $X$.

Voir la solution

On note :
– P l'évènement "obtenir Pile avec la pièce".
– F l'évènement "obtenir Face avec la pièce".
A chaque lancer, la probabilité des évènements P et F est de $\frac{1}{2}$ (la pièce étant équilibrée).
D'où l'arbre :

Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont : 0 €, 2,50 €, 5 € et 7,50 €.
Pour calculer les probabilités associées, il suffit de multiplier les probabilités rencontrées sur les chemins correspondants.
Plus pécisément,
$P(X=0)=\frac{1}{2}$
$P(X=2,50)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$P(X=5)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$P(X=7,50)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
D'où la loi de probabilité de $X$ :

Niveau moyen
Un restaurant propose deux formules pour le déjeuner :
– la formule "plat unique" à 10 €.
– la formule "plat + dessert" à 12 €.
Il est également possible de commander un café pour 2 € supplémentaires.
On sait que :
– 45 % des clients choisissent le plat unique et parmi eux, 90 % prennent un café.
– les autres clients choisissent la formule "plat + dessert" et parmi eux, 70 % prennent un café.
On précise que tous les clients prennent une formule.
A la fermeture de la cuisine, le gérant du restaurant consulte les factures du déjeuner et en regarde une au hasard.
On appelle :
– $F_1$ l'évènement "la facture est celle d'un client ayant choisi la formule plat unique".
– $F_2$ l'évènement "la facture est celle d'un client ayant choisi la formule plat + dessert".
– $C$ l'évènement "la facture est celle d'un client ayant pris un café après sa formule".

Construire un arbre représentant la situation (si nécessaire, consulter Construire un arbre pondéré)
On considère la variable aléatoire $X$ qui donne la dépense, en €, du client. Etablir la loi de probabilité de $X$.

Voir la solution

1. D'après l'énoncé,
$P(F_1)=0,45$, $P_{F_1}(C)=0,9$ et $P_{F_2}(C)=0,7$.
D'où l'arbre :

2. On reprend l'arbre précédent en rajoutant les dépenses du client :

Les valeurs prises par $X$ sont : 10 €, 12 € et 14 €.
De plus,
$\begin{align} P(X=10) & = P(F_1 \cap \bar{C}) \\ & = P(F_1)\times P_{F_1}(\bar{C}) \\ & = 0,45 \times 0,1 \\ & = 0,045 \end{align}$

$\begin{align} P(X=12) & = P(F_1 \cap C)+P(F_2 \cap \bar{C}) \\ & = P(F_1)\times P_{F_1}(C)+P(F_2)\times P_{F_2}(\bar{C}) \\ & = 0,45 \times 0,9+0,55 \times 0,3 \\ & = 0,57 \end{align}$

$\begin{align} P(X=14) & = P(F_2 \cap C) \\ & = P(F_2)\times P_{F_2}(C) \\ & = 0,55 \times 0,7 \\ & = 0,385 \end{align}$

D'où la loi de probabilité de $X$ :

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Première, spécialité maths
- la question 4 de Sujet 0, 2020 - Exercice 3.
Terminale ES et L spécialité
- la question 4.a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
- la question 2 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3.