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Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale

Neige — 2018-02-25T14:29:06Z

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d'avoir pris connaissance de celles-ci : Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres et Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On sait calculer $P(X=k)$ pour n'importe quelle valeur de $k$ entre $0$ et $n$ mais comment calculer, par exemple, $P(X \geq 1)$ ?
C'est l'objet de cette méthode.

Pour fixer les idées, appuyons nous sur un exemple.
On considère $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,4.
Voici la loi de probabilité de $X$ (voir le 2ème lien en tête de paragraphe pour les calculs) :

Calculer $P(X \geq 1)$ (autrement dit : la probabilité d'obtenir au moins un succès) peut se calculer de deux façons :

1ère façon, en utilisant la signification de $X \geq 1$, c'est à dire en écrivant que :
$\begin{align} P(X \geq 1) & = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\ & \approx 0,259+0,346+0,230+0,077+0,010 \\ & \approx 0,922 \end{align}$
2ème façon, en utilisant le fait que la somme de toutes les probabilités du tableau vaut 1 :

Donc
$\begin{align} P(X \geq 1) & = 1-P(X=0) \\ & = 1-0,078 \\ & = 0,922 \end{align}$
Cette technique est très utile et repose sur la notion de probabilité d'un évènement contraire. Autrement dit, si $A$ est un évènement alors $P(A)=1-P(\bar A)$.

En résumé, pour calculer la probabilité d'un évènement faisant intervenir une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ainsi que l'un des symboles $\geq$, $\leq$, $\gt$, $\lt$ :

on réfléchit à la loi de probabilité sous forme d'un tableau.
on choisit le plus simple entre le calcul direct et le calcul utilisant la probabilité de l'évènement contraire.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,7$.
Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ de :

$P(X \geq 5)$
$P(X \gt 0)$
$P(X \leq 5)$
$P(X \lt 2)$

Voir la solution

1. Ici, il est préférable de faire un calcul direct :
$\begin{align} P(X \geq 5) & =P(X=5)+P(X=6) \\ & = \binom{6}{5}\times 0,7^5\times 0,3^{1}+\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & \approx 0,30253+0,11765 \\ & \approx 0,4202 \end{align}$

2. On utilise l'évènement contraire :
$\begin{align} P(X \gt 0) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & = 1-0,3^6 \\ & \approx 1-0,00073 \\ & \approx 0,9993 \end{align}$

3. On utilise l'évènement contraire :
$\begin{align} P(X \leq 5) & =1-P(X=6) \\ & = 1-\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & = 1-0,7^6 \\ & \approx 1-0,11765 \\ & \approx 0,8824 \end{align}$

4. On fait un calcul direct :
$\begin{align} P(X \lt 2) & =P(X=1)+P(X=0) \\ & = \binom{6}{1}\times 0,7^1\times 0,3^{5}+\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & \approx 0,01021+0,00073 \\ & \approx 0,0109 \end{align}$

Niveau moyen
Un QCM comporte 10 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont possibles mais une seule est correcte. Un candidat répond à toutes les questions au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le candidat réponde correctement à :

au moins 2 questions ?
au plus 2 questions ?

Voir la solution

1. Il s'agit de calculer $P(X \geq 2)$.
On utilise l'évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 2) & =1-P(X=1)-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}-\binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10} \\ & = 1-0,1877-0,0563 \\ & \approx 0,76 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au moins 2 questions est d'environ 76 %.

2. Il s'agit de calculer $P(X \leq 2)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10}+\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}+\binom{10}{2}\times 0,25^2\times 0,75^{8} \\ & = 0,0563+0,1877+0,2816 \\ & \approx 0,53 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au plus 2 questions est d'environ 53 %.

Niveau difficile
Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
Dans un lycée, la probabilité qu'un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32 %.
On rencontre au hasard et successivement $n$ élèves.
on admet que la variable aléatoire $X$, qui compte le nombre d'élèves faisant du sport dans une association, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,6$.

Dans cette question, $n=10$. Quelle est la probabilité qu'au plus un élève fasse du sport dans une association ?
Dans cette question, $n$ n'est pas fixé. Combien doit-on rencontrer d'élèves pour que la probabilité qu'au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 % ?

Voir la solution

1. Il s'agit de calculer $P(X \leq 1)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 1) & =P(X=0)+P(X=1) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{10}+\binom{10}{1}\times 0,32^1\times 0,68^{9} \\ & = 0,0211+0,0995 \\ & \approx 0,12 \end{align}$
La probabilité qu'au plus un élève fasse du sport dans une association sur les 10 élèves rencontrés est d'environ 12 %.

2. Il s'agit de déterminer la valeur de $n$ telle que $P(X \geq 1)\gt 0,999$.
Or,
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{n}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{n} \end{align}$
On sait que $\binom{n}{0}=1$ et $0,32^0=1$ donc :
$P(X \geq 1) =1-0,68^n$
Par conséquent,
$\begin{align} P(X \geq 1)\gt 0,999 & \iff 1-0,68^n\gt 0,999 \\ & \iff -0,68^n\gt -0,001 \\ & \iff 0,68^n\lt 0,001 \\ & \iff n\times \ln(0,68)\lt \ln(0,001) \\ & \iff n>\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)} \end{align}$
(Comme $\ln(0,68) \lt 0$ , la dernière division change à nouveau le sens de l'inégalité.)
Or $\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)}\approx 17,91$ donc on doit interroger au moins 18 élèves pour que la probabilité qu'au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 %.

Remarque : si vous n'avez pas encore vu les logarithmes, vous pouvez essayer de trouver le résultat par essais successifs à la calculatrice, vous gagnerez toujours quelques points.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 3.c de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
la question B.3 de Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2.
la question 3 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3.

Calculer des probabilités avec une loi binomiale

Neige — 2018-02-06T08:11:09Z

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d'avoir pris connaissance de celle-ci : Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres.

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Rappel : $n$ est le nombre de répétitions de l'expérience de base (l'expérience de Bernoulli) et $p$ est la probabilité de succès dans cette expérience de base.

Dans ce cas, si $k$ est un entier compris entre 0 et $n$ alors :
Probabilité d'obtenir $k$ succès =
$\qquad$nombre de chemins à $k$ succès
$\qquad \times$ probabilité de succès$^k$
$\qquad \times$ probabilité d'échec$^{n-k}$
Autrement dit, $P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$
$\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins à $k$ succès. On peut déterminer cette valeur avec la calculatrice.

En pratique, pour calculer une probabilité avec une loi binomiale,
– On repère bien les valeurs de $n$, $p$ et $k$.
– On écrit la formule $P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$ avec les valeurs précédentes.
– On utilise la calculatrice.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,3$.
Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ de $P(X=k)$ pour toutes les valeurs entières de $k$ de 0 à 6.

Voir la solution

$P(X=0)=\binom{6}{0}\times 0,3^0\times 0,7^6$
$\qquad =0,7^6$
$\qquad \approx 0,118$
Remarque : on ne demande pas de valeur exacte mais il est bon de savoir que $\binom{n}{0}$ et $\binom{n}{n}$valent toujours 1.

$P(X=1)=\binom{6}{1}\times 0,3^1\times 0,7^5\approx 0,303$
$P(X=2)=\binom{6}{2}\times 0,3^2\times 0,7^4\approx 0,324$
$P(X=3)=\binom{6}{3}\times 0,3^3\times 0,7^3\approx 0,185$
$P(X=4)=\binom{6}{4}\times 0,3^4\times 0,7^2\approx 0,060$
$P(X=5)=\binom{6}{5}\times 0,3^5\times 0,7^1\approx 0,010$
$P(X=6)=\binom{6}{6}\times 0,3^6\times 0,7^0$
$\qquad =0,3^6$
$\qquad \approx 0,001$

Niveau moyen
On lance 4 dés (identiques et équilibrés) et on considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de 6 obtenus. On admet que $X$ suit une loi binomiale.
Donner les paramètres de cette loi puis calculer une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $P(X=3)$ et interpréter ce résultat.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $X$ suit une loi binomiale.
– La probabilité d'obtenir un 6 lorsqu'on jette un dé est de $\frac{1}{6}$.
– On répète cette expérience 4 fois puisqu'il y a 4 dés.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{6}$ et $n=4$.

On en déduit que :
$P(X=3)=\binom{4}{3}\times \left(\frac{1}{6}\right)^3\times \left(\frac{5}{6}\right)^1$
$\qquad \approx 0,015$
La probabilité d'obtenir 3 fois la face 6 lorsqu'on jette 4 dés est d'environ 1,5 %.

Niveau difficile
Un FAI (fournisseur d'accès internet) effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2000 clients. Chaque client indique s'il est satisfait ou non du service (il n'y a pas d'autres réponses possibles).
La probabilité qu'un client choisi au hasard dans ce panel soit satisfait du service fourni par le FAI est de 76,25 %.
On choisit au hasard 3 clients parmi ceux du panel. On admet que le panel est suffisamment important pour assimiler les choix des 3 clients à des tirages identiques et indépendants.
Déterminer la probabilité qu'exactement 1 client ne soit pas satisfait du service fourni par le FAI.

Voir la solution

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients non satisfaits par le service du FAI. Justifions que $X$ suit une loi binomiale.

Remarque : on pourrait s'intéresser au nombre de clients satisfaits et répondre à la question "Déterminer la probabilité qu'exactement 2 clients soient satisfaits du service fourni par le FAI". On trouverait alors la même solution.

– L'épreuve consistant à interroger un client comporte deux issues : "le client n'est pas satisfait" (Succès) et "le client est satisfait" (Echec).
– D'après l'énoncé, on répète cette épreuve à l'identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit une loi binomiale.

Par ailleurs,
– La probabilité que le client ne soit pas satisfait est $1-0,7625=0,2375$.
– On répète l'épreuve 3 fois.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,2375$ et $n=3.$

Il en résulte que :
$P(X=1)=\binom{3}{1}\times 0,2375^1\times 0,7625^2$
$\qquad \approx 0,414$
La probabilité qu'exactement 1 client ne soit pas satisfait du service fourni par le FAI est d'environ 41,4 %.

Niveau difficile
Un QCM est composé de 10 questions. Chaque question comporte 4 réponses dont une seule est correcte. Un élève répond complètement au hasard à toutes les questions. On admet que les choix des réponses sont indépendants et réalisés dans les mêmes conditions. Quelle est la probabilité que l'élève réponde correctement à exactement 2 questions ?

Voir la solution

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses au QCM. Justifions que $X$ suit une loi binomiale.
– L'épreuve consistant à répondre au hasard à une question comporte 2 issues : "la bonne réponse est choisie" (Succès) et "une mauvaise réponse est choisie" (Echec).
– On répète cette épreuve à l'identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit une loi binomiale.

Par ailleurs,
– La probabilité de choisir la bonne réponse à une question est de $p=\frac{1}{4}$.
– On répète l'épreuve 10 fois donc $n=10$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{4}$ et $n=10$.

Il en résulte que :
$P(X=2)=\binom{10}{2}\times \left(\frac{1}{4}\right)^2\times \left(\frac{3}{4}\right)^8$
$\qquad \approx 0,282$
La probabilité que l'élève réponde correctement à exactement 2 questions est d'environ 28,2 %.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 3.b de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
la question B.2 de Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2.

Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres

Neige — 2018-01-30T18:28:06Z

Méthode

Une variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale lorsqu'elle "compte" le nombre de succès obtenus dans un schéma de Bernoulli.
Un schéma de Bernoulli est la répétition d'épreuves identiques et indépendantes ayant chacune exactement deux issues : Succès ou Echec ($S$ ou $E$ dans la figure suivante où l'on a représenté 3 répétitions).

Remarque : si vous avez déjà des notions de probabilités conditionnelles, vous pouvez remarquer un abus de langage dans les notations $S$ et $E$ utilisées dans l'arbre. En effet, il serait mathématiquement plus rigoureux d'indiquer les évènements sous forme $S_1$, $S_2$ et $S_3$ afin d'éviter les $P_S(S)$ qui seraient toujours égaux à ... 1.

En résumé, pour justifier que $X$ suit une loi binomiale, il suffit de dire que :

on répète des épreuves identiques et indépendantes.
chaque épreuve comporte deux issues (Succès ou Echec).
$X$ compte le nombre de succès à la fin de la répétition des épreuves.

Donner les paramètres d'une loi binomiale, c'est préciser :

la probabilité d'obtenir un succès sur une épreuve (non répétée). Ce paramètre est noté $p$.
le nombre de répétitions de cette épreuve. Ce paramètre est noté $n$.

Par exemple, dans la figure ci-dessous, $p=0,2$ et $n=3$.

Lorsque les paramètres d'une loi binomiale sont connus, on peut construire l'arbre en entier et calculer des probabilités (cela fera l'objet d'un autre article).

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau moyen
On jette un dé équilibré 10 fois de suites et on considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de réalisations de l'évènement $A$ : "Obtenir 5 ou 6".
Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

Voir la solution

– L'épreuve consistant à tirer le dé et regarder si l'évènement $A$ est réalisé ou non comporte 2 issues : "$A$ est réalisé" (Succès) et "$A$ n'est pas réalisé" (Echec).
– On répète cette épreuve à l'identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès, c'est à dire le nombre de réalisations de l'évènement $A$.

Par ailleurs,
– Comme le dé est équilibré, $P(A)=\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$. On en déduit que $p=\frac{1}{3}$.
– On répète l'épreuve 10 fois donc $n=10$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{3}$ et $n=10$.

Niveau moyen
(D'après Bac)
Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur les rythmes scolaires.
L'enquête révèle que 56,75 % des élèves sont favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
On interroge successivement et de façon indépendante 4 élèves pris au hasard parmi les élèves de cet établissement. Le nombre d'élèves de l'établissement étant suffisamment grand, on admet que les choix successifs d'élèves constituent des épreuves identiques et indépendantes.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

Voir la solution

– L'épreuve consistant à choisir un élève au hasard et regarder s'il est favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire comporte 2 issues : "l'élève est favorable" (Succès) et "l'élève n'est pas favorable" (Echec).
– D'après l'énoncé, on répète cette épreuve à l'identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès, c'est à dire le nombre d'élèves favorables.

Par ailleurs,
– D'après l'énoncé, la probabilité qu'un élève soit favorable est $p=0,5675$.
– On répète l'épreuve 4 fois donc $n=4$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,5675$ et $n=4$.

Niveau moyen
Un opérateur de téléphonie mobile organise une campagne de démarchage par téléphone pour proposer la souscription d'un nouveau forfait à sa clientèle.
Les relevés réalisés permettent de constater que 12 % des personnes appelées souscrivent à ce forfait.
Chaque employé de l'opérateur effectue 60 appels par jour. On suppose la liste de clients suffisamment importante pour que les choix soient considérés commes indépendants et réalisés dans des conditions identiques.
On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de souscriptions réalisées par un employé donné un jour donné.
Justifier que $X$ suit une loi binomiale et déterminer ses paramètres.

Voir la solution

– L'épreuve consistant à choisir un client et regarder s'il souscrit au forfait comporte 2 issues : "le client souscrit au forfait" (Succès) et "le client ne souscrit pas au forfait" (Echec).
– D'après l'énoncé, on répète cette épreuve à l'identique et de manière indépendante.
– $X$ compte le nombre de succès, c'est à dire le nombre de clients qui souscrivent au forfait.

Par ailleurs,
– D'après l'énoncé, la probabilité qu'un client souscrive au forfait est $p=0,12$.
– On répète l'épreuve 60 fois donc $n=60$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,12$ et $n=60$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 3.a de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
la question B.1 de Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2.