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Etablir un intervalle de confiance

Neige — 2018-03-16T19:21:45Z

Méthode

On considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ dont la probabilité $p$ est inconnue. L'objectif est d'estimer la valeur de $p$ en procédant de la façon suivante : on répète l'expérience $n$ fois de sorte que les expériences répétées soient identiques et indépendantes puis on calcule la fréquence $f$ de réalisation de l'évènement $A$ sur ces $n$ répétitions.

Il y a alors 95 chances sur 100 que $p$ appartienne à l'intervalle $\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$. Cet intervalle est appelé intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % (ou 0,95).

En pratique,

On vérifie que $p$ est inconnue et $f$ est connue.
On repère la valeur de $n$ et on vérifie les trois conditions suivantes :
- $n \geq 30$.
- $nf \geq 5$.
- $n(1-f) \geq 5$.
On utilise la formule donnée plus haut pour établir un intervalle de confiance.

Remarque importante : il est souvent utile d'utiliser le fait que l'amplitude de cet intervalle de confiance est de $\frac{2}{\sqrt{n}}$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Avec les notations utilisées plus haut, déterminer un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % (lorsque $f=42 \%$ et pour les valeurs suivantes de $n$ (on arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$) :

$n=50$.
$n=100$.
$n=500$.

Voir la solution

1. On sait que $f=0,42$ et $n=50$.
Par conséquent,
– $n \geq 30$.
– $nf=21 \geq 5$.
– $n(1-f)=29 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,42- \frac{1}{\sqrt{50}} ; 0,42+ \frac{1}{\sqrt{50}} \right ]\approx [0,279 ;0,561]$.

2. On sait que $f=0,42$ et $n=100$.
Par conséquent,
– $n \geq 30$.
– $nf=42 \geq 5$.
– $n(1-f)=58 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,42- \frac{1}{\sqrt{100}} ; 0,42+ \frac{1}{\sqrt{100}} \right ]= [0,320 ;0,520]$.

3. On sait que $f=0,42$ et $n=500$.
Par conséquent,
– $n \geq 30$.
– $nf=210 \geq 5$.
– $n(1-f)=290 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,42- \frac{1}{\sqrt{500}} ; 0,42+ \frac{1}{\sqrt{500}} \right ]\approx [0,375 ;0,465]$.

Niveau moyen
D'après Bac
Dans une ville de 23 000 habitants, la municipalité souhaite connaître l'opinion de ses concitoyens sur la construction d'un nouveau complexe sportif. Afin de l'aider dans sa décision, la municipalité souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes favorables à la construction de ce complexe sportif, au niveau de confiance de 95 % avec un intervalle d'amplitude inférieure à 4 %.
Quel doit être le nombre minimum de personnes à interroger ?

Voir la solution

D'après le cours, un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de personnes favorables à la construction est :
$\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$
Son amplitude est donc : $\frac{2}{\sqrt{n}}$.
Il s'agit alors de résoudre l'inéquation $\frac{2}{\sqrt{n}} \lt 0,04$.
$\begin{align} \frac{2}{\sqrt{n}} \lt 0,04 & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}}{2} \gt 25 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \gt 50 \\ & \Leftrightarrow \gt 2500 \\ \end{align}$
La municipalité doit interroger au minimum 2500 personnes.

Niveau moyen
D'après Bac
Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population.
Sur les 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire.

Voir la solution

D'après l'énoncé, la fréquence de personnes satisfaites sur l'échantillon de taille $n=100$ est $f=0,55$.
Par conséquent,
– $n \geq 30$.
– $nf=55 \geq 5$.
– $n(1-f)=45 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de confiance de la cote de popularité du maire au niveau de confiance 0,95 est $\left[ 0,55- \frac{1}{\sqrt{100}} ; 0,55+ \frac{1}{\sqrt{100}} \right ]= [0,45 ;0,65]$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question A.1 de Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3.
la question C de Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2.
la question 4 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3.

Prendre une décision à l'aide d'un intervalle de fluctuation

Neige — 2018-01-25T13:18:32Z

Méthode

Avant de lire cette méthode, vous devez d'abord comprendre celle-ci : Etablir un intervalle de fluctuation.

On considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ dont la probabilité $p$ est supposée connue. La méthode de prise de décision consiste à déterminer (avec un risque de 5%) si la probabilité $p$ peut être remise en question ou non, en utilisant un échantillon de taille $n$.

En pratique,

On repère la probabilité (ou proportion) $p$ ainsi que la taille de l'échantillon $n$.
On détermine $I$, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence (voir Etablir un intervalle de fluctuation).
On calcule la fréquence $f$ de réalisation de l'évènement $A$ constatée sur l'échantillon.
On applique la règle de décision suivante :
- Si $f$ appartient à $I$ alors on ne remet pas en question la valeur de $p$.
- Si $f$ n'appartient pas à $I$ alors on remet en question la valeur de $p$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Avec les notations utilisées plus haut, on considère une situation pour laquelle $p=0,75$, $n=50$ et $f=0,6$.

Peut-on remettre en question la valeur de $p$ ?
Même question en avec $f=0,65$ au lieu de $f=0,6$.
Même question avec $p=0,75$, $n=30$ et $f=0,6$.

Voir la solution

1. D'après l'énoncé, $p=0,75$ et $n=50$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=37,5 \geq 5$ et $n(1-p)=12,5 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence est $I=\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{50}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{50}} \right ]$
$I\approx [0,630 ;0,870]$
On constate que $f=0,6\notin I$. Par conséquent, on peut remettre en question la valeur $p=0,75$.
2. Seule la valeur de $f$ change donc on peut reprendre l'intervalle $I \approx [0,630 ;0,870]$ calculé à la question précédente.
On constate que $f=0,65\in I$. Par conséquent, on ne peut pas remettre en question la valeur $p=0,75$.
3. D'après l'énoncé, $p=0,75$ et $n=30$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=22,5 \geq 5$ et $n(1-p)=7,5 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence est $I=\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{30}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{30}} \right ]$
$I\approx [0,595 ;0,905]$.
On constate que $f=0,6\in I$. Par conséquent, on ne peut pas remettre en question la valeur $p=0,75$.

Niveau moyen
(D'après bac)
Un investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements sont rentables. Pour vérifier cette information, on aprélevé au hasard 280 dossiers d'appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.

Déterminer la fréquence observée sur l'échantillon prélevé.
Peut-on valider l'affirmation du responsable de l'agence ? On pourra s'aider d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 %.

Voir la solution

1. La fréquence d'appartements rentables est $f=\frac{120}{280}\approx 0,429$.
2. D'après l'énoncé, la probabilité qu'un appartement soit rentable est $p=0,6$ et la taille de l'échantillon est $n=280$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=168 \geq 5$ et $n(1-p)=112 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence d'appartements rentables est $I=\left[ 0,6-1,96 \frac{\sqrt{0,6(1-0,6)}}{\sqrt{280}} ; 0,6+1,96 \frac{\sqrt{0,6(1-0,6)}}{\sqrt{280}} \right ]$
$I\approx [0,543 ;0,657]$
D'après la question 1, $f\notin I$. Par conséquent, on peut remettre en question la valeur $p=0,6$. On ne peut pas valider l'affirmation du responsable de l'agence.

Niveau moyen
(D'après bac)
Une mutuelle affirme que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013. Afin d'étudier la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante parmi les adhérents de la mutuelle.
Parmi ces personnes, 36 ont comptabilisé plus de 20 journées d'absence en 2013.
Le résultat de l'enquête remet-il en question l'affirmation de la mutuelle ?

Voir la solution

D'après l'énoncé, la probabilité qu'un adhérent à la mutuelle ait dépassé 20 journées d'absence au travail en 2013 est $p=0,22$ et la taille de l'échantillon est $n=200$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=44 \geq 5$ et $n(1-p)=156 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence d'adhérents ayant dépassé 20 journées d'absence est $I=\left[ 0,22-1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{200}} ; 0,22+1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{200}} \right ]$
$I\approx [0,163 ;0,277]$
De plus, $f=\frac{36}{200}=0,18$. Par conséquent, $f\in I$ et on ne peut pas remettre en question l'affirmation de la mutuelle.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question C de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
la question C de Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2.

Etablir un intervalle de fluctuation

Neige — 2018-01-22T19:10:33Z

Méthode

Le contexte mathématique relatif à l'utilisation de cette méthode peut sembler un peu complexe mais en pratique, ce n'est pas si compliqué. Alors ne vous découragez pas trop vite !

Voici le contexte de la méthode.
On considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ dont la probabilité $p$ est connue (ou bien supposée connue). On répète cette expérience $n$ fois de sorte que les expériences répétées soient identiques et indépendantes. On considère alors la variable aléatoire $F$ qui, à ces expériences répétées, associe la fréquence de réalisation de l'évènement $A$ sur les $n$ répétitions.

Dans ces conditions, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $I=\left[ p-1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p+1,96 \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right ]$.

Un interprétation de tout cela : la probabilité que $F$ appartienne à $I$ lorsque $n$ est suffisamment grand est proche de 95 %.

En pratique,

On vérifie que $p$ est connue ou supposée connue.
On repère la valeur de $n$ et on vérifie les trois conditions suivantes :
- $n \geq 30$.
- $np \geq 5$.
- $n(1-p) \geq 5$.
On utilise la formule donnée plus haut pour établir un intervalle de fluctuation.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
Avec les notations utilisées plus haut, déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil $95$ % lorsque $p=30$ % et pour les valeurs suivantes de $n$ (on arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$) :

$n=50$.
$n=100$.
$n=300$.

Voir la solution

1. On sait que $p=0,3$ et $n=50$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=15 \geq 5$ et $n(1-p)=35 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $\left[ 0,3-1,96 \frac{\sqrt{0,3(1-0,3)}}{\sqrt{50}} ; 0,3+1,96 \frac{\sqrt{0,3(1-0,3)}}{\sqrt{50}} \right ]\approx [0,173 ;0,427]$.
2. On sait que $p=0,3$ et $n=100$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=30 \geq 5$ et $n(1-p)=70 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $\left[ 0,3-1,96 \frac{\sqrt{0,3(1-0,3)}}{\sqrt{100}} ; 0,3+1,96 \frac{\sqrt{0,3(1-0,3)}}{\sqrt{100}} \right ]\approx [0,210 ;0,390]$.
3. On sait que $p=0,3$ et $n=300$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=90 \geq 5$ et $n(1-p)=210 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $\left[ 0,3-1,96 \frac{\sqrt{0,3(1-0,3)}}{\sqrt{300}} ; 0,3+1,96 \frac{\sqrt{0,3(1-0,3)}}{\sqrt{300}} \right ]\approx [0,248 ;0,352]$.

Niveau moyen
(D'après Bac)
Dans un slogan publicitaire, une banque affirme que 75 % des demandes de prêts immobiliers sont acceptées. Soit $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 1000 demandes choisies au hasard et de façon indépendante, associe la fréquence de demandes de prêts immobiliers acceptées.
Donner un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de $F$ (arrondir les bornes de l'intervalle au millième).

Voir la solution

D'après l'énoncé, $p=0,75$ et $n=1000$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=750 \geq 5$ et $n(1-p)=250 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{1000}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{1000}} \right ]\approx [0,723 ;0,777]$.

Niveau moyen
(D'après Bac)
Un cabinet d'assurances constate que 16 % de leurs clients ont déclaré un sinistre au cours de l'année.
Un expert indépendant interroge un échantillon de $n$ clients choisis au hasard parmi les clients du cabinet. On souhaite déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année.

Pourquoi ne peut-on pas établir un tel intervalle si $n=30$ ?
Etablir l'intervalle demandé pour $n=60$ (on arrondira les bornes de l'intervalle au centième).

Voir la solution

1. D'après l'énoncé, $p=0,16$. Si $n=30$ alors $n \geq 30$ mais $np=4,8 \lt 5$.
Les conditions ne sont pas réunies pour établir un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 %.
2. D'après l'énoncé, $p=0,16$ et $n=60$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=9,6 \geq 5$ et $n(1-p)=50,4 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la proportion de clients ayant déclaré un sinistre au cours de l'année est $\left[ 0,16-1,96 \frac{\sqrt{0,16(1-0,16)}}{\sqrt{60}} ; 0,16+1,96 \frac{\sqrt{0,16(1-0,16)}}{\sqrt{60}} \right ]\approx [0,07 ;0,25]$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question C de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
la question C de Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2.