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Calculer des probabilités avec une loi uniforme

Neige — 2018-07-23T14:39:50Z

Méthode

La loi uniforme sur l'intervalle $[a ;b]$ a pour densité une fonction très simple : la fonction constante définie pour tout $t\in[a ;b]$ par $f(t)=\frac{1}{b-a}$ comme on peut le voir sur ce schéma :

Remarque : pour retrouver la valeur de la constante $\frac{1}{b-a}$, on peut se rappeler que l'aire sous la courbe (qui est en fait un rectangle) doit valoir 1. Comme la longueur mesure $b-a$, alors la largeur vaut $\frac{1}{b-a}$.

On considère un intervalle $[c ;d]$ inclus dans $[a ;b]$ et $X$ la variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur $[a ;b]$.
$P(X\in [c ;d])$ est tout simplement l'aire sous la courbe densité entre $c$ et $d$ comme on peut l'illustrer ci-dessous :

Par conséquent, l'aire de ce rectangle est le produit de sa largeur $d-c$ par sa longueur $\frac{1}{b-a}$ :
$P(X\in [c ;d])=(d-c)\times \frac{1}{b-a}=\frac{d-c}{b-a}$

Remarques :

$P(X\in [c ;d])$ s'écrit aussi $P(c \leq X \leq d)$.
Comme pour n'importe quelle loi continue, $P(c \leq X \leq d)=P(c \lt X \lt d)$.

En résumé, pour calculer une probabilité avec la loi uniforme sur $[a ;b]$,

On détermine la valeur de la constante (pour la fonction densité) : $\frac{1}{b-a}$.
On dessine un schéma sur lequel on colorie (ou on hachure) un rectangle dont l'aire correspond à la probabilité recherchée.
On calcule cette aire ($longueur\times largeur$).

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
(d'après BAC)
Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1 ;9]$. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES.
Proposition 1 : $P(1 \lt X \lt 9)=\frac{1}{8}$.
Proposition 2 : $P(5 \lt X \lt 9)=\frac{1}{2}$.
Proposition 3 : $P(1 \lt X \lt 3)=\frac{3}{8}$.
Proposition 4 : $P(1 \lt X \lt 2)=\frac{1}{8}$.

Voir la solution

La loi uniforme sur l'intervalle $[1 ;9]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{9-1}=\frac{1}{8}$ :

La proposition 1 est FAUSSE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 9)=1$.

Remarque : il n'est pas vraiment nécessaire de calculer une aire ici car ce résultat fait partie de la définition de la densité d'une loi (l'aire sous la courbe vaut 1).

La proposition 2 est VRAIE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(5 \lt X \lt 9)=(9-5)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.

La proposition 3 est FAUSSE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 3)=(3-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{4}$.

La proposition 4 est VRAIE. En effet, comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{8}=\frac{1}{8}$.

Niveau facile
(d'après BAC)
Dans une station de ski, le temps d'attente à un télésiège donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[1 ;5]$. Indiquer, en justifiant, si les propositions suivantes sont VRAIES ou FAUSSES.
Proposition 1 : la probabilité que le temps d'attente soit supérieur à 2 minutes est de $\frac{3}{4}$.
Proposition 2 : la probabilité que le temps d'attente soit inférieur ou égal à 2 minutes est de $\frac{3}{4}$.
Proposition 3 : la probabilité que le temps d'attente soit inférieur ou égal à 5 minutes est de $1$.

Voir la solution

La loi uniforme sur l'intervalle $[1 ;5]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{5-1}=\frac{1}{4}$ :

La proposition 1 est VRAIE.
En effet, $P(X \gt 2)=P(2\lt X \lt 5)$ et comme l'illustre le schéma suivant,
$P(2 \lt X \lt 5)=(5-2)\times \frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

La proposition 2 est FAUSSE. En effet, $P(X \leq 2)=P(1\lt X \lt 2)$ et comme l'illustre le schéma suivant, $P(1 \lt X \lt 2)=(2-1)\times \frac{1}{4}=\frac{1}{4}$.

Remarque : on peut aussi dire que
$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(\overline{X \gt 2}) \\ & = 1-P(X \gt 2) \\ & = 1-\frac{3}{4} \\ & = \frac{1}{4} \end{align}$
(en utilisant la question précédente pour le calcul de $P(X \gt 2)$)

La proposition 3 est VRAIE. En effet, $P(X \leq 5)=P(1\lt X \lt 5)=1$ (inutile de calculer l'aire, cela fait partie de la définition d'une fonction densité).

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question 4 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1.

Déterminer un seuil sous condition avec une loi normale

Neige — 2018-01-18T12:08:47Z

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est impératif de maîtriser celle-ci : Calculer des probabilités avec une loi normale

On considère une variable aléatoire réelle $X$ qui suit une loi normale dont la moyenne (ou l'espérance) $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ sont connus.
L'objet de cette méthode est d'expliquer comment calculer $a$ ou $b$ lorsque $P(X\lt a)$ ou $P(X\gt b)$ sont connues.

C'est le cas, par exemple, d'un énoncé comme celui-ci : « On sait que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu =29$ et $\sigma=3$. Déterminer le nombre $a$ tel que $P(X\lt a)=0,35$. ». Cet énoncé se traduit graphiquement par la détermination d'une abscisse (un seuil) pour laquelle l'aire comprise entre la courbe et l'axe des abscisses à gauche de $a$ vaut $0,35$ :

Les calculs nécessaires à la détermination de ce seuil sont trop compliqués et on ne peut calculer que des valeurs approchées. Par conséquent on se contente de calculs à la calculatrice. La difficulté réside parfois dans la formulation de la question ou dans l'interprétation des résultats, comme nous allons le voir dans les exercices suivants.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
On considère une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=150$ et d'écart-type $\sigma=25$.
Déterminer, avec la calculatrice, des valeurs arrondies au centième de $t_1$ et $t_2$ telles que $P(T\gt t_1)=0,8$ et $P(T\lt t_2)=0,4$.

Voir la solution

Illustrations graphiques des questions :

A l'aide de la calculatrice,
$t_1\approx 128,96$ et $t_2\approx 143,67$.
Remarque : si on utilise une calculatrice Casio, on renseigne Right lors de la détermination de $t_1$ et Left lors de celle de $t_2$.

Niveau moyen
(D'après Bac)
Une étude interne à une grande banque a montré qu'on peut estimer que l'âge d'un client demandant un crédit immobilier peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne 40,5 et d'écart-type 12.
Déterminer, avec la calculatrice, des valeurs arrondies au dixième de $x_1$ et $x_2$ telles que $P(X\geq x_1)=0,1$ et $P(X\leq x_2)=0,75$.
Interpréter les résultats obtenus.

Voir la solution

Remarque préliminaire : il n'y a pas de différence entre le calcul de $x_1$ lorsque $P(X\geq x_1)=0,1$ et $P(X\gt x_1)=0,1$ (remarque analogue pour $x_2$). Cela vient du fait que $P(X=x_1)=0$.
– La recherche de $x_1$ s'illustre graphiquement par le schéma suivant :

A l'aide de la calculatrice, $x_1\approx 55,9$.
Les utilisateurs d'une Casio doivent indiquer Right.
Cela signifie que 10 % des clients demandant un crédit immobilier ont plus de 55,9 ans. On peut aussi dire que la probabilité que le client demandant un crédit immobilier ait plus de 55,9 ans est de 0,1.
– La recherche de $x_2$ s'illustre graphiquement par le schéma suivant :

A l'aide de la calculatrice, $x_2\approx 48,6$.
Les utilisateurs d'une Casio doivent indiquer Left.
Cela signifie que 75 % des clients demandant un crédit immobilier ont moins de 48,6 ans. On peut aussi dire que la probabilité que le client demandant un crédit immobilier ait moins de 48,6 ans est de 0,75.

Niveau difficile
(D'après Bac)
Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques. Des études ont permis d'établir que l'autonomie $D$ d'un véhicule équipé d'une batterie suit la loi normale d'espérance $\mu=200$ km et $\sigma=40$ km. Lorsque l'autonomie d'une batterie est atteinte, le véhicule s'arrête et il faut recharger la batterie.
Traduire les questions suivantes dans le langage des probabilités puis répondre à ces questions. On arrondira les résultats au km près.

L'entreprise décide de remplacer gratuitement 2 % des batteries vendues (celles dont l'autonomie est la plus faible). En dessous de quelle autonomie $d_1$, une batterie est-elle remplacée gratuitement ?
Déterminer l'autonomie $d_2$ à partir de laquelle la probabilité que le véhicule roule encore est de 10 % ?

Voir la solution

1. Il s'agit de déterminer $d_1$ telle que $P(D\lt d_1)=0,02$.

A l'aide de la calculatrice, $d_1\approx 118$ km. Les batteries dont l'autonomie est inférieure à 118 km seront remplacées gratuitement.
2. Il s'agit de déterminer $d_2$ telle que $P(D\gt d_2)=0,1$.

A l'aide de la calculatrice, $d_2\approx 251$ km. A partir de 251 km, la probabilité que le véhicule roule encore est de 10 %.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

la question B.2 de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.

Calculer des probabilités avec une loi normale

Neige — 2018-01-12T12:46:16Z

Méthode

L'objet de cette méthode est d'expliquer comment calculer $P(a \lt X \lt b)$, $P(X\lt c)$ ou $P(X\gt d)$ lorsque $a, b, c, d$ sont des nombres fixés et $X$ une variable aléatoire réelle qui suit une loi normale dont la moyenne (ou l'espérance) $\mu$ et l'écart-type $\sigma$ sont connus.

C'est le cas, par exemple, d'un énoncé comme celui-ci : « On sait que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu =29$ et $\sigma=3$. Calculer $P(27\lt X\lt 35)$. »

Tout d'abord, il est important de savoir qu'un calcul de probabilité dans le cadre de lois continues est un calcul d'aire et donc d'intégrale.
Pour la loi normale, voici donc ce que représentent les probabilités $P(a \lt X \lt b)$, $P(X\lt c)$ et $P(X\gt d)$ :

Toutefois, les calculs nécessaires à la détermination de ces probabilités sont très compliqués et on ne peut calculer que des valeurs approchées. Par conséquent, pas de calcul d'intégrale, on se contente soit de calculs à la calculatrice, soit de la mémorisation de 3 valeurs à connaître en terminale : $P(\mu - \sigma \lt X \lt \mu + \sigma)\approx 0,683$, $P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$ et $P(\mu - 3\sigma \lt X \lt \mu + 3\sigma)\approx 0,997$.

Trois remarques importantes pour résoudre les exercices :

Comme les lois normales sont des lois continues, les $\lt$ peuvent être confondus avec $\leq$ (et les $\gt$ avec les $\geq$). Attention, ce n'est pas le cas avec les lois discrètes comme la loi binomiale par exemple.
On utilise fréquemment les propriétés de symétrie de la loi normale par rapport à la droite verticale d'équation $x=\mu$. Par exemple, si $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu =29$ et $\sigma=3$ alors $P(X\gt 31)=P(X \lt 27)$.
On utilise aussi fréquemment des calculs de complémentaires. Ainsi, $P(X\gt 31)=1-P(X\leq 31)=1-P(X\lt 31)$.

Un exemple en vidéo

D'autres exemples pour s'entraîner

Niveau facile
La taille d'une pièce métallique produite dans un atelier de fabrication peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ mm et d'écart-type $\sigma=3$ mm.
Calculer, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée au millième de chacune des probabilités suivantes :
$P(X\lt 86)$
$P(X\geq 92)$
$P(85\leq X\lt 91)$
$P(X \in ]80 ;91])$

Voir la solution

A l'aide de la calculatrice,
$P(X\lt 86)\approx 0,091$
$P(X\geq 92)\approx 0,252$
$P(85\leq X\lt 91)\approx 0,583$
$P(X \in ]80 ;91])\approx 0,630$

Niveau moyen
La durée de vie d'un appareil électrique peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu=2000$ jours et d'écart-type $\sigma=70$ jours.
Calculer, à l'aide des valeurs de référence et en illustrant les calculs par des graphiques, une valeur approchée au millième de chacune des probabilités suivantes :
$P(X\lt 2000)$
$P(1790\leq X\lt 2210)$
$P(2000\lt X\lt 2140)$
$P(X\gt 1930)$

Voir la solution

– L'axe de symétrie de la courbe a pour équation $x=2000$.
La probabilité recherchée vaut donc exactement la moitié de l'aire sous la courbe. Comme l'aire située entre la courbe et l'axe des abscisses vaut 1, alors la probabilité recherchée est $P(X\lt 2000)=0,5$.

– D'après le cours, $P(\mu - 3\sigma \lt X \lt \mu + 3\sigma)\approx 0,997$. Ici, $\mu - 3\sigma=2000-3\times 70=1790$ et $\mu + 3\sigma=2000+3\times 70=2210$.
Par conséquent, $P(1790\leq X\lt 2210)\approx 0,997$.

– D'après le cours, $P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$. Ici, $\mu - 2\sigma=2000-140=1860$ et $\mu + 2\sigma=2000+140=2140$.
Par conséquent, $P(1860\lt X\lt 2140)\approx 0,954$.

Par symétrie par rapport à l'axe d'équation $x=2000$, on en déduit que $P(2000\lt X\lt 2140)\approx \frac{0,954}{2}\approx 0,477$.

– D'après le cours, $P(\mu - \sigma \lt X \lt \mu + \sigma)\approx 0,683$. Ici, $\mu - \sigma=2000-70=1930$ et $\mu + \sigma=2000+70=2070$.
Par conséquent, $P(1930\lt X\lt 2070)\approx 0,683$.

Par symétrie par rapport à l'axe d'équation $x=2000$, on en déduit que $P(1930\lt X\lt 2000)\approx \frac{0,683}{2}\approx 0,342$.

Enfin, comme $P(X \gt 2000)=0,5$, il suffit d'ajouter $0,5$ au résultat précédent. En effet, l'évènement $X \gt 1930$ est la réunion des évènements $1930\lt X\lt 2000$ et $X \geq 2000$.
Donc $P(X\gt 1930)\approx 0,342+0,5\approx 0,842$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

les questions B.1.a et B.1.b de Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
les questions C.1 et C.2 de Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3.
les questions C.1 et C.2 de Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2.
les questions B.1 et B.2 de Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2.
les questions B.1 et B.2 de Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2.
la question 3 de Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1.