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Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1

Neige — 2018-07-23T17:43:26Z

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 1
4 points - 36 minutes
Thèmes abordés : dérivée d'une fonction, taux d'évolution moyen, loi normale, loi uniforme.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.

1. Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x)=e^{-3x}+e^2$.
A. $f'(x)=-e^{-3x}+2e$
B. $f'(x)=-e^{-3x}+e^2$
C. $f'(x)=-3e^{-3x}$
D. $f'(x)=e^{-3x}$

Relire les méthodes : Dériver une somme, un produit par un réel et Dériver l'exponentielle d'une fonction.

Voir la solution

On remarque que $f=e^u+v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions puis la formule de dérivation de l'exponentielle d'une fonction.
Or la fonction $v$ est une fonction constante : $v(x)=e^2$. Sa dérivée est donc nulle.
Par ailleurs, $u(x)=-3x$ et $u'(x)=-3$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f'(x) & = u'(x)\times e^{u(x)}+0 \\ & = -3\times e^{-3x} +0 \\ & = -3e^{-3x} \\ \end{align}$
La bonne réponse est la réponse C.

2. D'après une étude, le nombre d'objets connectés à Internet à travers le monde est passé de 4 milliards en 2010 à 15 milliards en 2017. L'arrondi au dixième du taux d'évolution annuel moyen est de :
A. 10,5 %
B. 68,8 %
C. 39,3 %
D. 20,8 %

Relire la méthode : Calculer un taux d'évolution moyen.

Voir la solution

1ère méthode :
La valeur de départ est $V_D= 4$.
La valeur d'arrivée est $V_A= 15$.
Le nombre de périodes est $n=2017-2010=7$.
Par conséquent, le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'objets connectés à internet entre 2010 et 2017 est :
$\begin{align} x & =\left(\frac{15}{4}\right)^{\frac{1}{7}}-1 \\ & \approx 0,208 \\ & \approx 20,8 \% \end{align}$
La bonne réponse est la réponse D.

2ème méthode :
On teste chacune des réponses proposées en utilisant la méthode Appliquer un pourcentage d'évolution :
$4\times \left( 1+\frac{10,5}{100}\right)^7\approx 8$.
$4\times \left( 1+\frac{68,8}{100}\right)^7\approx 156$.
$4\times \left( 1+\frac{39,3}{100}\right)^7\approx 41$.
$4\times \left( 1+\frac{20,8}{100}\right)^7\approx 15$.
La bonne réponse est la réponse D.

3. Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu=13$ et d'écart-type $\sigma=2,4$.
L'arrondi au centième de $P(X\geq 12,5)$ est :
A. 0,58
B. 0,42
C. 0,54
D. 0,63

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

A l'aide de la calculatrice, $P(X\geq 12,5)\approx 0,58$.
La bonne réponse est la réponse A.

4. Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[14 ;16]$. $P(Y\leq 15,5)$ est égal à :
A. 0,97
B. 0,75
C. 0,5
D. $\frac{1}{4}$

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi uniforme.

Voir la solution

La loi uniforme sur l'intervalle $[14 ;16]$ a pour densité la fonction constante $f$ définie par $f(t)=\frac{1}{16-14}=\frac{1}{2}$.
La probabilité recherchée est $P(Y\leq 15,5)=P(14\leq Y \leq 15,5)$. Elle correspond à l'aire du rectangle rouge dessiné ci-dessous :

Par conséquent,
$\begin{align} P(Y\leq 15,5) & =(15,5-14)\times \frac{1}{2} \\ & = \frac{1,5}{2} \\ & = 0,75 \end{align}$
La bonne réponse est la réponse B.

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3

Neige — 2018-06-17T10:12:30Z

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, espérance, loi binomiale, intervalle de confiance.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40 % des guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.
Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en intérieur qu'en extérieur.

1. On choisit au hasard une guirlande dans le stock.
• On note $A$ l'évènement « la guirlande provient du fournisseur A » et $B$ l'évènement « la guirlande provient du fournisseur B ».
• On note $I$ l'évènement « la guirlande peut être utilisée uniquement en intérieur ».
a. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P(A)=40\%=0,4$. De plus, $P_A(I)=\frac{1}{4}$ et $P_B(I)=\frac{1}{3}$.
D'où l'arbre suivant :

b. Montrer que la probabilité $P(I)$ de l'évènement $I$ est 0,3.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D'après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(I) & = P(A \cap{I})+P(B \cap{I}) \\ & = P(A)\times P_A(I)+P(B)\times P_{B}(I) \\ & = 0,4\times \frac{1}{4}+0,6\times \frac{1}{3} \\ & = 0,1+0,2 \\ & = 0,3 \end{align}$

c. On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
Le responsable a-t-il raison ? Justifier.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

Nous allons calculer $P_\bar{I}(A)$ et $P_\bar{I}(B)$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P_\bar{I}(A) & =\frac{P(\bar{I}\cap A)}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{P(A)\times P_A(\bar{I})}{P(\bar{I})} \\ & = \frac{0,4\times \frac{3}{4}}{1-0,3} \\ & = \frac{0,3}{0,7} \\ & = \frac{3}{7} \end{align}$
Par conséquent,
$\begin{align} P_\bar{I}(B) & =1-P_\bar{I}(A) \\ & = 1-\frac{3}{7} \\ & = \frac{4}{7} \end{align}$
Par conséquent, le responsable a tort : il y a plus de chance que la guirlande provienne du fournisseur B.

2. Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est vendue 5 € et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est vendue 3 €.
Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.

Relire les méthodes : Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire et Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.

Voir la solution

On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le prix d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock. Les valeurs prises par $X$ sont 3 € et 5 €.
D'après les questions précédentes, on peut établir la loi de probabilité de $X$ :

$x_i$	3 €	5 €
$P(X=x_i)$	$P(I)=0,3$	$P(\bar{I})=0,7$

Calculons l'espérance de cette loi :
$E(X)=0,3\times 3+0,7\times 5=4,4$.
Le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock est en moyenne (sur un grand nombre de prélèvements) de 4,40 €.

3. Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard 50 guirlandes dans le stock. Le stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.
On admet que la proportion de guirlandes défectueuses est égale à 0,02.
Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le résultat à $10^{-3}$.

Relire la méthode : Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale.

Voir la solution

On considère la variable aléatoire $Y$, qui compte le nombre de guirlandes défectueuses parmi les 50 guirlandes prélevées. Comme les tirages sont considérés identiques et indépendants, $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=50$ et $p=0,6$.
Il s'agit de déterminer $P(Y\geq 1)$.
On utilise l'évènement contraire :
$\begin{align} P(Y \geq 1) & =1-P(Y=0) \\ & = 1-\binom{50}{0}\times 0,02^0\times (1-0,02)^{50} \\ & = 1-0,98^{50} \\ & \approx 0,636 \end{align}$
La probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse est d'environ 0,636.

4. L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de confiance de 95 % à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou égale à 8 %.
Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?

Relire la méthode : Etablir un intervalle de confiance.

Voir la solution

D'après le cours, un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de clients satisfaits est :
$\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$
Son amplitude est donc : $\frac{2}{\sqrt{n}}$.
Il s'agit alors de résoudre l'inéquation $\frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08$.
$\begin{align} \frac{2}{\sqrt{n}} \leq 0,08 & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}}{2} \geq \frac{1}{0,08} \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \geq 25 \\ & \Leftrightarrow \geq 625 \\ \end{align}$
L'entreprise doit interroger au minimum 625 personnes.

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2

Neige — 2018-06-17T07:37:16Z

Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 2
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Des algues prolifèrent dans un étang.
Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe un système de filtration.
En journée, la masse d'algues augmente de 2 %, puis à la nuit tombée, le propriétaire actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 100 kg d'algues. On admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.
Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation du système de filtration est de 2 000 kg.
On modélise par $a_n$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0=2000$. On admet que cette modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

1. Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d'algues après deux jours de fonctionnement du système de filtration est de 1 878,8 kg.

Relire les méthodes : Calculer les premiers termes d'une suite et Appliquer un pourcentage d'évolution.

Voir la solution

On sait que $a_0=2000$.
Après la première journée, la masse d'algues a augmenté de 2 %, ce qui signifie que cette masse a été multipliée par $1+\frac{2}{100}=1,02$.
$2000\times 1,02=2040$.
Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg.
$2040-100=1940$.
Après la deuxième journée, la masse d'algues a augmenté de 2 %.
$1940\times 1,02=1978,8$.
Pendant la nuit, cette masse chute de 100 kg.
$1978,8-100=1878,8$.
Par conséquent, $a_2$ est bien égal à 1 878,8 kg.

2. On affirme que pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=1,02\times a_n-100$.

a. Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

On peut illustre la situation par le schéma ci-dessous :

On rappelle, par ailleurs, qu'une augmentation de 2 % revient à multiplier par 1,02.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}=1,02\times a_n-100$.

b. On considère la suite $(b_n)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par : $b_n=a_n-5000$.
Démontrer que la suite $(b_n)$ est géométrique. Préciser son premier terme $b_0$ et sa raison.

Relire la méthode : Montrer qu'une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$b_{n+1}=a_{n+1}-5000$ d'après l'énoncé
$\qquad=(1,02\times a_n-100)-5000$ en remplaçant $a_{n+1}$ par son expression
$\qquad=1,02\times a_n-5100$
$\qquad =1,02\times (a_n-5000)$ en factorisant par 1,02
$\qquad =1,02\times b_n$
Par ailleurs, $b_0=a_0-5000=2000-5000=-3000$ donc $(b_n)$ est la suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.

c. En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de $n$, puis montrer que $a_n=5000-3000\times 1,02^n$.

Relire la méthode : Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique .

Voir la solution

D'après la question précédente, $(b_n)$ est une suite géométrique de raison 1,02 et de premier terme -3000.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $b_n=-3000\times 1,02^n$.
Comme, d'après l'énoncé, $b_n=a_n-5000$ alors $a_n=5000+b_n=5000-3000\times 1,02^n$.

d. En déterminant la limite de la suite $(a_n)$, justifier que les algues finissent par disparaître.

Relire la méthode : Calculer la limite d'une suite géométrique.

Voir la solution

Calculons la limite de la suite $(a_n)$.
$1,02>1$ alors $\lim 1,02^n=+\infty$.
Par produit par $-3000$, $\lim -3000\times 1,02^n=-\infty$.
Par somme avec $5000$, $\lim 5000-3000\times 1,02^n=-\infty$.
Cela implique qu'après un certain nombre de jours, la masse d'algue va nécessairement être nulle (une masse négative signifie qu'il n'y a plus d'algues).

Remarque
On arrive à une limite de $-\infty$ car le modèle ne prévoit pas que lorsqu'il reste moins de 100 kg d'algues, on ne peut pas en enlever 100 kg pendant la nuit !

3. a. Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre de jours nécessaire à la disparition des algues.

N ← 0
A ← 2000
Tant que ... A ← ... N ← N + 1
Fin Tant que
Afficher ...

Relire la méthode : Ecrire un algorithme de seuil.

Voir la solution

L'algorithme calcule les termes successifs de $(a_n)$ et doit continuer tant que la condition $a_n \gt 0$ est vraie. Il s'arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c'est à dire lorsque $a_n \leq 0$, c'est à dire lorsqu'il n'y aura plus d'algues.
On peut donc compléter le compléter ainsi :

N ← 0
A ← 2000
Tant que A > 0 A ← 1,02×A - 100 N ← N + 1
Fin Tant que
Afficher N

b. Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

Comme l'exécution pas à pas est longue, on se contente d'indiquer une exécution partielle (et on utilise la calculatrice).

$N=0 \\ A=2000$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A=1,02\times 2000-100=1940 \\ N=1$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A=1,02\times 1940-100=1878,8 \\ N=2$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A=1,02\times 1878,8-100=1816,376 \\ N=3$
....(nombreuses étapes)....
....(A est toujours positif)....
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A\approx 78,18 \\ N=25$
La condition $A\gt 0$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$A\approx 1,02\times 78,18-100\approx -20,25 \\ N=26$
La condition $A\gt 0$ est fausse, on sort du "Tant que" et l'algorithme s'arrête.
La valeur de $N$ lorsque l'algorithme est arrêté est 26.

C'est donc au bout de 26 jours que les algues auront disparu.

4. a. Résoudre par le calcul l'inéquation $5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$.

Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

$\begin{align} 5000-3000 \times 1,02^n \leq 0 & \Leftrightarrow -3000 \times 1,02^n \leq -5000 \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{-5000}{-3000} \\ & \Leftrightarrow 1,02^n \geq \frac{5}{3} \\ & \Leftrightarrow \ln(1,02^n) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(1,02) \geq \ln\left(\frac{5}{3}\right) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)} \end{align}$
Or $\frac{\ln\left(\frac{5}{3}\right)}{\ln(1,02)}\approx 25,8$. Par conséquent, le plus petit entier naturel $n$ tel que $5000-3000 \times 1,02^n \leq 0$ est $n=26$.

b. Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?

Voir la solution

On retrouve le résultat obtenu par exécution de l'algorithme (ce qui est rassurant).
C'est au bout de 26 jours que les algues auront disparu.

Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 3

Neige — 2018-05-11T17:10:28Z

Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 3
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : suites (géométriques), algorithmes.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=65$ et pour tout entier naturel $n$ :
$u_{n+1}=0,8u_n+18$

1. Calculer $u_1$ et $u_2$.

Relire la méthode : Calculer les premiers termes d'une suite.

Voir la solution

On utilise la relation $u_{n+1}=0,8u_n+18$ pour $n=0$. On obtient alors :
$\begin{align} u_{0+1} & =0,8u_0+18 \\ u_{1} & =0,8u_0+18 \\ & =0,8\times 65+18 \\ & =70 \end{align}$

On utilise de nouveau la relation $u_{n+1}=0,8u_n+18$ pour $n=1$ cette fois. On obtient alors :
$\begin{align} u_{1+1} & =0,8u_1+18 \\ u_{2} & =0,8u_1+18 \\ & =0,8\times 70+18 \\ & =74 \end{align}$

2. Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n=u_n-90$.

a. Démontrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison 0,8. On précisera la valeur de $v_0$.

Relire la méthode : Montrer qu'une suite est géométrique.

Voir la solution

Soit $n$ un entier naturel.
$v_{n+1}=u_{n+1}-90$ d'après l'énoncé
$\qquad=(0,8u_n+18)-90$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression
$\qquad=0,8u_n-72$
$\qquad =0,8\times (u_n-90)$ en factorisant par 0,8
$\qquad =0,8\times v_n$
Par ailleurs, $v_0=u_0-90=65-90=-25$ donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.

b. Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ : $u_n=90-25\times 0,8^n$.

Relire la méthode : Donner l'expression du terme général d'une suite géométrique .

Voir la solution

D'après la question précédente, $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme -25.
Par conséquent, pour tout entier naturel $n$, $v_n=-25\times 0,8^n$.
Comme, d'après l'énoncé, $v_n=u_n-90$ alors $u_n=90+v_n=90-25\times 0,8^n$.

3. On considère l'algorithme ci-dessous :

ligne 1 : u ← 65
ligne 2 : n ← 0
ligne 3 : Tant que .........
ligne 4 : n ← n +1
ligne 5 : u ← 0,8×u +18
ligne 6 : Fin Tant que

a. Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\geq 85$.

Relire la méthode : Ecrire un algorithme de seuil.

Voir la solution

L'algorithme calcule les termes successifs de $(u_n)$ et doit continuer tant que la condition $u_n \lt 85$ est vraie. Il s'arrêtera dès que cette condition deviendra fausse, c'est à dire lorsque $u_n \geq 85$.
On peut donc compléter la ligne 3 ainsi :

ligne 3 : Tant que u<0,85

b. Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

Relire la méthode : Faire "tourner" un algorithme.

Voir la solution

Exécutons pas à pas cet algorithme.

$u=65 \\ n=0$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=1 \\ u=0,8\times 65 +18=70$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=2 \\ u=0,8\times 70 +18=74$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=3 \\ u=0,8\times 74 +18=77,2$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=4 \\ u=0,8\times 77,2 +18=79,76$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=5 \\ u=0,8\times 79,76 +18=81,808$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=6 \\ u=0,8\times 81,808 +18\approx 83,45$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=7 \\ u\approx 0,8\times 83,45 +18\approx 84,76$
La condition $u\lt 0,85$ est vraie, on entre dans le "Tant que" :
$n=8 \\ u\approx 0,8\times 84,76 +18\approx 85,81$
La condition $u\lt 0,85$ est fausse, on sort du "Tant que" et l'algorithme s'arrête.
La valeur de $n$ lorsque l'algorithme est arrêté est 8.

c. Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation $u_n\geq 85$.

Relire la méthode : Déterminer un rang sous condition.

Voir la solution

$\begin{align} u_n\geq 85 & \Leftrightarrow 90-25\times 0,8^n \geq 85 \\ & \Leftrightarrow -25\times 0,8^n \geq -5 \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq \frac{-5}{-25} \\ & \Leftrightarrow 0,8^n \leq 0,2 \\ & \Leftrightarrow \ln(0,8^n) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n\times \ln(0,8) \leq \ln(0,2) \\ & \Leftrightarrow n \geq \frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \\ \end{align}$
Or $\frac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)}\approx 7,21$. Par conséquent, le plus petit entier naturel $n$ tel que $u_n\geq 85$ est $n=8$.

4. La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de souscrire un abonnement de 52 € par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier bio.
En juillet 2017, 65 particuliers ont souscrit cet abonnement.
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
• d'un mois à l'autre, environ 20 % des abonnements sont résiliés ;
• chaque mois, 18 particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.

a. Justifier que la suite $(u_n)$ permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.

Relire la méthode : Traduire un énoncé par une relation de récurrence.

Voir la solution

On peut schématiser la situation de la façon suivante où $(w_n)$ est la suite qui correspond à l'énoncé de la question 4 :

Comme réaliser une diminution de 20 % revient à multiplier par 0,8, on peut conclure que $w_{n+1}=0,8w_n+18$ avec, par ailleurs, $w_0=65$.
Cette suite $(w_n)$ est, par conséquent, la suite $(u_n)$. C'est donc bien la suite $(u_n)$ qui permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le nième mois qui suit le mois de juillet 2017.

b. Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser 4 420 € durant l'année 2018 ? Justifier la réponse.

Voir la solution

La recette mensuelle de la société Biocagette est constituée des frais d'abonnement de chaque particulier (52 €). Une recette de 4 420 € correspond donc à $\frac{4420}{52}=85$ abonnés. La question est donc de savoir si durant l'année 2018, l'entreprise va atteindre 85 abonnés. Or, nous avons résolu l'inéquation $u_n\geq 85$ à la question 3c.
$u_n\geq 85$ à partir de $n=8$.
Par conséquent, c'est à partir du mois de "juillet 2017 + 8 mois", c'est à dire mars 2018, que l'entreprise dépassera 85 abonnés.
La recette mensuelle de la société Biocagette va donc dépasser 4 420 € durant l'année 2018 (à partir mars 2018).

c. Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ? Argumenter la réponse.

Relire la méthode : Calculer la limite d'une suite géométrique.

Voir la solution

Calculons la limite de la suite $(u_n)$.
$0<0,8<1$ donc $\lim 0,8^n=0$.
Par produit par $-25$, $\lim -25\times 0,8^n=0$.
Par somme avec $90$, $\lim 90-25\times 0,8^n=90$.
Cela signifie qu'après un grand nombre de mois, le nombre d'abonnés sera proche de 90.
$90\times 52=4680$. On en déduit que la recette mensuelle de la société Biocagette tend vers 4 680 €.

Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2

Neige — 2018-05-09T16:01:53Z

Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, loi normale, intervalle de confiance.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.
Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,01 près.

Partie A

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de la transaction est inférieur ou égal à 30 €) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant de la transaction).
Il remarque que :
• 80 % de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30 €. Parmi eux :
— 40 % paient en espèces ;
— 40 % paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
— les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
• 20 % de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30 €. Parmi eux :
— 70 % paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
— les autres paient en espèces.

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

On considère les évènements suivants :
• $V$ : « pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30 € » ;
• $E$ : « pour son achat, le client a réglé en espèces » ;
• $C$ : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret » ;
• $S$ : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact ».

1.
a. Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant $V$ notée $P_V(S)$.

Relire la méthode : Traduire un texte dans le langage des probabilités.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P(V)=0,8$ et $P_V(S)=0,4$.

b. Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

Relire la méthode : Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P_V(E)=0,4$, $P(\bar{V})=0,2$ et $P_{\bar{V}}(C)=0,7$.
A l'aide de ces informations ainsi que de la question précédente, on peut construire l'arbre suivant :

2.
a. Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P(V\cap S)$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P(V\cap S) & =P(V)\times P_V(S) \\ & =0,8\times 0,4 \\ & = 0,32 \end{align}$
La probabilité que le client ait réglé un montant inférieur ou égal à 30 € et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact est de 0,32.

b. Montrer que la probabilité de l'évènement : « pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes » est égale à 0,62.

Relire la méthode : Calculer la probabilité d'une réunion avec un arbre.

Voir la solution

Il s'agit de calculer la probabilité que les évènements $V\cap S$, $V\cap C$ ou $\bar{V}\cap C$ soient réalisés.
Ces évènements correspondent à des chemins différents de l'arbre précédent.
Par conséquent, la probabilité recherchée est :
$\begin{align} p & =P(V\cap S)+P(V\cap C)+P(\bar{V}\cap C) \\ & =0,32+P(V)\times P_V(C)+P(\bar{V})\times P_{\bar{V}}(C) \\ & =0,32+0,8\times 0,2+0,2\times 0,7 \\ & = 0,32+0,16+0,14 \\ & = 0,62 \end{align}$
La probabilité que le client ait réglé avec sa carte bancaire en utilisant l'un des deux modes est de 0,62.

Partie B

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un achat chez ce commerçant.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 27,5 et d'écart-type 3.
On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

1. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 €.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Il s'agit de calculer $P(X\lt 30)$.
A l'aide de la calculatrice, $P(X\lt 30)\approx 0,80$.
La probabilité que ce client ait dépensé moins de 30 € est d'environ 0,8.

2. Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,50 € et 30,50 €.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

1ère méthode
Il s'agit de calculer $P(24,5 \lt X \lt 30,5)$.
A l'aide de la calculatrice, $P(24,5\lt X\lt 30,5)\approx 0,68$.
La probabilité que ce client ait dépensé entre 24,50 € et 30,50 € est d'environ 0,68.

2ème méthode
Il s'agit de calculer $P(24,5\lt X\lt 30,5)$.
On remarque que $\mu-\sigma=27,5-3=24,5$ et $\mu+\sigma=27,5+3=30,5$.
D'après le cours, $P(\mu-\sigma\lt X\lt \mu+\sigma)\approx 0,683$.
Par conséquent, $P(24,5\lt X\lt 30,5)\approx 0,68$.
La probabilité que ce client ait dépensé entre 24,50 € et 30,50 € est d'environ 0,68.

Partie C

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de 200 clients de cette boutique.
Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.
Déterminer, avec un niveau de confiance de 0,95, l'intervalle de confiance de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.

Relire la méthode : Etablir un intervalle de confiance.

Voir la solution

D'après l'énoncé, la fréquence de personnes satisfaites dans cet échantillon de taille $n=200$ est $f=\frac{175}{200}=0,875$.
Par conséquent,
– $n \geq 30$.
– $nf=175 \geq 5$.
– $n(1-f)=25 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de confiance, au niveau de confiance 0,95, de la proportion $p$ de clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique est $\left[ 0,875- \frac{1}{\sqrt{200}} ; 0,875+ \frac{1}{\sqrt{200}} \right ]\approx [0,80 ;0,95]$.

C'est terminé !

Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2

Neige — 2018-03-24T14:01:43Z

Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2
4 points - 36 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, loi normale, intervalle de fluctuation.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.

En janvier 2015, le directeur d'un musée d'art contemporain commande une enquête concernant les habitudes des visiteurs.

Partie A

Le musée dispose d'un site internet. Pour acheter son billet, une personne intéressée peut se rendre au guichet d'entrée du musée ou commander un billet en ligne.
Trois types de visites sont proposés :
• La visite individuelle sans location d'audioguide.
• La visite individuelle avec location d'audioguide.
• La visite en groupe d'au moins 10 personnes. Dans ce cas, un seul billet est émis pour le groupe.
Le site internet permet uniquement d'acheter les billets individuels avec ou sans audioguide. Pour la visite de groupe, il est nécessaire de se rendre au guichet d'entrée du musée.
Sur l'année 2015 l'enquête a révélé que :
• 55 % des billets d'entrée ont été achetés au guichet du musée ;
• parmi les billets achetés au guichet du musée, 51 % des billets correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide, et 37 % à des visites avec location d'audioguide ;
• 70 % des billets achetés en ligne correspondent à des visites individuelles sans location d'audioguide.
On choisit au hasard un billet d'entrée au musée acheté en 2015.
On considère les évènements suivants :
• $E$ : « le billet a été acheté en ligne » ;
• $A$ : « le billet correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide » ;
• $L$ : « le billet correspond à une visite individuelle sans location d'audioguide » ;
• $G$ : « le billet correspond à une visite de groupe ».
On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, $P(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et $P_F(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ sachant que l'évènement $F$ est réalisé. On note $\bar{E}$ l'évènement contraire de $E$.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant qui représente la situation décrite dans l'énoncé :

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P(\bar{E})=0,55$, $P_{\bar{E}}(L)=0,51$, $P_{\bar{E}}(A)=0,37$ et $P_{E}(L)=0,7$.
D'où l'arbre :

2. Montrer que la probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

Il s'agit de calculer $P(E\cap A)$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P(E\cap A) &=P(E)\times P_E(A) \\ & = 0,45\times 0,3 \\ & = 0,135 \end{align}$
La probabilité que le billet ait été acheté en ligne et corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est égale à 0,135.

3. Montrer que $P(A)=0,3385$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D'après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(A) & =P(E\cap A)+P(\bar{E}\cap A) \\ & =P(E\cap A)+P(\bar{E})\times P_{\bar{E}}(A) \\ & = 0,135+0,55\times 0,37 \\ & = 0,3385 \end{align}$
La probabilité que le billet corresponde à une visite individuelle avec location d'audioguide est de 33,85 %.

4. Le billet choisi correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide. Quelle est la probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée ? On arrondira le résultat au millième.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

Il s'agit de calculer $P_A(\bar{E})$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$\begin{align} P_A(\bar{E}) &=\frac{P(\bar{E}\cap A)}{P(A)} \\ & = \frac{P(\bar{E})\times P_{\bar{E}}(A)}{P(A)} \\ & = \frac{0,55\times 0,37}{0,3385} \\ & \approx 0,601 \end{align}$
La probabilité que ce billet ait été acheté au guichet du musée sachant qu'il correspond à une visite individuelle avec location d'audioguide est d'environ 60,1 %.

Partie B

Pour gérer les flux des visiteurs, une partie de l'enquête a porté sur la durée d'une visite de ce musée. Il a été établi que la durée D d'une visite, en minutes, suit la loi normale de moyenne $\mu=90$ et d'écart-type $\sigma=15$.

1. Déterminer $P(90 \leq D\leq 120)$ puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Première méthode :
A l'aide de la calculatrice, $P(90 \leq D\leq 120)\approx 0,477$.
La probabilité que la visite dure entre 1h30 (90 minutes) et 2h (120 minutes) est de 47,7 %.

Deuxième méthode :
D'après le cours, $P(\mu - 2\sigma \lt D \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$. Ici, $\mu - 2\sigma=90-2\times 15=60$ et $\mu + 2\sigma=90+2\times 15=120$.
Par conséquent, $P(60\lt D\lt 120)\approx 0,954$.

Par symétrie, on en déduit que $P(90 \leq D\leq 120)=\frac{P(60\lt D\lt 120)}{2}\approx 0,477$.

La probabilité que la visite dure entre 1h30 (90 minutes) et 2h (120 minutes) est de 47,7 %.

2. Le directeur précise qu'il augmentera la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée si plus de 2 % des visiteurs restent plus de 2 heures et 30 minutes par visite. Quelle sera alors sa décision ?

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

2 heures et 30 minutes correspondent à 150 minutes.
Or, à l'aide de la calculatrice, $P(D\gt 150)\approx 0,00003$.
La probabilité que la visite dure plus de 2h30 est d'environ 0,003 %, ce qui est nettement inférieur à 2 %. Le directeur n'augmentera pas la capacité d'accueil de l'espace restauration du musée.

Partie C

Sur l'ensemble des musées d'art contemporain, 22 % des visiteurs sont de nationalité étrangère.
Sur un échantillon aléatoire de 2000 visiteurs du musée considéré précédemment, 490 visiteurs sont de nationalité étrangère.
Que peut en conclure le directeur de ce musée ? Argumenter.

Relire les méthodes : Etablir un intervalle de fluctuation et Prendre une décision à l'aide d'un intervalle de fluctuation.

Voir la solution

D'après l'énoncé, la probabilité qu'un visiteur d'un musée d'art contemporain soit de nationalité étrangère est $p=0,22$. De plus, la taille de l'échantillon est $n=2000$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=440 \geq 5$ et $n(1-p)=1560 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence de visiteurs de nationalité étrangère est $I=\left[0,22-1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{2000}} ; 0,22+1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{2000}} \right ]$
$I\approx [0,202 ;0,238]$.
Par ailleurs, la fréquence de visiteurs de nationalité étrangère sur l'échantillon est $f=\frac{490}{2000}=0,245$. Cette fréquence n'appartient pas à $I$. On peut donc conclure que soit la proportion de 22 % n'est pas exacte, soit la fréquence de visiteurs de nationalité étrangère est anormalement élevée.

C'est terminé !

Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2

Neige — 2018-03-23T22:27:47Z

Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, loi binomiale, loi normale.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Cette étude porte sur l'utilisation principale des véhicules du parc automobile français.

Les réponses seront arrondies au dix-millième.

Partie A

Les véhicules de la région parisienne représentent 16 % du parc automobile français en 2015. 22 % des véhicules de la région parisienne sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 34 % pour les loisirs.
En province, 49 % des véhicules sont utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail, 31 % pour les loisirs.
On choisit un véhicule au hasard dans le parc automobile français.
On note :
• $R$ l'évènement : « le véhicule provient de la région parisienne »,
• $\bar{R}$ l'évènement : « le véhicule provient de la province »,
• $T$ l'évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail »,
• $L$ l'évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour les loisirs »,
• $F$ l'évènement : « le véhicule est utilisé principalement pour d'autres fonctions que le travail ou les loisirs ».
On rappelle que, si $A$ et $B$ sont deux évènements, $P(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ et $P_B(A)$ désigne la probabilité de l'évènement $A$ sachant que l'évènement $B$ est réalisé.

1. Représenter la situation par un arbre de probabilité.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P(R)=0,16$, $P_R(T)=0,22$, $P_R(L)=0,34$, $P_{\bar{R}}(T)=0,49$ et $P_{\bar{R}}(L)=0,31$.
D'où l'arbre :

2. Montrer que la probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

Il s'agit de calculer $P(T)$.
D'après la formule des probabilité totales,
$\begin{align} P(T) & =P(R\cap T)+P(\bar{R}\cap T) \\ & =P(R)\times P_R(T)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(T) \\ & = 0,16\times 0,22+0,84\times 0,49 \\ & = 0,4468 \end{align}$
La probabilité qu'un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est égale à 0,4468 (ou 44,68 %).

3. Madame Dupont et Monsieur Durand ont une conversation sur l'utilisation de leur véhicule. Madame Dupont dit utiliser principalement sa voiture pour les loisirs, Monsieur Durand principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.
Qui de Madame Dupont ou de Monsieur Durand a la plus grande probabilité d'habiter la région parisienne ?

Relire les méthodes : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles et Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

Nous allons calculer :
– d'une part, $P_T(R)$, la probabilité que la voiture provienne de la région parisienne sachant qu'elle est principalement utilisée pour le trajet entre le domicile et le travail.
– d'autre part, $P_L(R)$, la probabilité que la voiture provienne de la région parisienne sachant qu'elle est principalement utilisée pour les loisirs.

D'après la formule des probabilité conditionnelles,
$\begin{align} P_T(R) & =\frac{P(R\cap T)}{P(T)} \\ & =\frac{P(R)\times P_R(T)}{P(T)} \\ & = \frac{0,16\times 0,22}{0,4468} \\ & = 0,0788 \end{align}$

De façon analogue,d'après la formule des probabilité conditionnelles,
$\begin{align} P_L(R) & =\frac{P(R\cap L)}{P(L)} \\ & =\frac{P(R)\times P_R(L)}{P(L)} \\ \end{align}$
Nous avons besoin de déterminer la valeur de $P(L)$.
D'après la formule des probabilité totales,
$\begin{align} P(L) & =P(R\cap L)+P(\bar{R}\cap L) \\ & =P(R)\times P_R(L)+P(\bar{R})\times P_{\bar{R}}(L) \\ & = 0,16\times 0,34+0,84\times 0,31 \\ & = 0,3148 \end{align}$
Par conséquent,
$\begin{align} P_L(R) & =\frac{0,16\times 0,34}{0,3148} \\ & \approx 0,1728 \end{align}$

D'après les informations à notre disposition et comme $0,1728\gt 0,0788$, Madame Dupont a plus de chances d'avoir une voiture provenant de la région parisienne que Monsieur Durand.

Partie B

On sélectionne un échantillon aléatoire de 10 véhicules du parc automobile français. On note X la variable aléatoire qui compte, dans cet échantillon, le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

1. Préciser la loi de probabilité de X ainsi que ses paramètres.

Relire la méthode : Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres.

Voir la solution

– L'épreuve consistant à choisir un véhicule comporte 2 issues : "le véhicule est utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail" (Succès) et "le véhicule est n'est pas utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail" (Echec). D'après la question A.2, la probabilité de succès est de 0,4468.
– D'après l'énoncé, on répète cette épreuve à l'identique et de manière indépendante 10 fois (en admettant que les choix de véhicules puissent être assimilés à des tirages avec remise).
– $X$ compte le nombre de succès, c'est à dire le nombre de véhicules utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,4468$ et $n=10$.

2. Déterminer la probabilité qu'exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Voir la solution

Il s'agit de calculer $P(X=2)$.
D'après le cours,
$\begin{align} P(X=2) & =\binom{10}{2}\times 0,4468^2\times 0,5532^{8} \\ & \approx 0,0788 \end{align}$
La probabilité qu'exactement deux véhicules soient utilisés principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est d'environ 7,88 % (ou 0,0788).

3. Déterminer la probabilité qu'au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail.

Relire la méthode : Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale.

Voir la solution

Il s'agit de calcule $P(X \geq 1)$.
On utilise l'évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{0}\times 0,4468^0\times 0,5532^{10} \\ & = 1-0,5532^{10} \\ & \approx 0,9973 \end{align}$
La probabilité qu'au moins un véhicule soit utilisé principalement pour le trajet entre le domicile et le travail est d'environ 99,73 % (ou 0,9973).

Partie C

On s'intéresse à l'évolution du parc automobile de la région parisienne. On considère qu'en 2018 le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne suivra la loi normale de moyenne 50 et d'écart type 4.
On note Y la variable aléatoire donnant le nombre de milliers de véhicules nouvellement enregistrés en 2018 en région parisienne.

1. Quelle est la probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 000 et 58 000 ?

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

On demande de calculer $P(42 \lt Y \lt 58)$ (attention, $Y$ donne le nombre de milliers de véhicules).
A l'aide de la calculatrice, $P(42 \lt Y \lt 58)\approx 0,9545$.
La probabilité que le nombre de véhicules nouvellement enregistrés en région parisienne en 2018 soit compris entre 42 milliers et 58 milliers est d'environ 95,45 % (ou 0,9545).

Remarque : si l'énoncé n'exigeait pas une précision au dix-millième, on aurait pu utiliser la formule suivante :
$P(\mu - 2\sigma \lt X \lt \mu + 2\sigma)\approx 0,954$

2. Pour ne pas avoir de délais d'enregistrement trop longs, le nombre de dossiers doit être inférieur à 55 000. Quelle est la probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 ?

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

On demande de calculer $P(Y \lt 55)$.
A l'aide de la calculatrice, $P(Y \lt 55)\approx 0,8944$.
La probabilité que les délais d'enregistrement ne soient pas trop longs en 2018 est d'environ 89,44 % (ou 0,8944).

C'est terminé !

Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3

Neige — 2018-03-16T20:39:58Z

Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : intervalle de confiance, probabilités conditionnelles, loi normale.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.
Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Partie A

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard 1000 poissons parmi l'ensemble des poissons du bassin.
La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est $f_1=5\%$.
Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau 1000 poissons.
Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est $f_2=10\%$.
La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d'arrêter la vente des poissons de l'entreprise.
On note $p_1$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et $p_2$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

1. Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$.
On arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$.

Relire la méthode : Etablir un intervalle de confiance.

Voir la solution

D'après l'énoncé, la proportion de poissons infectés dans un échantillon de taille $n=1000$ en janvier est $f_1=5\%$.
Par conséquent,
– $n \geq 30$.
– $nf=50 \geq 5$.
– $n(1-f)=950 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de confiance de $p_1$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,05- \frac{1}{\sqrt{1000}} ; 0,05+ \frac{1}{\sqrt{1000}} \right ]\approx [0,018 ;0,082]$.

De façon analogue, en remplaçant $f_1=5\%$ par $f_2=10\%$,
– $n \geq 30$.
– $nf=100 \geq 5$.
– $n(1-f)=900 \geq 5$.
Par conséquent, un intervalle de confiance de $p_2$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,1- \frac{1}{\sqrt{1000}} ; 0,1+ \frac{1}{\sqrt{1000}} \right ]\approx [0,068 ;0,132]$.

2. Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ?

Voir la solution

Comme les intervalles précédents ont une partie en commun : $[0,068 ;0,082]$, il est possible que $p_1$ et $p_2$ prennent une valeur identique appartenant à cette partie commune (il est même possible que $p_2$ soit inférieur à $p_1$). Il n'est donc pas certain que la proportion de poissons infectés ait augmenté. Cet argument permettrait à l'entreprise d'éviter l'arrêt de la vente.

Partie B

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d'un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :
• sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60 % des cas ;
• sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10 % des cas.
Pour un poisson prélevé au hasard, on note :
• B l'évènement : « le poisson est infecté par la bactérie » ;
• T l'évènement : « le test du poisson est positif » ;
• B et T les évènements contraires de B et T .
On note $x$ la probabilité qu'un poisson soit infecté par la bactérie.

1. Recopier et compléter l'arbre pondéré traduisant cette situation.

Relire les méthodes : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P_B(T)=0,6$ et $P_{\bar{B}(T)}=0,1$.
Voici donc l'arbre complété :

2.
a. Démontrer que $P(T)=0,5x+0,1$.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D'après la formule des probabilités totales,
$\begin{align} P(T) & =P(B \cap T)+P(\bar{B} \cap T) \\ & =P(B)\times P_B(T)+P(\bar{B})\times P_{\bar{B}}(T) \\ & =x \times 0,6+(1-x)\times 0,1 \\ & =0,6x+0,1-0,1x \\ & =0,5x+0,1 \\ \end{align}$

b. Le laboratoire a constaté que 12,5 % des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif.
Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer
pour ce prélèvement ?

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P(T)=0,125$.
D'après la question précédente, cela signifie que $0,5x+0,1=0,125$.
Ainsi $0,5x=0,025$ et, finalement, $x=0,05$.
La proportion de poissons infectés va être estimée à 5 % par le laboratoire.

Partie C

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.
Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu=21$ et d'écart-type $\sigma=5$.

Les résultats seront arrondis au millième.

1. Déterminer la probabilité $P(14 \lt X \lt 28)$.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

A l'aide de la calculatrice, $P(14 \lt X \lt 28)\approx 0,838$.

2. Déterminer la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Comme 5 semaines correspondent à 35 jours, il s'agit de calculer $P(X \gt 35)$.
A l'aide de la calculatrice, $P(X \gt 35)\approx 0,003$.
La probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après 5 semaines de traitement antibiotique est d'environ 0,003.

C'est terminé !

Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé)

Neige — 2018-03-10T20:55:08Z

Nouvelle-Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2.
5 points - 45 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, loi binomiale, généralités sur les probabilités.

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième.

Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre l'aller et le retour.
• À l'aller, le bateau est choisi dans 65 % des cas.
• Lorsque le bateau est choisi à l'aller, il l'est également pour le retour 9 fois sur 10.
• Lorsque le train a été choisi à l'aller, le bateau est préféré pour le retour dans 70 % des cas.

On interroge au hasard un client. On considère les évènements suivants :
• A : « le client choisit de faire l'aller en bateau » ;
• R : « le client choisit de faire le retour en bateau ».

On rappelle que si $E$ est un évènement, $P(E)$ désigne la probabilité de l'évènement $E$ et on note $\bar E$ l'évènement contraire de E.

1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.

Relire les méthodes Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

L'énoncé permet d'écrire que $P(A)=0,65$, $P_A(R)=0,9$ et $P_{\bar A}(R)=0,7$.
D'où l'arbre :

2. On choisit au hasard un client de l'agence.

a. Calculer la probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau.

Relire la méthode Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P(A \cap R)$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$P(A \cap R)=P(A)\times P_A(R)$
$\qquad =0,65\times0,9$
$\qquad =0,585$
La probabilité que le client fasse l'aller-retour en bateau est de 0,585.

b. Montrer que la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31.

Relire la méthode Calculer la probabilité d'une réunion avec un arbre.

Voir la solution

Pour utiliser les deux moyens de transport, il y a deux possibilités :
– avion à l'aller et bateau au retour.
– bateau à l'aller et avion au retour.
On demande donc de calculer $P(A \cap \bar R)+P(\bar A \cap R)$.
$\begin{align} & P(A \cap \bar R)+P(\bar A \cap R) \\ = & P(A)\times P_{A}(\bar R)+P(\bar A)\times P_{\bar A}(R) \\ = & 0,65 \times 0,1+0,35\times 0,7 \\ = & 0,31 \\ \end{align}$
La probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est égale à 0,31

3. On choisit au hasard 20 clients de cette agence. On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients qui utilisent les deux moyens de transport. On admet que le nombre de clients est assez grand pour que l'on puisse considérer que $X$ suit une loi binomiale.

a. Préciser les paramètres de cette loi binomiale.

Relire la méthode Justifier qu'une loi est binomiale et donner ses paramètres.

Voir la solution

On considère l'épreuve consistant à choisir 1 client de l'agence.
– La probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est de 0,31 (d'après la question 2.b).
– On répète cette épreuve 20 fois dans des conditions identiques et indépendantes.
Donc $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,31$ et $n=20$.

b. Déterminer la probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents.

Relire la méthode Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Voir la solution

D'après le cours,
$\begin{align} P(X=12) & =\binom{20}{12}\times 0,31^{12}\times (1-0,31)^{20-12} \\ & \approx 0,005 \end{align}$
La probabilité qu'exactement 12 clients utilisent les deux moyens de transport différents est d'environ 0,5 %.

c. Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents.

Relire la méthode Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale.

Voir la solution

On utilise l'évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 2) & =1-P(X=0)-P(X=1) \\ & = 1-\binom{20}{0}\times 0,31^0\times 0,69^{20}-\binom{20}{1}\times 0,31^1\times 0,69^{19} \\ & \approx 1-0,0006-0,0054 \\ & \approx 0,994 \end{align}$
La probabilité qu'il y ait au moins 2 clients qui utilisent les deux moyens de transport différents est d'environ 99,4 %.

4. Le coût d'un trajet aller ou d'un trajet retour est de 1 560 € en bateau ; il est de 1 200 € en train.
On note Y la variable aléatoire qui associe, à un client pris au hasard, le coût en euro de son trajet aller-retour.

a. Déterminer la loi de probabilité de Y .

Relire la méthode Déterminer la loi de probabilité d'une variable aléatoire.

Voir la solution

On complète l'arbre avec les coûts des voyages :

Par conséquent,
$\begin{align} P(X=2400) & = P(\bar{A} \cap \bar{R}) \\ & = P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(\bar{R}) \\ & = 0,35 \times 0,3 \\ & = 0,105 \end{align}$

D'après la question 2.b,
$\begin{align} P(X=2760) & = P(A \cap \bar{R})+P(\bar{A} \cap R) \\ & = 0,31 \end{align}$

D'après la question 2.a,
$\begin{align} P(X=3120) & = P(A \cap R) \\ & = 0,585 \end{align}$
D'où la loi de probabilité de $Y$ :

b. Calculer l'espérance mathématique de Y . Interpréter le résultat.

Relire la méthode Calculer l'espérance d'une variable aléatoire.

Voir la solution

$\begin{align} E(Y) & =0,105\times 2400+0,31\times 2760+0,585\times 3120 \\ & = 2932,80 € \end{align}$
En moyenne, sur un grand nombre de clients, le coût du trajet aller-retour est de 2932,80 €.

C'est terminé !

Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1

Neige — 2018-01-25T13:21:35Z

Nouvelle-Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1.
6 points - 55 minutes
Thèmes abordés : probabilités conditionnelles, probabilités continues (loi normale), échantillonnage (intervalle de fluctuation).

Pour faire cet exercice dans de bonnes conditions, il est recommandé de connaître les méthodes suivantes :

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
Dans tout l'exercice, si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième.

A l'occasion de la fête des Mères, un fleuriste décide de proposer à ses clients plusieurs types de bouquets spéciaux.

Partie A

Chaque bouquet spécial fête des Mères est composé uniquement d'oeillets, uniquement de tulipes ou uniquement de marguerites. Chaque bouquet est composé de fleurs d'une même couleur, soit blanches, soit jaunes.
Ce fleuriste a choisi de préparer 60 % de ces bouquets spéciaux avec uniquement des tulipes, 28 % avec uniquement des oeillets, les autres bouquets ne comportant que des marguerites.

On sait d'autre part que :
— la moitié des bouquets confectionnés avec des tulipes sont de couleur jaune ;
— la proportion de bouquets de coloris jaune parmi les bouquets d'oeillets est de un cinquième ;
— parmi les bouquets de marguerites, on compte un quart de jaunes.

Un client entre dans le magasin. et achète au hasard un bouquet parmi les bouquets spéciaux « Fête des Mères ».

On note :
• T l'évènement : « le bouquet acheté est un bouquet de tulipes » ;
• O l'évènement : « le bouquet acheté est un bouquet d'oeillets » ;
• M l'évènement : « le bouquet acheté est un bouquet de marguerites » ;
• J l'évènement : « les fleurs du bouquet acheté sont jaunes » ;
• B l'évènement : « les fleurs du bouquet acheté sont blanches ».

1. Construire un arbre pondéré représentant la situation.

Relire la méthode : Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.

Voir la solution

D'après l'énoncé, $P(T)=0,6$, $P(O)=0,28$, $P_T(J)=0,5$, $P_O(J)=\frac{1}{5}=0,2$ et $P_M(J)=\frac{1}{4}=0,25$.
Ces informations permettent de construire l'arbre suivant :

2. Calculer la probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P(T\cap B)$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$P(T\cap B)=P(T)\times P_T(B)=0,6\times 0,5=0,3$.
On rappelle que pour retrouver cette formule, il suffit de multiplier les probabilités rencontrées sur le chemin représentant $T\cap B$.
La probabilité que le client ait acheté un bouquet de tulipes blanches est de 0,3.

3. Montrer que la probabilité de l'évènement B notée $P(B)$ est égale à 0,614.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités totales.

Voir la solution

D'après la formule des probabilités totales,
$P(B)=P(T\cap B)+P(O\cap B)+P(M\cap B)$
$\qquad =P(T)\times P_T(B)+P(O)\times P_O(B)+P(M)\times P_M(B)$
$\qquad =0,3+0,28\times 0,8+0,12\times 0,75$
$\qquad =0,614$.

4. Sachant que les fleurs du bouquet acheté par ce client sont blanches, déterminer la probabilité que ce soit un bouquet d'oeillets.

Relire la méthode : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Voir la solution

On demande de calculer $P_B(O)$.
D'après la formule des probabilités conditionnelles,
$P_B(O)=\frac{P(O\cap B)}{P(O)}=\frac{0,28\times 0,8}{0,614}\approx 0,365$.

Partie B

L'un des fournisseurs du fleuriste est un jardinier spécialisé dans la production d'une espèce de rosiers nommée « Arlequin ».
On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque rosier de cette espèce pris au hasard, cultivé chez ce jardinier, associe sa hauteur exprimée en centimètres. On admet, d'après les observations et mesures réalisées, que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu=50$ et d'écart-type $\sigma=3$.

1. On choisit au hasard un rosier « Arlequin » chez ce fournisseur.
a. Déterminer la probabilité que ce rosier mesure entre 47 et 53 centimètres.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir les solutions

Première méthode : à la calculatrice.
A l'aide de la calculatrice, $P(47 \lt X \lt 53)\approx 0,683$.

Deuxième méthode : à l'aide d'un raisonnement.
On constate que $\mu-\sigma=47$ et $\mu+\sigma=53$.
D'après le cours, $P(\mu-\sigma \lt X \lt \mu+\sigma)\approx 0,683$.
Par conséquent, $P(47 \lt X \lt 53)\approx 0,683$.
La probabilité que ce rosier mesure entre 47 et 53 centimètres est d'environ 0,683.

b. Déterminer la probabilité que ce rosier mesure plus de 56 centimètres.

Relire la méthode : Calculer des probabilités avec une loi normale.

Voir la solution

Première méthode : à la calculatrice.
A l'aide de la calculatrice, $P(X \gt 56)\approx 0,023$.

Deuxième méthode : à l'aide d'un raisonnement.
On remarque que $\mu-2\sigma=44$ et $\mu+2\sigma=56$.
D'après le cours, $P(\mu-2\sigma \lt X \lt \mu+2\sigma)\approx 0,954$.
Par conséquent, $P(44 \lt X \lt 56)\approx 0,954$.

On en déduit que $P(X\notin ]44 ;56[)\approx 1-0,954\approx 0,046$.

Par symétrie par rapport à l'axe d'équation $x=50$, on peut conclure que $P(X \gt 56)\approx \frac{0,046}{2}\approx 0,023$.

La probabilité que ce rosier mesure plus de 56 centimètres est d'environ 0,023.

2. Le fournisseur veut prévoir quelle sera la hauteur atteinte ou dépassée par 80 % de ses rosiers « Arlequin ».
Déterminer la hauteur cherchée (on l'arrondira au mm).

Relire la méthode : Déterminer un seuil sous condition avec une loi normale.

Voir la solution

On appelle $a$ la valeur recherchée.
Voici une illustration du problème :

On cherche donc la valeur $a$ telle que $P(X\gt a)=0,8$.
D'après la calculatrice (les utilisateurs d'une calculatrice casio doivent indiquer Right), $a\approx 47,5$.
80 % des rosiers « Arlequin » dépasseront 47,5 cm.

Partie C

En se basant sur les ventes réalisées l'année précédente, ce fleuriste suppose que 85 % de ses clients viendront ce jour-là acheter un des bouquets pour la fête des Mères.
Quelques semaines avant de préparer ses commandes, il décide de vérifier son hypothèse en envoyant un questionnaire à 75 de ses clients, ces derniers étant supposés représentatifs de l'ensemble de sa clientèle.
Les réponses reçues montrent que, parmi les 75 clients interrogés, 16 déclarent qu'ils ne lui achèteront pas de bouquet pour la fête des Mères.
Le fleuriste doit-il rejeter son hypothèse ?

Relire les méthodes : Etablir un intervalle de fluctuation et Prendre une décision à l'aide d'un intervalle de fluctuation.

Voir la solution

On commence par déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la fréquence de clients achetant un bouquet pour la fête des Mères.
D'après l'énoncé, la probabilité supposée de clients sensés acheter un bouquet pour la fête des Mères est $p=0,85$. L'échantillon est de taille $n=75$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=63,75 \geq 5$ et $n(1-p)=11,25 \geq 5$.
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique de $F$ au seuil 95 % est $I=\left[ 0,85-1,96 \frac{\sqrt{0,85(1-0,85)}}{\sqrt{75}} ; 0,85+1,96 \frac{\sqrt{0,85(1-0,85)}}{\sqrt{75}} \right ]$
$I\approx [0,769 ;0,931]$.
Par ailleurs, la fréquence de clients ayant l'intention d'acheter un bouquet pour la fête des Mères est $f=\frac{75-16}{75}=\frac{59}{75}\approx 0,787$.
On constate que $f\in I$. Par conséquent, le fleuriste ne doit pas rejeter son hypothèse selon laquelle 85 % de ses clients viendront acheter un des bouquets pour la fête des Mères.

C'est terminé !