https://www.mathematiques.club/ Un site pour aider les élèves à préparer leur Bac. fr SPIP - www.spip.net https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L128xH128/siteon0-b9b71.png?1766851971 https://www.mathematiques.club/ 128 128 https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/calculer-la-probabilite-d-une-reunion-avec-un-arbre https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/calculer-la-probabilite-d-une-reunion-avec-un-arbre 2018-02-09T10:23:54Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Avant de lire cette méthode, il est important d'avoir compris celles-ci : Construire un arbre pondéré et Utiliser la formule des probabilités conditionnelles. <br class='autobr' /> On considère deux évènements $A$ et $B$ faisant partie d'un univers muni d'une loi de probabilité $P$. <br class='autobr' /> $A\cup B$, qui se lit "$A$ union $B$", est la traduction mathématique de "$A$ ou $B$", le "ou" étant inclusif (c'est à dire que si $A$ et $B$ sont tous les deux réalisés alors $A$ ou $B$ l'est aussi). <br class='autobr' /> Lorsque $A$ et (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/" rel="directory">Probabilités conditionnelles</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Avant de lire cette méthode, il est important d'avoir compris celles-ci : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere' class="spip_in">Construire un arbre pondéré</a> et <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités conditionnelles</a>.</p> <p>On considère deux évènements <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> faisant partie d'un univers muni d'une loi de probabilité <span class="spip-math">$P$</span>.</p> <p><span class="spip-math">$A\cup B$</span>, qui se lit "<span class="spip-math">$A$</span> union <span class="spip-math">$B$</span>", est la traduction mathématique de "<span class="spip-math">$A$</span> ou <span class="spip-math">$B$</span>", le "ou" étant inclusif (c'est à dire que si <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> sont tous les deux réalisés alors <span class="spip-math">$A$</span> ou <span class="spip-math">$B$</span> l'est aussi).</p> <p>Lorsque <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> sont disjoints, c'est à dire lorsque ces évènements ne peuvent pas être réalisés en même temps, alors :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$</span>.</p> <p>Dans un arbre de probabilités, tous les chemins partant de la racine et arrivant à une feuille représentent des évènements disjoints :</p> <div class='spip_document_113 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/reunion_disjoints_copiar_.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/reunion_disjoints_copiar_-59d19.jpg?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Par conséquent, en reprenant les notations de l'illustration précédente, si on demande de calculer la probabilité de <span class="spip-math">$C\cap \bar D$</span> ou <span class="spip-math">$\bar C\cap D$</span> (chemins 1 et 3), il suffit d'écrire que cette probabilité vaut : <span class="spip-math">$P(C\cap \bar D)+P(\bar C\cap D)$</span>. On peut poursuivre le calcul avec la formule des probabilités conditionnelles (<a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités conditionnelles</a>).</p> <p><strong>En résumé</strong>,</p> <ul class="spip" role="list"><li> On construit un arbre.</li><li> On repère les chemins correspondants à l'évènement dont on doit calculer la probabilité.</li><li> On ajoute les probabilités des chemins.</li></ul><h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Calculer la probabilité d'une réunion avec un arbre" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/mLZXd8sINHU?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Voici un arbre : <div class='spip_document_114 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/reunion_disjoints_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/reunion_disjoints_copiar_-e2fb8.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Calculer la probabilité de <span class="spip-math">$A\cap B$</span> ou <span class="spip-math">$\bar A \cap \bar B$</span>.</p> </li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>La probabilité recherchée est : <span class="spip-math">$P(A\cap B)+P(\bar A \cap \bar B)$</span>.<br class='autobr' /> D'après la formule des probabilités conditionnelles, on obtient :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$ \begin{align} P(A\cap B)+P(\bar A \cap \bar B) & = P(A)\times P_A(B)+P(\bar A) \times P_{\bar A}(\bar B) \\ & = 0,1\times 0,25+0,9 \times 0,7 \\ & = 0,655 \\ \end{align} $</span></p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Dans un sac contenant 5 jetons indiscernables au toucher, 2 jetons portent le symbole "-" et 3 jetons portent le symbole "+".<br class='autobr' /> On tire au hasard, successivement et sans remise deux jetons en notant les symboles obtenus.<br class='autobr' /> <i>Remarques : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> "successivement" signifie "un jeton après l'autre". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> "sans remise" signifie "on ne remet pas le jeton tiré dans le sac avant de tirer le suivant".</i><br class='autobr' /> On note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$S_1$</span> l'évènement : un jeton portant le symbole "-" a été obtenu lors du 1er tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$A_1$</span> l'évènement : un jeton portant le symbole "+" a été obtenu lors du 1er tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$S_2$</span> l'évènement : un jeton portant le symbole "-" a été obtenu lors du 2ème tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$A_2$</span> l'évènement : un jeton portant le symbole "+" a été obtenu lors du 2ème tirage.</li></ul><ol class="spip" role="list"><li> Construire un arbre représentant la situation.</li><li> On appelle <span class="spip-math">$E$</span> l'évènement : "les deux jetons tirés portent un symbole différent". Calculer <span class="spip-math">$P(E)$</span>.</li></ol><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. D'après l'énoncé, <span class="spip-math">$P(S_1)=\frac{2}{5}$</span> et <span class="spip-math">$P(A_1)=\frac{3}{5}$</span>.<br class='autobr' /> Au 2ème tirage, il y a une boule de moins donc <span class="spip-math">$P_{S_1}(S_2)=\frac{1}{4}$</span>, <span class="spip-math">$P_{S_1}(A_2)=\frac{3}{4}$</span>, <span class="spip-math">$P_{A_1}(S_2)=\frac{2}{4}$</span> et <span class="spip-math">$P_{A_1}(A_2)=\frac{2}{4}$</span>.<br class='autobr' /> Ces informations permettent de construire l'arbre suivant :</p> <div class='spip_document_115 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/reunion_disjoints_2_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/reunion_disjoints_2_copiar_-6549f.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <div style="margin-top:20px;"></div> <p>2. <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} P(E) & =P(S_1\cap A_2)+P(A_1 \cap S_2) \\ & = P(S_1)\times P_{S_1}(A_2)+P(A_1)\times P_{A_1}(S_2) \\ & = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{4} \\ & = \frac{12}{20} \\ & = 0,6 \end{align}$</span><br class='autobr' /> La probabilité d'obtenir deux jetons comportant un symbole différent est de 60 %.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Le responsable d'une compagnie d'assurance de voitures de luxe analyse les résultats de la journée : 6 nouveaux contrats ont été signés ! <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> 3 clients ont choisi la formule "assurance Basique". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> 2 clients ont choisi la formule "assurance Renforcée". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> 1 client a choisi la formule "assurance Etendue".<br class='autobr' /> Le responsable tire, au hasard, successivement et sans remise 2 contrats parmi les 6 précédents.<br class='autobr' /> On note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$B_1$</span> l'évènement : un contrat "assurance Basique" a été obtenu lors du 1er tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$B_2$</span> l'évènement : un contrat "assurance Basique" a été obtenu lors du 2ème tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R_1$</span> l'évènement : un contrat "assurance Renforcée" a été obtenu lors du 1er tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R_2$</span> l'évènement : un contrat "assurance Renforcée" a été obtenu lors du 2ème tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$E_1$</span> l'évènement : un contrat "assurance Etendue" a été obtenu lors du 1er tirage. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$E_2$</span> l'évènement : un contrat "assurance Etendue" a été obtenu lors du 2ème tirage.<br class='autobr' /> 1. Construire un arbre représentant la situation.<br class='autobr' /> 2. Quelle est la probabilité que les 2 contrats choisis correspondent à la même formule d'assurance ?</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. D'après l'énoncé, <span class="spip-math">$P(B_1)=\frac{3}{6}$</span>, <span class="spip-math">$P(R_1)=\frac{2}{6}$</span> et <span class="spip-math">$P(E_1)=\frac{1}{6}$</span>.<br class='autobr' /> Pour le 2ème tirage, il n'y aplus que 5 dossiers donc :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P_{B_1}(B_2)=\frac{2}{5}$</span>, <span class="spip-math">$P_{B_1}(R_2)=\frac{2}{5}$</span> et <span class="spip-math">$P_{B_1}(E_2)=\frac{1}{5}$</span>.<br class='autobr' /> De plus, <span class="spip-math">$P_{R_1}(B_2)=\frac{3}{5}$</span>, <span class="spip-math">$P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{5}$</span> et <span class="spip-math">$P_{R_1}(E_2)=\frac{1}{5}$</span>.<br class='autobr' /> Enfin, <span class="spip-math">$P_{E_1}(B_2)=\frac{3}{5}$</span>, <span class="spip-math">$P_{E_1}(R_2)=\frac{2}{5}$</span> et <span class="spip-math">$P_{E_1}(E_2)=0$</span> (on ne dessine pas la branche).<br class='autobr' /> D'où l'arbre :</p> <div class='spip_document_116 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/reunion_disjoints_3_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/reunion_disjoints_3_copiar_-17f18.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <div style="margin-top:20px;"></div> <p>2. Comme on ne peut pas tirer 2 dossiers correspondant à l'assurance Etendue, la probabilité recherchée est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} & P(B_1\cap B_2)+P(R_1 \cap R_2) \\ = & P(B_1)\times P_{B_1}(B_2)+P(R_1)\times P_{R_1}(R_2) \\ = & \frac{3}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6}\times \frac{1}{5} \\ = & \frac{8}{30} \\ \approx & 0,27 \end{align}$</span><br class='autobr' /> La probabilité d'obtenir deux contrats correspondant à la même formule d'assurance est d'environ 27 %.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau difficile<br class='autobr' /> Dans un sac, il y a 3 petits cartons indiscernables au toucher. Sur 2 d'entre eux, il est écrit "Repiochez !" et sur le 3ème, on peut lire "C'est terminé !".<br class='autobr' /> Un joueur pioche au hasard un carton dans le sac. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> S'il obtient un carton sur lequel il est écrit "Repiochez !", il pose le carton hors du sac et repioche un autre carton. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> S'il obtient le carton "C'est terminé !", le jeu s'arrête.<br class='autobr' /> Quelle est la probabilité que le jeu s'arrête alors qu'il reste encore au moins un carton dans le sac ?</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R_1$</span> l'évènement : un carton "Repiochez !" a été obtenu lors de la 1ère pioche. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R_2$</span> l'évènement : un carton "Repiochez !" a été obtenu lors de la 2ème pioche. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$F_1$</span> l'évènement : un carton "C'est terminé !" a été obtenu lors de la 1ère pioche. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$F_2$</span> l'évènement : un carton "C'est terminé !" a été obtenu lors de la 2ème pioche. <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$F_3$</span> l'évènement : un carton "C'est terminé !" a été obtenu lors de la 3ème pioche.<br class='autobr' /> D'après l'énoncé, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(R_1)=\frac{2}{3}$</span> et <span class="spip-math">$P(F_1)=\frac{1}{3}$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{2}$</span> et <span class="spip-math">$P_{R_1}(F_2)=\frac{1}{2}$</span>.<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P_{R_1\cap R_2}(F_3)=1$</span> (car il ne reste plus qu'un seul carton).<br class='autobr' /> D'où l'arbre :</p> <div class='spip_document_117 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/reunion_disjoints_4_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/reunion_disjoints_4_copiar_-35066.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>La probabilité recherchée est :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\begin{align} & P(F_1)+P(R_1 \cap F_2) \\ = & P(F_1)+P(R_1)\times P_{R_1}(F_2) \\ = & \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{2} \\ = & \frac{2}{3} \end{align}$</span><br class='autobr' /> Il y a 2 chances sur 3 pour que le jeu s'arrête alors qu'il reste encore au moins un carton dans le sac.</p> <div style="margin-top:20px;"></div> <p><i>Remarque : on aurait pu rechercher la probabilité de l'évènement complémentaire de celui recherché, qui est : "les trois cartons ont été piochés". En calculant le complémentaire à 1 de cette probabilité, on aurait obtenu le même résultat.</i></p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> la question 2.b de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-novembre-2017-exercice-2-non-spe#Q2b' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé)</a>.</li><li> la question A.2b de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/pondichery-mai-2018-exercice-2#QA2b' class="spip_in">Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2</a>.</li></ul></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-totales https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-totales 2018-01-05T19:17:56Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Pour bien comprendre la méthode ci-dessous, il est indispensable de prendre préalablement connaissance de celle-ci : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles. <br class='autobr' /> Seules deux formules sont au programme de Tale ES. L'utilisation de l'une d'elles est l'objet de cet article. <br class='autobr' /> Etant donnés deux évènements $A$ et $B$ de probabilités non nulles alors la formule des probabilités totales permet d'affirmer que : $P(B)=P(A\cap B)+P(\barA\cap B)$. Cette formule est très naturelle (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/" rel="directory">Probabilités conditionnelles</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Pour bien comprendre la méthode ci-dessous, il est indispensable de prendre préalablement connaissance de celle-ci : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités conditionnelles</a>.</p> <p>Seules <strong>deux</strong> formules sont au programme de Tale ES. L'utilisation de l'une d'elles est l'objet de cet article.</p> <p>Etant donnés deux évènements <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> de probabilités non nulles alors la formule des probabilités totales permet d'affirmer que : <span class="spip-math">$P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)$</span>. <br class='autobr' /> Cette formule est très naturelle : pour compter le nombre d'enfants aux yeux bleus (<span class="spip-math">$B$</span>) dans une classe, je peux ajouter le nombre de filles aux yeux bleus (<span class="spip-math">$A\cap B$</span>) et le nombre de garçons aux yeux bleus (<span class="spip-math">$\bar{A}\cap B$</span>).</p> <p>En utilisant la formule des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales s'écrit aussi : <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$</span>.</p> <p>Il est <strong>important</strong> de remarquer que la formule des probabilités totales se traduit graphiquement par la somme des probabilités des chemins conduisant à un évènement donné (ci-dessous, l'évènement <span class="spip-math">$B$</span>).</p> <div class='spip_document_61 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/probas_totales_1_copiar_.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH313/probas_totales_1_copiar_-aa586.jpg?1766916647' width='500' height='313' alt='' /></a> </figure> </div> <p>On rappelle qu'un chemin correspond à une intersection d'évènements et que la probabilité d'une intersection peut s'exprimer comme un produit (voir <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles' class="spip_in">Utiliser la formule des probabilités conditionnelles</a>).</p> <div class='spip_document_62 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/probas_totales_2_copiar_.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH339/probas_totales_2_copiar_-833ad.jpg?1766916647' width='500' height='339' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Avant d'écrire la formule, il est fortement recommandé de construire un arbre. Il est ensuite possible de "lire" la formule sur l'arbre (c'est d'ailleurs une excellente méthode pour retrouver la formule au lieu de l'apprendre par coeur).</p> <p>Remarque : on peut étendre cette formule au cas où il y a davantage d'évènements. la règle à retenir est toujours "<i>la probabilité d'un évènement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet évènement</i>".</p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Utiliser la formule des probabilités totales" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/Z1NyxQaygW0?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Soient <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> deux évènements.<br class='autobr' /> On sait que <span class="spip-math">$P(A)=0,4$</span>, <span class="spip-math">$P_A(\bar{B})=0,7$</span> et <span class="spip-math">$P_{\bar{A}}(\bar{B})=0,9$</span>.<br class='autobr' /> Calculer <span class="spip-math">$P(B)$</span>.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Voici un arbre repésentant la situation :</p> <div class='spip_document_65 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/probas_totales_3_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/probas_totales_3_copiar_-71639.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>D'après la formule des probabilités totales, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=0,4\times 0,3+0,6\times 0,1$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=0,18$</span></p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Dans un champ, on trouve seulement trois espèces de plantes que l'on notera A, B et C.<br class='autobr' /> 12% des plantes de l'espèce A, 7% de celles de l'espèce B et 15% de celles de l'espèce C sont résistantes à l'herbicide commun. On sait, de plus, que 30% des plantes du champ sont de l'espèce A et 20% sont de l'espèce B.<br class='autobr' /> On prélève une plante au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit résistante à l'herbicide commun ?</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$A$</span>, l'évènement "la plante prélevée est de l'espèce A". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$B$</span>, l'évènement "la plante prélevée est de l'espèce B". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$C$</span>, l'évènement "la plante prélevée est de l'espèce C". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R$</span>, l'évènement "la plante prélevée est résistante à l'herbicide commun".<br class='autobr' /> Les données de l'énoncé permettent d'écrire que <span class="spip-math">$P(A)=0,3$</span>, <span class="spip-math">$P(B)=0,2$</span>, <span class="spip-math">$P_A(R)=0,12$</span>, <span class="spip-math">$P_B(R)=0,07$</span> et <span class="spip-math">$P_C(R)=0,15$</span>.<br class='autobr' /> D'où l'arbre :</p> <div class='spip_document_64 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/probas_totales_4_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/probas_totales_4_copiar_-0cefd.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>D'après la formule des probabilités totales, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(R)=P(A)\times P_A(R)+P(B)\times P_{B}(R)+P(C)\times P_{C}(R)$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=0,3\times 0,12+0,2\times 0,07+0,5\times 0,15$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad=0,125$</span><br class='autobr' /> La probabilité qu'une plante prélevée au hasard dans ce champ soit résistante à l'herbicide commun est de 12,5%.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Une agence de voyage vient d'ouvrir ses portes et propose, afin de se faire connaître, deux destinations à prix réduit notées G et H. Les voyageurs ont le choix entre deux modes de transport : l'avion ou le train. A l'issue de cette période de promotion, les gérants de l'agence analysent les choix des clients.<br class='autobr' /> 80% ont choisi la destination G (et le reste la destination H). Par ailleurs, 70% des clients ayant choisi la destination H y sont allés en avion. Enfin, 40% des clients ont pris l'avion (et les autres ont pris le train).<br class='autobr' /> On regarde au hasard le dossier d'un client ayant voyagé avec cette agence durant la période de promotion et on note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$G$</span>, l'évènement "le client s'est rendu à la destination G". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$H$</span>, l'évènement "le client s'est rendu à la destination H". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$T$</span>, l'évènement "le client a voyagé en train". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$A$</span>, l'évènement "le client a voyagé en avion".</li></ul><ol class="spip" role="list"><li> Traduire les données chiffrées de l'énoncé dans le langage des probabilités et construire un arbre.</li><li> A l'aide de la formule des probabilités totales, calculer <span class="spip-math">$P(G\cap A)$</span> puis en déduire <span class="spip-math">$P_G(A)$</span>.</li><li> On sait qu'un client ayant voyagé avec cette agence durant la période de promotion a pris le train. Quelle est la probabilité qu'il se soit rendu à la destination H ?</li></ol><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. D'après l'énoncé, <span class="spip-math">$P(G)=0,8$</span>, <span class="spip-math">$P_H(A)=0,7$</span> et <span class="spip-math">$P(A)=0,4$</span>. Ces données permettent de construire l'arbre suivant (en choisissant l'arbre permettant de placer un maximum de données) :</p> <div class='spip_document_66 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/probas_totales_5_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/probas_totales_5_copiar_-0c3b0.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Si vous rencontrez des difficultés pour traduire l'énoncé en probabilités ou bien pour construire l'arbre, vous pouvez consulter <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites' class="spip_in">Traduire un texte dans le langage des probabilités</a> et <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere' class="spip_in">Construire un arbre pondéré</a>.<br class='autobr' /> 2. D'après la formule des probabilités totales, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(A)=P(G\cap A)+P(H\cap A)$</span><br class='autobr' /> Par conséquent, <br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(G\cap A)=P(A)-P(H\cap A)$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =P(A)-P(H)\times P_H(A)$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =0,4-0,2\times 0,7$</span><br class='autobr' /> <span class="spip-math">$\qquad =0,26$</span><br class='autobr' /> Cela permet d'écrire que :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P_G(A)=\frac{P(G\cap A)}{P(G)}=\frac{0,26}{0,8}=0,325$</span>.<br class='autobr' /> 3. Ici, on demande de calculer <span class="spip-math">$P_T(H)$</span>.<br class='autobr' /> D'après la formule des probabilités conditionnelles, <span class="spip-math">$P_T(H)=\frac{P(T\cap H)}{P(T)}$</span>.<br class='autobr' /> Or, <span class="spip-math">$P(T\cap H)=P(H)\times P_H(T)=0,2\times 0,3=0,06$</span>.<br class='autobr' /> De plus, <span class="spip-math">$T$</span> et <span class="spip-math">$A$</span> étant complémentaires, <span class="spip-math">$P(T)=1-P(A)=0,6$</span>.<br class='autobr' /> Par conséquent, <span class="spip-math">$P_T(H)=\frac{0,06}{0,6}=0,1$</span>.<br class='autobr' /> La probabilité que le client se soit rendu à la destination H sachant qu'il a pris le train est de 10%.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau difficile<br class='autobr' /> Lors d'une épidémie saisonnière d'une maladie touchant une certaine proportion <span class="spip-math">$x$</span> d'une petite population, un test de dépistage est mis en place. On suppose que toute la population est soumise au test et on rencontre un individu de cette population au hasard.<br class='autobr' /> On sait que la probabilité que cet individu ait un test positif sachant qu'il est malade est de 95% et la probabilité que cet individu ait un test négatif sachant qu'il est sain est de 85%. De plus, on sait que la probabilité que cet individu ait un test positif est de 31%. <br class='autobr' /> Quelle est la probabilité <span class="spip-math">$x$</span> que l'individu soit malade ?<br class='autobr' /> <i>On pourra commencer par écrire une égalité faisant intervenir</i> <span class="spip-math">$x$</span>.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>On note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$M$</span>, l'évènement "l'individu est malade". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$T$</span>, l'évènement "le test est positif".<br class='autobr' /> L'énoncé permet d'écrire que <span class="spip-math">$P(M)=x$</span>, <span class="spip-math">$P_M(T)=0,95$</span>, <span class="spip-math">$P_{\bar{M}}(\bar{T})=0,85$</span> et <span class="spip-math">$P(T)=0,31$</span>.<br class='autobr' /> D'où l'arbre :</p> <div class='spip_document_67 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/probas_totales_6_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/probas_totales_6_copiar_-35f46.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>D'après la formule des probabilités totales,<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(T)=P(M\cap T)+P(\bar{M}\cap T)$</span><br class='autobr' /> C'est à dire <span class="spip-math">$P(T)=P(M)\times P_M(T)+P(\bar{M})\times P_{\bar{M}}(T)$</span>.<br class='autobr' /> Cette égalité s'écrit :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$0,31=x\times 0,95+(1-x)\times 0,15$</span><br class='autobr' /> En développant, on obtient <span class="spip-math">$0,95x+0,15-0,15x=0,31$</span>, c'est à dire <span class="spip-math">$0,8x=0,16$</span>.<br class='autobr' /> On en déduit que <span class="spip-math">$x=\frac{0,16}{0,8}=0,2$</span>.<br class='autobr' /> La probabilité qu'un individu soit malade est de 20%.</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> Première, spécialité maths <ul class="spip" role="list"><li> la question 3 de <a href='https://www.mathematiques.club/e3c-specialite-maths-premiere/exercices-corriges-du-bac/article/sujet-0-2020-exercice-3#Q3' class="spip_in">Sujet 0, 2020 - Exercice 3</a>.</li></ul></li><li> Terminale ES et L spécialité <ul class="spip" role="list"><li> la question A.3 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-mars-2017-exercice-1#QA3' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1</a>.</li><li> la question B.2.a de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/amerique-du-sud-novembre-2017-exercice-3#QB2a' class="spip_in">Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3</a>.</li><li> les questions A.2 et A.3 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-fevrier-2018-exercice-2#QA2' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> la question A.3 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/metropole-septembre-2017-exercice-2#QA3' class="spip_in">Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2</a>.</li><li> la question 1b de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-3#Q1b' class="spip_in">Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3</a>.</li></ul></li></ul></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/utiliser-la-formule-des-probabilites-conditionnelles 2017-12-28T10:33:48Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Pour bien comprendre la méthode ci-dessous, il est conseillé de prendre préalablement connaissance de celle-ci : Construire un arbre pondéré. <br class='autobr' /> Seules deux formules sont au programme de Tale ES. L'utilisation de l'une d'elles est l'objet de cet article. Elle relie la notion de probabilité conditionnelle à celle de probabilité d'une intersection. On peut également dire que c'est une formule qui donne un sens à la notion de probabilité conditionnelle. <br class='autobr' /> Etant donnés deux évènements (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/" rel="directory">Probabilités conditionnelles</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Pour bien comprendre la méthode ci-dessous, il est conseillé de prendre préalablement connaissance de celle-ci : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere' class="spip_in">Construire un arbre pondéré</a>.</p> <p>Seules <strong>deux</strong> formules sont au programme de Tale ES. L'utilisation de l'une d'elles est l'objet de cet article. Elle relie la notion de probabilité conditionnelle à celle de probabilité d'une intersection. On peut également dire que c'est une formule qui donne un sens à la notion de probabilité conditionnelle.</p> <p>Etant donnés deux évènements <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> de probabilités non nulles alors <span class="spip-math">$P_A(B)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$</span>.<br class='autobr' /> Personnellement, je retiens cette formule en remarquant que les <span class="spip-math">$A$</span> sont "en bas" des deux côtés de l'égalité.</p> <p>Cette formule s'écrit aussi : <span class="spip-math">$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)$</span>.<br class='autobr' /> Cette expression s'obtient à partir de la formule initiale en multipliant chacun des membres par <span class="spip-math">$P(A)$</span>.</p> <p>Il est <strong>important</strong> de remarquer que cette dernière formule se traduit graphiquement par la multiplication des probabilités rencontrées sur un chemin :</p> <div class='spip_document_53 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/calculer_condi_1.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH291/calculer_condi_1-c0030.jpg?1766916647' width='500' height='291' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Dans les exercices, on vous demandera de calculer <span class="spip-math">$P(A\cap B)$</span>, <span class="spip-math">$P(A)$</span> ou <span class="spip-math">$P_A(B)$</span> à partir des deux autres données. <br class='autobr' /> Par ailleurs, il est souvent utile de garder en tête que l'intersection est une opération commutative, c'est à dire que <span class="spip-math">$P(A\cap B)=P(B\cap A)$</span>. On peut ainsi écrire <span class="spip-math">$P(A\cap B)$</span> de deux façons différentes :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B)=P(B)\times P_B(A)$</span></p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Utiliser la formule des probabilités conditionnelles" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/J6Dc-h_QHwc?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Soient <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> deux évènements.<br class='autobr' /> On sait que <span class="spip-math">$P(A\cap B)=0,8$</span> et <span class="spip-math">$P(B)=0,95$</span>.<br class='autobr' /> Déterminer une valeur approchée au millième de <span class="spip-math">$P_B(A)$</span>.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après la formule des probabilités conditionnelles, <span class="spip-math">$P_B(A)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,8}{0,95}\approx 0,842$</span>.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> Soient <span class="spip-math">$C$</span> et <span class="spip-math">$D$</span> deux évènements.<br class='autobr' /> On sait que <span class="spip-math">$P(C)=0,6$</span> et <span class="spip-math">$P_{\bar{C}}(D)=0,72$</span>.<br class='autobr' /> Déterminer la valeur exacte de <span class="spip-math">$P(\bar{C}\cap D)$</span>.</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après la formule des probabilités conditionnelles, <span class="spip-math">$P(\bar{C}\cap D)=P(\bar{C})\times P_{\bar{C}}(D)$</span>.<br class='autobr' /> Or <span class="spip-math">$P(\bar{C})=1-P(C)=1-0,6=0,4$</span>.<br class='autobr' /> Par conséquent, <span class="spip-math">$P(\bar{C}\cap D)=0,4\times 0,72=0,288$</span>.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Dans une urne, on place 10 boules : 6 rouges et 4 bleues.<br class='autobr' /> On tire au hasard, successivement et sans remise, 2 boules de l'urne.<br class='autobr' /> On note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R_1$</span> l'évènement "tirer une boule rouge au 1er tirage". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$B_1$</span> l'évènement "tirer une boule bleue au 1er tirage". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$R_2$</span> l'évènement "tirer une boule rouge au 2ème tirage". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$B_2$</span> l'évènement "tirer une boule bleue au 2ème tirage".<br class='autobr' /> Quelle est la probabilité de tirer 2 boules rouges ? (<i>on pourra construire un arbre</i>)</li></ul><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>Une remarque importante : tirer "sans remise" signifie que les boules tirées ne sont pas remises dans l'urne. Lorsqu'un tirage a été effectué, la proportion de boules rouges ou bleues change et doit donc être recalculée pour le 2nd tirage. <br class='autobr' /> Par exemple, la probabilité de tirer une boule bleue au premier tirage est de <span class="spip-math">$\frac{4}{10}$</span>. Au 2ème tirage, il n'y aura que 6 boules rouges et 3 boules bleues. La probabilité de tirer une autre boule bleue sera, dans ce cas, de <span class="spip-math">$\frac{3}{9}$</span>.<br class='autobr' /> Construisons un arbre (même si ce n'est pas absolument nécesssaire pour résoudre l'exercice) :</p> <div class='spip_document_56 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculer_condi_2_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/calculer_condi_2_copiar_-47b54.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Ainsi, <span class="spip-math">$P(R_1\cap R_2)=P(R_1)\times P_{R_1}(R_2)=\frac{6}{10}\times \frac{5}{9}=\frac{1}{3}$</span> (on multiplie les probabilités rencontrées sur le chemin).<br class='autobr' /> La probabilité de tirer deux boules rouges consécutives est de <span class="spip-math">$\frac{1}{3}$</span>.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen<br class='autobr' /> Dans un lycée, <span class="spip-math">$45,8 \%$</span> des élèves se connectent à internet au moins 6 fois par jour. On sait que <span class="spip-math">$48 \%$</span> des garçons et <span class="spip-math">$44 \%$</span> des filles se connectent à internet au moins 6 fois par jour. Enfin, <span class="spip-math">$21,6 \%$</span> des élèves sont des garçons qui se connectent à internet au moins 6 fois par jour.<br class='autobr' /> On rencontre un élève de ce lycée au hasard et on note : <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$G$</span> l'évènement "l'élève rencontré est un garçon". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$F$</span> l'évènement "l'élève rencontré est une fille". <br /><span class="spip-puce ltr"><b>–</b></span> <span class="spip-math">$I$</span> l'évènement "l'élève rencontré se connecte à internet au moins 6 fois par jour".</li></ul><ol class="spip" role="list"><li> Traduire les données chiffrées de l'énoncé dans le langage des probabilités.</li><li> Calculer <span class="spip-math">$P(G)$</span>, <span class="spip-math">$P(F\cap I)$</span> et une valeur approchée au millième de <span class="spip-math">$P_{\bar{I}}(F)$</span>. On pourra utiliser un arbre.</li></ol><div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. On peut déduire de l'énoncé que : <span class="spip-math">$P(I)=0,458$</span>, <span class="spip-math">$P_G(I)=0,48$</span>, <span class="spip-math">$P_F(I)=0,44$</span> et <span class="spip-math">$P(G\cap I)=0,216$</span>.<br class='autobr' /> En cas de difficulté, vous pouvez relire <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites' class="spip_in">Traduire un texte dans le langage des probabilités</a>.</p> <p>2. A ce stade de l'exercice, on peut construire l'arbre suivant :</p> <div class='spip_document_57 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculer_condi_3_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/calculer_condi_3_copiar_-ffe92.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Pour calculer <span class="spip-math">$P(G)$</span>, on peut se rappeler que "la probabilité d'une intersection est le produit des probabilités rencontrées sur le chemin". <br class='autobr' /> Ainsi, à l'aide de l'arbre, <span class="spip-math">$P(G\cap{I})=P(G)\times P_G(I)$</span>.<br class='autobr' /> On en déduit que <span class="spip-math">$P(G)=\frac{P(G\cap{I})}{P_G(I)}=\frac{0,216}{0,48}=0,45$</span>.<br class='autobr' /> On complète l'arbre :</p> <div class='spip_document_58 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/calculer_condi_4_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/calculer_condi_4_copiar_-2e98a.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>De façon analogue, <span class="spip-math">$P(F\cap{I})=P(F)\times P_F(I)=0,55\times 0,44=0,242$</span>.<br class='autobr' /> Enfin, pour calculer <span class="spip-math">$P_{\bar{I}}(F)$</span> qui n'est pas lisible directement sur cet arbre, on utilise encore la même formule, écrite sous forme d'un quotient cette fois :<br class='autobr' /> <span class="spip-math">$P_{\bar{I}}(F)=\frac{P(\bar{I}\cap{F})}{P(\bar{I})}=\frac{0,55\times 0,56}{1-0,458}\approx 0,568$</span>.</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> Première, spécialité maths <ul class="spip" role="list"><li> la question 2 de <a href='https://www.mathematiques.club/e3c-specialite-maths-premiere/exercices-corriges-du-bac/article/sujet-0-2020-exercice-3#Q2' class="spip_in">Sujet 0, 2020 - Exercice 3</a>.</li></ul></li><li> Terminale ES et L spécialité <ul class="spip" role="list"><li> les questions A.2 et A.4 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-mars-2017-exercice-1#QA2' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1</a>.</li><li> la question 2.a de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-novembre-2017-exercice-2-non-spe#Q2a' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé)</a>.</li><li> la question A.3 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-fevrier-2018-exercice-2#QA3' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> les questions A.2 et A.4 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/metropole-septembre-2017-exercice-2#QA2' class="spip_in">Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2</a>.</li><li> la question A.2a de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/pondichery-mai-2018-exercice-2#QA2a' class="spip_in">Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> la question 1c de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-3#Q1c' class="spip_in">Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3</a>.</li></ul></li></ul></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/construire-un-arbre-pondere 2017-04-26T20:58:10Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Il est très utile de construire un arbre pondéré pour résoudre un problème de probabilités conditionnelles. Cela permet de donner un caractère visuel à des calculs parfois un peu théoriques. Les règles de construction d'un arbre sont assez simples. <br class='autobr' /> Mais tout d'abord, voici un rappel du vocabulaire de base relatif à un arbre (cliquez sur la miniature) : <br class='autobr' /> Dans le cadre des exercices de probabilités conditionnelles, on place des évènements sur les noeuds (donc aussi sur les (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/" rel="directory">Probabilités conditionnelles</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Il est très utile de construire un arbre pondéré pour résoudre un problème de probabilités conditionnelles. Cela permet de donner un caractère visuel à des calculs parfois un peu théoriques. Les règles de construction d'un arbre sont assez simples.</p> <p>Mais tout d'abord, voici un rappel du vocabulaire de base relatif à un arbre (cliquez sur la miniature) :</p> <div class='spip_document_45 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/jpg/construire_arbre_4_copiar_.jpg' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/jpeg"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH358/construire_arbre_4_copiar_-bfea9.jpg?1766916647' width='500' height='358' alt='' /></a> </figure> </div> <p>Dans le cadre des exercices de probabilités conditionnelles, on place des évènements sur les noeuds (donc aussi sur les feuilles) et des probabilités sur les branches.</p> <p>Exemple typique. <br class='autobr' /> On considère deux évènements <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> et on note <span class="spip-math">$\bar{A}$</span> et <span class="spip-math">$\bar{B}$</span> les évènements contraires. Voici les deux arbres que l'on peut construire à partir de ces informations :</p> <div class='spip_document_54 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/construire_arbre_1_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/construire_arbre_1_copiar_-d3ffd.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div><div class='spip_document_55 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/construire_arbre_2_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH319/construire_arbre_2_copiar_-1aa5d.png?1766916647' width='500' height='319' alt='' /></a> </figure> </div> <p>On remarque que sur les branches issues de la racine, on écrit la probabilité de l'évènement sur lequel la branche arrive (en lisant de gauche à droite). <br class='autobr' /> <strong>Attention</strong>, sur les branches issues d'un autre noeud, on écrit la probabilité de l'évènement sur lequel la branche arrive <strong>sachant que</strong> l'évènement depuis lequel la branche commence est réalisé. C'est donc une probabilité conditionnelle.</p> <p>Les deux arbres précédents sont corrects. Toutefois, lorsqu'un énoncé demande de construire un arbre, il faut choisir l'un des deux. Comment faire ? C'est simple : on choisit l'arbre sur lequel on peut placer le plus grand nombre d'informations numériques données dans l'énoncé.<br class='autobr' /> (À ce sujet, il est impératif d'avoir compris la méthode : <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites' class="spip_in">Traduire un texte dans le langage des probabilités</a>).</p> <p>Une propriété <strong>très importante</strong> lorsqu'on construit un arbre : la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud doit valoir 1.</p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Construire un arbre pondéré" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/Oap6kt7NUsA?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau facile<br class='autobr' /> On considère deux évènements <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$B$</span> et on note <span class="spip-math">$\bar{A}$</span> et <span class="spip-math">$\bar{B}$</span> les évènements contraires.</li></ul> <p>1. On donne les informations suivantes : <span class="spip-math">$p(A)=0,8$</span>, <span class="spip-math">$p_A(B)=0,7$</span> et <span class="spip-math">$p_\bar{A}(\bar{B})=0,4$</span>.<br class='autobr' /> Construire un arbre avec un maximum d'informations.</p> <div style="margin-top:20px;"></div> <p>2. On oublie les informations de la question précédente et on en donne de nouvelles : <span class="spip-math">$p_B(A)=0,9$</span>, <span class="spip-math">$p(B)=0,65$</span> et <span class="spip-math">$p_\bar{B}(A)=0,15$</span>.<br class='autobr' /> Construire un arbre avec un maximum d'informations.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. Comme l'énoncé fournit <span class="spip-math">$p(A)=0,8$</span> ainsi que des probabilités « sachant <span class="spip-math">$A$</span> » ou « sachant <span class="spip-math">$\bar{A}$</span> », les premières branches issues de la racine aboutiront aux évènements <span class="spip-math">$A$</span> et <span class="spip-math">$\bar{A}$</span>.<br class='autobr' /> Par la suite, il suffit de renseigner les probabilités données dans l'énoncé puis d'utiliser le fait que la somme des probabilités des branches issues d'un même noeud doit valoir 1. D'où l'arbre :</p> <div class='spip_document_46 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/construire_arbre_5_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH281/construire_arbre_5_copiar_-81091.png?1766916648' width='500' height='281' alt='' /></a> </figure> </div> <div style="margin-top:20px;"></div> <p>2. Cette fois, l'énoncé fournit <span class="spip-math">$p(B)=0,65$</span> ainsi que des probabilités « sachant <span class="spip-math">$B$</span> ou « sachant <span class="spip-math">$\bar{B}$</span> », les premières branches issues de la racine aboutiront aux évènements <span class="spip-math">$B$</span> et <span class="spip-math">$\bar{B}$</span>. D'où l'arbre :</p> <div class='spip_document_48 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/construire_arbre_6_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH281/construire_arbre_6_copiar_-5e1c8.png?1766916648' width='500' height='281' alt='' /></a> </figure> </div></div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen (d'après Bac)<br class='autobr' /> Une boîte de jeu est constituée de questions portant sur les deux thèmes « Cinéma » ou « Musique ».<br class='autobr' /> Cette boîte contient un tiers de questions portant sur le thème « Cinéma », les autres portant sur le thème « Musique ».<br class='autobr' /> Le candidat à ce jeu s'appelle Pierre.<br class='autobr' /> On pose à Pierre une question choisie au hasard dans la boîte et on sait que : <br />— La probabilité que Pierre réponde correctement à une question du thème « Cinéma » est égale à <span class="spip-math">$\frac{1}{2}$</span>. <br />— La probabilité que Pierre réponde correctement une question du thème « Musique » est égale à <span class="spip-math">$\frac{3}{4}$</span>.<br class='autobr' /> On considère les évènements suivants :<br class='autobr' /> C : la question porte sur le thème « Cinéma »,<br class='autobr' /> M : la question porte sur le thème « Musique »,<br class='autobr' /> E : Pierre répond correctement à la question posée.</li></ul> <p>Construire un arbre représentant la situation.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après l'énoncé, <span class="spip-math">$p(C)=\frac{1}{3}$</span>, <span class="spip-math">$p(M)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$</span>, <span class="spip-math">$p_C(E)=\frac{1}{2}$</span> et <span class="spip-math">$p_M(E)=\frac{3}{4}$</span>.<br class='autobr' /> <i>Remarque : ici, <span class="spip-math">$M=\bar{C}$</span></i>.<br class='autobr' /> On peut donc construire l'arbre suivant :</p> <div class='spip_document_49 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/construire_arbre_7_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH280/construire_arbre_7_copiar_-cf544.png?1766916648' width='500' height='280' alt='' /></a> </figure> </div></div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen (d'après Bac)<br class='autobr' /> Une usine d'emballage de pommes est approvisionnée par trois producteurs. Le premier producteur fournit 70% de l'approvisionnement de cette usine, le reste étant également partagé entre le deuxième producteur et le troisième.<br class='autobr' /> Avant d'être emballées, les pommes sont calibrées par une machine pour les trier selon leur diamètre. Les pommes dont le diamètre est conforme aux normes en vigueur sont emballées, les autres, dites « hors calibre », sont rejetées.<br class='autobr' /> Il a été constaté que 20% des pommes fournies par le premier producteur sont hors<br class='autobr' /> calibre, 5% des pommes fournies par le second producteur sont hors calibre et 4% des pommes fournies par le troisième producteur sont hors calibre.<br class='autobr' /> Chaque jour les pommes livrées par les différents producteurs sont entreposées dans le même hangar. Pour l'étude du problème qui suit, on convient qu'elles sont<br class='autobr' /> bien mélangées.<br class='autobr' /> Un contrôle de qualité sur les pommes est effectué de la manière suivante : un contrôleur choisit de manière aléatoire une pomme dans ce hangar, puis mesure son diamètre pour déterminer si elle est de « bon calibre » ou « hors calibre ».<br class='autobr' /> Un mercredi matin, un contrôle de qualité est effectué par le contrôleur de la manière décrite ci-dessus.<br class='autobr' /> On appellera F1 l'évènement : « la pomme prélevée provient du premier producteur<br class='autobr' /> » <br class='autobr' /> F2 l'évènement : « la pomme prélevée provient du deuxième producteur »<br class='autobr' /> F3 l'évènement : « la pomme prélevée provient du troisième producteur »<br class='autobr' /> C l'évènement : « la pomme prélevée a un bon calibre ».</li></ul> <p>Construire un arbre représentant la situation.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>D'après l'énoncé, <span class="spip-math">$p(F1)=0,7$</span>. Il reste 30% à partager équitablement entre le deuxième et le troisième producteur donc <span class="spip-math">$p(F2)=0,15$</span> et<span class="spip-math">$p(F3)=0,15$</span>.<br class='autobr' /> De plus, <span class="spip-math">$p_{F1}(\bar{C})=0,2$</span>, <span class="spip-math">$p_{F2}(\bar{C})=0,05$</span> et <span class="spip-math">$p_{F3}(\bar{C})=0,04$</span>.<br class='autobr' /> On peut donc construire l'arbre suivant :</p> <div class='spip_document_50 spip_document spip_documents spip_document_image spip_documents_center spip_document_center'> <figure class="spip_doc_inner"> <a href='https://www.mathematiques.club/IMG/png/construire_arbre_8_copiar_.png' class="spip_doc_lien mediabox" type="image/png"> <img src='https://www.mathematiques.club/local/cache-vignettes/L500xH280/construire_arbre_8_copiar_-97230.png?1766916648' width='500' height='280' alt='' /></a> </figure> </div></div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> Première, spécialité maths <ul class="spip" role="list"><li> la question 1 de <a href='https://www.mathematiques.club/e3c-specialite-maths-premiere/exercices-corriges-du-bac/article/sujet-0-2020-exercice-3#Q1' class="spip_in">Sujet 0, 2020 - Exercice 3</a>.</li></ul></li><li> Terminale ES et L spécialité <ul class="spip" role="list"><li> la question A.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-mars-2017-exercice-1#QA1' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1</a>.</li><li> la question 1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-novembre-2017-exercice-2-non-spe#Q1' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé)</a>.</li><li> la question B.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/amerique-du-sud-novembre-2017-exercice-3#QB1' class="spip_in">Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3</a>.</li><li> la question A.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-fevrier-2018-exercice-2#QA1' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> la question A.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/metropole-septembre-2017-exercice-2#QA1' class="spip_in">Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2</a>.</li><li> la question A.1b de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/pondichery-mai-2018-exercice-2#QA1b' class="spip_in">Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> la question 1a de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-3#Q1a' class="spip_in">Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3</a>.</li></ul></li></ul></div> https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/article/traduire-un-texte-dans-le-langage-des-probabilites 2017-04-10T14:17:37Z text/html fr Neige <p>Méthode <br class='autobr' /> Au Bac, les exercices de probabilités reposent très souvent sur une situation "réelle", c'est à dire un texte dans lequel il va falloir extraire des informations mathématiques. De façon analogue, il va souvent falloir traduire les questions en termes mathématiques (et c'est bien souvent la partie la plus difficile de l'exercice). <br class='autobr' /> Pour mener à bien cette tâche, on recommande évidemment de relire l'énoncé plusieurs fois et de surligner les informations numériques. Mais il faut (…)</p> - <a href="https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/probabilites-conditionnelles/" rel="directory">Probabilités conditionnelles</a> <div class='rss_texte'><h2 class="spip">Méthode</h2> <p>Au Bac, les exercices de probabilités reposent très souvent sur une situation "réelle", c'est à dire un texte dans lequel il va falloir extraire des informations mathématiques.<br class='autobr' /> De façon analogue, il va souvent falloir traduire les questions en termes mathématiques (et c'est bien souvent la partie la plus difficile de l'exercice).</p> <p>Pour mener à bien cette tâche, on recommande évidemment de relire l'énoncé plusieurs fois et de surligner les informations numériques. Mais il faut également faire attention au vocabulaire employé afin de distinguer une probabilité conditionnelle de la probabilité d'une intersection (la confusion des deux est un écueil classique ). Cette dernière distinction est parfois subtile comme le montre l'exemple suivant :</p> <ul class="spip" role="list"><li> « 20% des pommes du rayon fruits du supermarché sont vertes » : probabilité conditionnelle. Autrement dit, parmi les pommes du rayon fruit (ou encore sachant que l'on considère des pommes du rayon fruit), 20 % sont vertes.</li><li> « 20% des fruits au supermarché sont des pommes vertes » : probabilité d'une intersection. Autrement dit, parmi l'ensemble des fruits du rayon, 20% ont les caractéristiques "pomme" ET "vert".</li></ul> <p>Lorsqu'on hésite entre probabilité conditionnelle et probabilité d'une intersection, on peut se poser la question « est-ce que le pourcentage annoncé est un pourcentage relatif à une partie ou à un tout ? ». Si c'est une partie, alors il y a fort à parier que la probabilité recherchée est conditionnelle.</p> <h2 class="spip">Un exemple en vidéo</h2><div class="capsule-video"><div class="mini_capsule-video"> <iframe title="Traduire un texte dans le langage des probabilités" width="560" height="315" src="//www.youtube-nocookie.com/embed/u8fVby9-dD4?hd=1&wmode=opaque&autoplay=0&rel=0&enablejsapi=1" allowfullscreen class="youtube-player"></iframe> </div></div> <!-- .capsule-video .mini_capsule-video --><h2 class="spip">D'autres exemples pour s'entraîner</h2><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen (d'après Bac)<br class='autobr' /> On s'intéresse à une entreprise chargée de mettre du lait en bouteilles. <br class='autobr' /> La bouteille vide arrive sur un tapis roulant et passe successivement dans 2 machines M1 et M2. La machine M1 remplit la bouteille de lait et la machine M2 met le bouchon.<br class='autobr' /> Une étude statistique portant sur un grand nombre de bouteilles de lait à la fin de la chaîne a permis d'établir que 5% des bouteilles ne sont pas correctement remplies et que parmi elles 8% ont un bouchon. D'autre part, 4% des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon.<br class='autobr' /> On choisit une bouteille de lait au hasard à la fin de la chaîne et on note :<br class='autobr' /> • R, l'évènement : « la bouteille est correctement remplie » ;<br class='autobr' /> • B, l'évènement : « la bouteille a un bouchon ».</li></ul> <p>1. Traduire les pourcentages donnés dans l'énoncé dans le langage des probabilités.<br class='autobr' /> 2. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la bouteille est correctement remplie et qu'elle a un bouchon.<br class='autobr' /> 3. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que, sachant que la bouteille a un bouchon, elle est correctement remplie.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. « 5% des bouteilles ne sont pas correctement remplies » se traduit par <span class="spip-math">$p(\bar{R})=0,05$</span>.<br class='autobr' /> « parmi elles, 8% ont un bouchon » se traduit par <span class="spip-math">$p_{\bar{R}}(B)=0,08$</span>. En effet, le pourcentage ne fait pas référence à l'ensemble des bouteilles mais seulement à celles qui sont mal remplies. On pourrait faire une traduction intermédiaire en français : « sachant que la bouteille est mal remplie, la probabilité qu'elle ait un bouchon est de 8% ». D'où la traduction par une probabilité conditionnelle.<br class='autobr' /> Enfin, « 4% des bouteilles correctement remplies n'ont pas de bouchon » se traduit par <span class="spip-math">$p_{R}(\bar{B})=0,04$</span>. En effet, parmi les bouteilles correctement remplies (ou autrement dit : sachant qu'on considère les bouteilles correctement remplies), 4% n'ont pas de bouchon. Ici, le pourcentage ne fait pas référence à l'ensemble des bouteilles mais seulement à celles qui sont correctement remplies. D'où, à nouveau, la traduction par une probabilité conditionnelle.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>2. Ici, on ne fait pas référence à une partie des bouteilles mais à toutes les bouteilles. Autrement dit, on cherche à écrire la probabilité que, parmi toutes les bouteilles, on trouve une bouteille cumulant deux propriétés : "correctement remplie" ET "a un bouchon". Il s'agit donc de la probabilité <span class="spip-math">$p(R\cap B)$</span>.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>3. Il s'agit cette fois de la probabilité conditionnelle : <span class="spip-math">$p_{B}(R)$</span>.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen (d'après Bac)<br class='autobr' /> Une association de consommateurs a fait une enquête sur des ventes de sacs de pommes.<br class='autobr' /> On sait que :<br class='autobr' /> • 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole et le reste est vendu dans des supermarchés.<br class='autobr' /> • Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.<br class='autobr' /> • Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes et les autres ne contiennent qu'un seul type de pommes.<br class='autobr' /> On désigne par E l'évènement « les sacs de pommes sont vendus sur l'exploitation » et par V l'évènement « les sacs contiennent des pommes de variétés différentes ».<br class='autobr' /> On achète de façon aléatoire un sac de pommes.</li></ul> <p>1. Traduire les pourcentages donnés dans l'énoncé dans le langage des probabilités.<br class='autobr' /> 2. On sait que le sac acheté contient des pommes d'une seule variété. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que le sac ait été acheté directement sur l'exploitation agricole.<br class='autobr' /> 3. Définir par une phrase l'écriture <span class="spip-math">$p(E\cap V)$</span><math>.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. « 15% des sacs sont vendus directement dans l'exploitation agricole » se traduit par <math><span class="spip-math">$p(E)=0,15$</span>.<br class='autobr' /> « Parmi les sacs vendus directement dans l'exploitation agricole, 80% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par <span class="spip-math">$p_E(V)=0,8$</span>.<br class='autobr' /> « Parmi les sacs vendus dans des supermarchés, 10% contiennent des pommes de variétés différentes » se traduit par <span class="spip-math">$p_{\bar{E}}(V)=0,1$</span>.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>2. La phrase se traduit par <span class="spip-math">$p_{\bar{V}}(E)$</span>.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>3. Ici, on parle de la probabilité que le sac soit vendu dans l'exploitation agricole et contienne des pommes de variété différentes.</p> </div></div><ul class="spip" role="list"><li> Niveau moyen (d'après Bac)<br class='autobr' /> On interroge des français de plus de 15 ans sur le nombre de langues étrangères qu'ils parlent « bien », c'est-à-dire qu'ils parlent suffisamment bien pour participer à une conversation. À l'issue du sondage, on observe que l'échantillon des personnes<br class='autobr' /> interrogées est partagé en trois catégories :<br class='autobr' /> • 44% des personnes interrogées ne parlent « bien » aucune langue étrangère.<br class='autobr' /> • 28% des personnes interrogées parlent « bien » une langue étrangère.<br class='autobr' /> • 28% des personnes interrogées parlent « bien » deux ou plus de deux langues étrangères.<br class='autobr' /> (<i>d'après EUROBAROMÈTRE 64.3 Commission Européenne 2005</i>)<br class='autobr' /> Ces trois catégories seront désignées dans la suite du problème respectivement par L0, L1 et L2+.<br class='autobr' /> • 56% des personnes de la catégorie L1 citent l'anglais comme la langue étrangère qu'elles parlent « bien ».<br class='autobr' /> • 73% des personnes de la catégorie L2+ citent l'anglais parmi les langues étrangères qu'elles parlent « bien ».<br class='autobr' /> On choisit de manière aléatoire une personne de cet échantillon.<br class='autobr' /> On note :<br class='autobr' /> E0 l'évènement : « la personne ne parle bien aucune langue étrangère »,<br class='autobr' /> E1 l'évènement : « la personne parle bien une langue étrangère »,<br class='autobr' /> E2+ l'évènement : « la personne parle bien deux ou plus de deux langues étrangères »,<br class='autobr' /> A est l'évènement : « la personne parle bien l'anglais ».</li></ul> <p>1. Traduire les pourcentages donnés dans l'énoncé dans le langage des probabilités.<br class='autobr' /> 2. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu'elle ne parle pas « bien » l'anglais.<br class='autobr' /> 3. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la personne choisie ne parle pas « bien » l'anglais.<br class='autobr' /> 4. Ecrire en langage mathématique : la probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu'elle parle « bien » l'anglais.</p> <div class='cs_blocs'><h6 class='blocs_titre blocs_replie blocs_click'><a href='javascript:;' class='ouvrir_fermer'>Voir la solution</a></h6><div class='blocs_destination blocs_invisible blocs_slide'> <p>1. « 44% des personnes interrogées ne parlent bien aucune langue étrangère » se traduit par <span class="spip-math">$p(E0)=0,44$</span>.<br class='autobr' /> « 28% des personnes interrogées parlent bien une langue étrangère » se traduit par <span class="spip-math">$p(E1)=0,28$</span>.<br class='autobr' /> « 28% des personnes interrogées parlent « bien » deux ou plus de deux langues étrangères » se traduit par <span class="spip-math">$p(E2+)=0,28$</span>.<br class='autobr' /> « 56% des personnes de la catégorie L1 citent l'anglais comme la langue étrangère qu'elles parlent bien » se traduit par <span class="spip-math">$p_{E1}(A)=0,56$</span>.<br class='autobr' /> « 73% des personnes de la catégorie L2+ citent l'anglais parmi les langues étrangères qu'elles parlent bien » se traduit par <span class="spip-math">$p_{E2+}(A)=0,73$</span>.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>2. « la probabilité que la personne choisie soit de la catégorie L1 et qu'elle ne parle pas bien l'anglais » se traduit par <span class="spip-math">$p(E1\cap \bar{A})$</span>.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>3. « la probabilité que la personne choisie ne parle pas bien l'anglais » se traduit par <span class="spip-math">$p(\bar{A})$</span>.</p> <div style="margin-top:20px"></div> <p>4. « la probabilité que la personne soit de la catégorie L2+ sachant qu'elle parle bien l'anglais » se traduit par <span class="spip-math">$p_A(E2+)$</span>.</p> </div></div><h2 class="spip">Au Bac</h2> <p>On utilise cette méthode pour résoudre :</p> <ul class="spip" role="list"><li> Première, spécialité maths <ul class="spip" role="list"><li> la question 1 de <a href='https://www.mathematiques.club/e3c-specialite-maths-premiere/exercices-corriges-du-bac/article/sujet-0-2020-exercice-3#Q1' class="spip_in">Sujet 0, 2020 - Exercice 3</a>.</li></ul></li><li> Terminale ES et L spécialité <ul class="spip" role="list"><li> la question A.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-mars-2017-exercice-1#QA1' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Mars 2017 - Exercice 1</a>.</li><li> la question 1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-novembre-2017-exercice-2-non-spe#Q1' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé)</a>.</li><li> la question B.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/amerique-du-sud-novembre-2017-exercice-3#QB1' class="spip_in">Amérique du Sud, Novembre 2017 - Exercice 3</a>.</li><li> la question A.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/nouvelle-caledonie-fevrier-2018-exercice-2#QA1' class="spip_in">Nouvelle Calédonie, Février 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> la question A.1 de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/metropole-septembre-2017-exercice-2#QA1' class="spip_in">Métropole, Septembre 2017 - Exercice 2</a>.</li><li> la question A.1a de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/pondichery-mai-2018-exercice-2#QA1a' class="spip_in">Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2</a>.</li><li> la question 1a de <a href='https://www.mathematiques.club/terminale-es-et-l-specialite/exercices-corriges-du-bac/article/centres-etrangers-juin-2018-exercice-3#Q1a' class="spip_in">Centres étrangers, Juin 2018 - Exercice 3</a>.</li></ul></li></ul></div>