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Utiliser la formule des probabilités totales

vendredi 5 janvier 2018, par Neige

Méthode

Pour bien comprendre la méthode ci-dessous, il est indispensable de prendre préalablement connaissance de celle-ci : Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.

Seules deux formules sont au programme de Tale ES. L’utilisation de l’une d’elles est l’objet de cet article.

Etant donnés deux évènements $A$ et $B$ de probabilités non nulles alors la formule des probabilités totales permet d’affirmer que : $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar{A}\cap B)$.
Cette formule est très naturelle : pour compter le nombre d’enfants aux yeux bleus ($B$) dans une classe, je peux ajouter le nombre de filles aux yeux bleus ($A\cap B$) et le nombre de garçons aux yeux bleus ($\bar{A}\cap B$).

En utilisant la formule des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales s’écrit aussi :
$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$.

Il est important de remarquer que la formule des probabilités totales se traduit graphiquement par la somme des probabilités des chemins conduisant à un évènement donné (ci-dessous, l’évènement $B$).
JPEG
On rappelle qu’un chemin correspond à une intersection d’évènements et que la probabilité d’une intersection peut s’exprimer comme un produit (voir Utiliser la formule des probabilités conditionnelles).
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Avant d’écrire la formule, il est fortement recommandé de construire un arbre. Il est ensuite possible de "lire" la formule sur l’arbre (c’est d’ailleurs une excellente méthode pour retrouver la formule au lieu de l’apprendre par coeur).

Remarque : on peut étendre cette formule au cas où il y a davantage d’évènements. la règle à retenir est toujours "la probabilité d’un évènement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet évènement".

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Soient $A$ et $B$ deux évènements.
    On sait que $P(A)=0,4$, $P_A(\bar{B})=0,7$ et $P_{\bar{A}}(\bar{B})=0,9$.
    Calculer $P(B)$.
Voir la solution

Voici un arbre repésentant la situation :
PNG
D’après la formule des probabilités totales,
$P(B)=P(A)\times P_A(B)+P(\bar{A})\times P_{\bar{A}}(B)$
$\qquad=0,4\times 0,3+0,6\times 0,1$
$\qquad=0,18$

  • Niveau moyen
    Dans un champ, on trouve seulement trois espèces de plantes que l’on notera A, B et C.
    12% des plantes de l’espèce A, 7% de celles de l’espèce B et 15% de celles de l’espèce C sont résistantes à l’herbicide commun. On sait, de plus, que 30% des plantes du champ sont de l’espèce A et 20% sont de l’espèce B.
    On prélève une plante au hasard. Quelle est la probabilité qu’elle soit résistante à l’herbicide commun ?
Voir la solution

On note :
- $A$, l’évènement "la plante prélevée est de l’espèce A".
- $B$, l’évènement "la plante prélevée est de l’espèce B".
- $C$, l’évènement "la plante prélevée est de l’espèce C".
- $R$, l’évènement "la plante prélevée est résistante à l’herbicide commun".
Les données de l’énoncé permettent d’écrire que $P(A)=0,3$, $P(B)=0,2$, $P_A(R)=0,12$, $P_B(R)=0,07$ et $P_C(R)=0,15$.
D’où l’arbre :
PNG
D’après la formule des probabilités totales,
$P(R)=P(A)\times P_A(R)+P(B)\times P_{B}(R)+P(C)\times P_{C}(R)$
$\qquad=0,3\times 0,12+0,2\times 0,07+0,5\times 0,15$
$\qquad=0,125$
La probabilité qu’une plante prélevée au hasard dans ce champ soit résistante à l’herbicide commun est de 12,5%.

  • Niveau moyen
    Une agence de voyage vient d’ouvrir ses portes et propose, afin de se faire connaître, deux destinations à prix réduit notées G et H. Les voyageurs ont le choix entre deux modes de transport : l’avion ou le train. A l’issue de cette période de promotion, les gérants de l’agence analysent les choix des clients.
    80% ont choisi la destination G (et le reste la destination H). Par ailleurs, 70% des clients ayant choisi la destination H y sont allés en avion. Enfin, 40% des clients ont pris l’avion (et les autres ont pris le train).
    On regarde au hasard le dossier d’un client ayant voyagé avec cette agence durant la période de promotion et on note :
    - $G$, l’évènement "le client s’est rendu à la destination G".
    - $H$, l’évènement "le client s’est rendu à la destination H".
    - $T$, l’évènement "le client a voyagé en train".
    - $A$, l’évènement "le client a voyagé en avion".
  1. Traduire les données chiffrées de l’énoncé dans le langage des probabilités et construire un arbre.
  2. A l’aide de la formule des probabilités totales, calculer $P(G\cap A)$ puis en déduire $P_G(A)$.
  3. On sait qu’un client ayant voyagé avec cette agence durant la période de promotion a pris le train. Quelle est la probabilité qu’il se soit rendu à la destination H ?
Voir la solution

1. D’après l’énoncé, $P(G)=0,8$, $P_H(A)=0,7$ et $P(A)=0,4$. Ces données permettent de construire l’arbre suivant (en choisissant l’arbre permettant de placer un maximum de données) :
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Si vous rencontrez des difficultés pour traduire l’énoncé en probabilités ou bien pour construire l’arbre, vous pouvez consulter Traduire un texte dans le langage des probabilités et Construire un arbre pondéré.
2. D’après la formule des probabilités totales,
$P(A)=P(G\cap A)+P(H\cap A)$
Par conséquent,
$P(G\cap A)=P(A)-P(H\cap A)$
$\qquad =P(A)-P(H)\times P_H(A)$
$\qquad =0,4-0,2\times 0,7$
$\qquad =0,26$
Cela permet d’écrire que :
$P_G(A)=\frac{P(G\cap A)}{P(G)}=\frac{0,26}{0,8}=0,325$.
3. Ici, on demande de calculer $P_T(H)$.
D’après la formule des probabilités conditionnelles, $P_T(H)=\frac{P(T\cap H)}{P(T)}$.
Or, $P(T\cap H)=P(H)\times P_H(T)=0,2\times 0,3=0,06$.
De plus, $T$ et $A$ étant complémentaires, $P(T)=1-P(A)=0,6$.
Par conséquent, $P_T(H)=\frac{0,06}{0,6}=0,1$.
La probabilité que le client se soit rendu à la destination H sachant qu’il a pris le train est de 10%.

  • Niveau difficile
    Lors d’une épidémie saisonnière d’une maladie touchant une certaine proportion $x$ d’une petite population, un test de dépistage est mis en place. On suppose que toute la population est soumise au test et on rencontre un individu de cette population au hasard.
    On sait que la probabilité que cet individu ait un test positif sachant qu’il est malade est de 95% et la probabilité que cet individu ait un test négatif sachant qu’il est sain est de 85%. De plus, on sait que la probabilité que cet individu ait un test positif est de 31%.
    Quelle est la probabilité $x$ que l’individu soit malade ?
    On pourra commencer par écrire une égalité faisant intervenir $x$.
Voir la solution

On note :
- $M$, l’évènement "l’individu est malade".
- $T$, l’évènement "le test est positif".
L’énoncé permet d’écrire que $P(M)=x$, $P_M(T)=0,95$, $P_{\bar{M}}(\bar{T})=0,85$ et $P(T)=0,31$.
D’où l’arbre :
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D’après la formule des probabilités totales,
$P(T)=P(M\cap T)+P(\bar{M}\cap T)$
C’est à dire $P(T)=P(M)\times P_M(T)+P(\bar{M})\times P_{\bar{M}}(T)$.
Cette égalité s’écrit :
$0,31=x\times 0,95+(1-x)\times 0,15$
En développant, on obtient $0,95x+0,15-0,15x=0,31$, c’est à dire $0,8x=0,16$.
On en déduit que $x=\frac{0,16}{0,8}=0,2$.
La probabilité qu’un individu soit malade est de 20%.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(Exercice publié prochainement)

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