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Calculer la probabilité d’une réunion avec un arbre
vendredi 9 février 2018, par
Méthode
Avant de lire cette méthode, il est important d’avoir compris celles-ci : Construire un arbre pondéré et Utiliser la formule des probabilités conditionnelles.
On considère deux évènements $A$ et $B$ faisant partie d’un univers muni d’une loi de probabilité $P$.
$A\cup B$, qui se lit "$A$ union $B$", est la traduction mathématique de "$A$ ou $B$", le "ou" étant inclusif (c’est à dire que si $A$ et $B$ sont tous les deux réalisés alors $A$ ou $B$ l’est aussi).
Lorsque $A$ et $B$ sont disjoints, c’est à dire lorsque ces évènements ne peuvent pas être réalisés en même temps, alors :
$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.
Dans un arbre de probabilités, tous les chemins partant de la racine et arrivant à une feuille représentent des évènements disjoints :
Par conséquent, en reprenant les notations de l’illustration précédente, si on demande de calculer la probabilité de $C\cap \bar D$ ou $\bar C\cap D$ (chemins 1 et 3), il suffit d’écrire que cette probabilité vaut : $P(C\cap \bar D)+P(\bar C\cap D)$. On peut poursuivre le calcul avec la formule des probabilités conditionnelles (Utiliser la formule des probabilités conditionnelles).
En résumé,
- On construit un arbre.
- On repère les chemins correspondants à l’évènement dont on doit calculer la probabilité.
- On ajoute les probabilités des chemins.
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner
- Niveau facile
Voici un arbre :
Calculer la probabilité de $A\cap B$ ou $\bar A \cap \bar B$.
- Niveau moyen
Dans un sac contenant 5 jetons indiscernables au toucher, 2 jetons portent le symbole "-" et 3 jetons portent le symbole "+".
On tire au hasard, successivement et sans remise deux jetons en notant les symboles obtenus.
Remarques :
"successivement" signifie "un jeton après l’autre".
"sans remise" signifie "on ne remet pas le jeton tiré dans le sac avant de tirer le suivant".
On note : $S_1$ l’évènement : un jeton portant le symbole "-" a été obtenu lors du 1er tirage.
$A_1$ l’évènement : un jeton portant le symbole "+" a été obtenu lors du 1er tirage.
$S_2$ l’évènement : un jeton portant le symbole "-" a été obtenu lors du 2ème tirage.
$A_2$ l’évènement : un jeton portant le symbole "+" a été obtenu lors du 2ème tirage.
- Construire un arbre représentant la situation.
- On appelle $E$ l’évènement : "les deux jetons tirés portent un symbole différent". Calculer $P(E)$.
Voir la solution
1. D’après l’énoncé, $P(S_1)=\frac{2}{5}$ et $P(A_1)=\frac{3}{5}$.
Au 2ème tirage, il y a une boule de moins donc $P_{S_1}(S_2)=\frac{1}{4}$, $P_{S_1}(A_2)=\frac{3}{4}$, $P_{A_1}(S_2)=\frac{2}{4}$ et $P_{A_1}(A_2)=\frac{2}{4}$.
Ces informations permettent de construire l’arbre suivant :
2.
$\begin{align}
P(E) & =P(S_1\cap A_2)+P(A_1 \cap S_2) \\
& = P(S_1)\times P_{S_1}(A_2)+P(A_1)\times P_{A_1}(S_2) \\
& = \frac{2}{5} \times \frac{3}{4}+\frac{3}{5}\times \frac{2}{4} \\
& = \frac{12}{20} \\
& = 0,6
\end{align}$
La probabilité d’obtenir deux jetons comportant un symbole différent est de 60 %.
- Niveau moyen
Le responsable d’une compagnie d’assurance de voitures de luxe analyse les résultats de la journée : 6 nouveaux contrats ont été signés ! 3 clients ont choisi la formule "assurance Basique".
2 clients ont choisi la formule "assurance Renforcée".
1 client a choisi la formule "assurance Etendue".
Le responsable tire, au hasard, successivement et sans remise 2 contrats parmi les 6 précédents.
On note : $B_1$ l’évènement : un contrat "assurance Basique" a été obtenu lors du 1er tirage.
$B_2$ l’évènement : un contrat "assurance Basique" a été obtenu lors du 2ème tirage.
$R_1$ l’évènement : un contrat "assurance Renforcée" a été obtenu lors du 1er tirage.
$R_2$ l’évènement : un contrat "assurance Renforcée" a été obtenu lors du 2ème tirage.
$E_1$ l’évènement : un contrat "assurance Etendue" a été obtenu lors du 1er tirage.
$E_2$ l’évènement : un contrat "assurance Etendue" a été obtenu lors du 2ème tirage.
1. Construire un arbre représentant la situation.
2. Quelle est la probabilité que les 2 contrats choisis correspondent à la même formule d’assurance ?
Voir la solution
1. D’après l’énoncé, $P(B_1)=\frac{3}{6}$, $P(R_1)=\frac{2}{6}$ et $P(E_1)=\frac{1}{6}$.
Pour le 2ème tirage, il n’y aplus que 5 dossiers donc :
$P_{B_1}(B_2)=\frac{2}{5}$, $P_{B_1}(R_2)=\frac{2}{5}$ et $P_{B_1}(E_2)=\frac{1}{5}$.
De plus, $P_{R_1}(B_2)=\frac{3}{5}$, $P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{5}$ et $P_{R_1}(E_2)=\frac{1}{5}$.
Enfin, $P_{E_1}(B_2)=\frac{3}{5}$, $P_{E_1}(R_2)=\frac{2}{5}$ et $P_{E_1}(E_2)=0$ (on ne dessine pas la branche).
D’où l’arbre :
2. Comme on ne peut pas tirer 2 dossiers correspondant à l’assurance Etendue, la probabilité recherchée est :
$\begin{align}
& P(B_1\cap B_2)+P(R_1 \cap R_2) \\
= & P(B_1)\times P_{B_1}(B_2)+P(R_1)\times P_{R_1}(R_2) \\
= & \frac{3}{6} \times \frac{2}{5}+\frac{2}{6}\times \frac{1}{5} \\
= & \frac{8}{30} \\
\approx & 0,27
\end{align}$
La probabilité d’obtenir deux contrats correspondant à la même formule d’assurance est d’environ 27 %.
- Niveau difficile
Dans un sac, il y a 3 petits cartons indiscernables au toucher. Sur 2 d’entre eux, il est écrit "Repiochez !" et sur le 3ème, on peut lire "C’est terminé !".
Un joueur pioche au hasard un carton dans le sac. S’il obtient un carton sur lequel il est écrit "Repiochez !", il pose le carton hors du sac et repioche un autre carton.
S’il obtient le carton "C’est terminé !", le jeu s’arrête.
Quelle est la probabilité que le jeu s’arrête alors qu’il reste encore au moins un carton dans le sac ?
Voir la solution
On note :
$R_1$ l’évènement : un carton "Repiochez !" a été obtenu lors de la 1ère pioche.
$R_2$ l’évènement : un carton "Repiochez !" a été obtenu lors de la 2ème pioche.
$F_1$ l’évènement : un carton "C’est terminé !" a été obtenu lors de la 1ère pioche.
$F_2$ l’évènement : un carton "C’est terminé !" a été obtenu lors de la 2ème pioche.
$F_3$ l’évènement : un carton "C’est terminé !" a été obtenu lors de la 3ème pioche.
D’après l’énoncé,
$P(R_1)=\frac{2}{3}$ et $P(F_1)=\frac{1}{3}$.
$P_{R_1}(R_2)=\frac{1}{2}$ et $P_{R_1}(F_2)=\frac{1}{2}$.
$P_{R_1\cap R_2}(F_3)=1$ (car il ne reste plus qu’un seul carton).
D’où l’arbre :
La probabilité recherchée est :
$\begin{align}
& P(F_1)+P(R_1 \cap F_2) \\
= & P(F_1)+P(R_1)\times P_{R_1}(F_2) \\
= & \frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times \frac{1}{2} \\
= & \frac{2}{3}
\end{align}$
Il y a 2 chances sur 3 pour que le jeu s’arrête alors qu’il reste encore au moins un carton dans le sac.
Remarque : on aurait pu rechercher la probabilité de l’évènement complémentaire de celui recherché, qui est : "les trois cartons ont été piochés". En calculant le complémentaire à 1 de cette probabilité, on aurait obtenu le même résultat.
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre :
- la question 2.b de Nouvelle Calédonie, Novembre 2017 - Exercice 2 (non spé).
- la question A.2b de Pondichéry, Mai 2018 - Exercice 2.
