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Manipuler les "au plus et "au moins" avec la loi binomiale

dimanche 25 février 2018, par Neige

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celles-ci : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres et Calculer des probabilités avec une loi binomiale.

Soit $X$ la variable aléatoire qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.
On sait calculer $P(X=k)$ pour n’importe quelle valeur de $k$ entre $0$ et $n$ mais comment calculer, par exemple, $P(X \geq 1)$ ?
C’est l’objet de cette méthode.

Pour fixer les idées, appuyons nous sur un exemple.
On considère $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres 5 et 0,4.
Voici la loi de probabilité de $X$ (voir le 2ème lien en tête de paragraphe pour les calculs) :
JPEG

Calculer $P(X \geq 1)$ (autrement dit : la probabilité d’obtenir au moins un succès) peut se calculer de deux façons :

  • 1ère façon, en utilisant la signification de $X \geq 1$, c’est à dire en écrivant que :
    $\begin{align} P(X \geq 1) & = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5) \\ & \approx 0,259+0,346+0,230+0,077+0,010 \\ & \approx 0,922 \end{align}$
  • 2ème façon, en utilisant le fait que la somme de toutes les probabilités du tableau vaut 1 :
    JPEG
    Donc
    $\begin{align} P(X \geq 1) & = 1-P(X=0) \\ & = 1-0,078 \\ & = 0,922 \end{align}$
    Cette technique est très utile et repose sur la notion de probabilité d’un évènement contraire. Autrement dit, si $A$ est un évènement alors $P(A)=1-P(\bar A)$.

En résumé, pour calculer la probabilité d’un évènement faisant intervenir une variable aléatoire qui suit une loi binomiale ainsi que l’un des symboles $\geq$, $\leq$, $\gt$, $\lt$ :

  • on réfléchit à la loi de probabilité sous forme d’un tableau.
  • on choisit le plus simple entre le calcul direct et le calcul utilisant la probabilité de l’évènement contraire.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,7$.
    Calculer une valeur approchée à $10^{-4}$ de :
  1. $P(X \geq 5)$
  2. $P(X \gt 0)$
  3. $P(X \leq 5)$
  4. $P(X \lt 2)$
Voir la solution

1. Ici, il est préférable de faire un calcul direct :
$\begin{align} P(X \geq 5) & =P(X=5)+P(X=6) \\ & = \binom{6}{5}\times 0,7^5\times 0,3^{1}+\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & \approx 0,30253+0,11765 \\ & \approx 0,4202 \end{align}$

2. On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \gt 0) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & = 1-0,3^6 \\ & \approx 1-0,00073 \\ & \approx 0,9993 \end{align}$

3. On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \leq 5) & =1-P(X=6) \\ & = 1-\binom{6}{6}\times 0,7^6\times 0,3^{0} \\ & = 1-0,7^6 \\ & \approx 1-0,11765 \\ & \approx 0,8824 \end{align}$

4. On fait un calcul direct :
$\begin{align} P(X \lt 2) & =P(X=1)+P(X=0) \\ & = \binom{6}{1}\times 0,7^1\times 0,3^{5}+\binom{6}{0}\times 0,7^0\times 0,3^{6} \\ & \approx 0,01021+0,00073 \\ & \approx 0,0109 \end{align}$

  • Niveau moyen
    Un QCM comporte 10 questions. Pour chaque question, 4 réponses sont possibles mais une seule est correcte. Un candidat répond à toutes les questions au hasard. Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses. On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,25$.
    Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que le candidat réponde correctement à :
  1. au moins 2 questions ?
  2. au plus 2 questions ?
Voir la solution

1. Il s’agit de calculer $P(X \geq 2)$.
On utilise l’évènement contraire :
$\begin{align} P(X \geq 2) & =1-P(X=1)-P(X=0) \\ & = 1-\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}-\binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10} \\ & = 1-0,1877-0,0563 \\ & \approx 0,76 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au moins 2 questions est d’environ 76 %.

2. Il s’agit de calculer $P(X \leq 2)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,25^0\times 0,75^{10}+\binom{10}{1}\times 0,25^1\times 0,75^{9}+\binom{10}{2}\times 0,25^2\times 0,75^{8} \\ & = 0,0563+0,1877+0,2816 \\ & \approx 0,53 \end{align}$
La probabilité que le candidat réponde correctement à au plus 2 questions est d’environ 53 %.

  • Niveau difficile
    Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième.
    Dans un lycée, la probabilité qu’un élève rencontré au hasard fasse du sport dans une association est de 32 %.
    On rencontre au hasard et successivement $n$ élèves.
    on admet que la variable aléatoire $X$, qui compte le nombre d’élèves faisant du sport dans une association, suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,6$.
  1. Dans cette question, $n=10$. Quelle est la probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association ?
  2. Dans cette question, $n$ n’est pas fixé. Combien doit-on rencontrer d’élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 % ?
Voir la solution

1. Il s’agit de calculer $P(X \leq 1)$.
On utilise un calcul direct :
$\begin{align} P(X \leq 1) & =P(X=0)+P(X=1) \\ & = \binom{10}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{10}+\binom{10}{1}\times 0,32^1\times 0,68^{9} \\ & = 0,0211+0,0995 \\ & \approx 0,12 \end{align}$
La probabilité qu’au plus un élève fasse du sport dans une association sur les 10 élèves rencontrés est d’environ 12 %.

2. Il s’agit de déterminer la valeur de $n$ telle que $P(X \geq 1)\gt 0,999$.
Or,
$\begin{align} P(X \geq 1) & =1-P(X=0) \\ & = 1-\binom{n}{0}\times 0,32^0\times 0,68^{n} \end{align}$
On sait que $\binom{n}{0}=1$ et $0,32^0=1$ donc :
$P(X \geq 1) =1-0,68^n$
Par conséquent,
$\begin{align} P(X \geq 1)\gt 0,999 & \iff 1-0,68^n\gt 0,999 \\ & \iff -0,68^n\gt -0,001 \\ & \iff 0,68^n\lt 0,001 \\ & \iff n\times \ln(0,68)\lt \ln(0,001) \\ & \iff n>\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)} \end{align}$
(Comme $\ln(0,68) \lt 0$ , la dernière division change à nouveau le sens de l’inégalité.)
Or $\frac{\ln(0,001)}{\ln(0,68)}\approx 17,91$ donc on doit interroger au moins 18 élèves pour que la probabilité qu’au moins un élève fasse du sport dans une association soit supérieure à 99,9 %.

Remarque : si vous n’avez pas encore vu les logarithmes, vous pouvez essayer de trouver le résultat par essais successifs à la calculatrice, vous gagnerez toujours quelques points.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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