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Calculer des probabilités avec une loi binomiale

mardi 6 février 2018, par Neige

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celle-ci : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres.

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Rappel : $n$ est le nombre de répétitions de l’expérience de base (l’expérience de Bernoulli) et $p$ est la probabilité de succès dans cette expérience de base.

JPEG

Dans ce cas, si $k$ est un entier compris entre 0 et $n$ alors :
Probabilité d’obtenir $k$ succès =
$\qquad$nombre de chemins à $k$ succès
$\qquad \times$ probabilité de succès$^k$
$\qquad \times$ probabilité d’échec$^{n-k}$

Autrement dit, $P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$
$\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins à $k$ succès. On peut déterminer cette valeur avec la calculatrice.

En pratique, pour calculer une probabilité avec une loi binomiale,
- On repère bien les valeurs de $n$, $p$ et $k$.
- On écrit la formule $P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$ avec les valeurs précédentes.
- On utilise la calculatrice.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,3$.
    Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ de $P(X=k)$ pour toutes les valeurs entières de $k$ de 0 à 6.
Voir la solution

$P(X=0)=\binom{6}{0}\times 0,3^0\times 0,7^6$
$\qquad =0,7^6$
$\qquad \approx 0,118$
Remarque : on ne demande pas de valeur exacte mais il est bon de savoir que $\binom{n}{0}$ et $\binom{n}{n}$valent toujours 1.

$P(X=1)=\binom{6}{1}\times 0,3^1\times 0,7^5\approx 0,303$
$P(X=2)=\binom{6}{2}\times 0,3^2\times 0,7^4\approx 0,324$
$P(X=3)=\binom{6}{3}\times 0,3^3\times 0,7^3\approx 0,185$
$P(X=4)=\binom{6}{4}\times 0,3^4\times 0,7^2\approx 0,060$
$P(X=5)=\binom{6}{5}\times 0,3^5\times 0,7^1\approx 0,010$
$P(X=6)=\binom{6}{6}\times 0,3^6\times 0,7^0$
$\qquad =0,3^6$
$\qquad \approx 0,001$

  • Niveau moyen
    On lance 4 dés (identiques et équilibrés) et on considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de 6 obtenus. On admet que $X$ suit une loi binomiale.
    Donner les paramètres de cette loi puis calculer une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $P(X=3)$ et interpréter ce résultat.
Voir la solution

D’après l’énoncé, $X$ suit une loi binomiale.
- La probabilité d’obtenir un 6 lorsqu’on jette un dé est de $\frac{1}{6}$.
- On répète cette expérience 4 fois puisqu’il y a 4 dés.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{6}$ et $n=4$.

On en déduit que :
$P(X=3)=\binom{4}{3}\times \left(\frac{1}{6}\right)^3\times \left(\frac{5}{6}\right)^1$
$\qquad \approx 0,015$
La probabilité d’obtenir 3 fois la face 6 lorsqu’on jette 4 dés est d’environ 1,5 %.

  • Niveau difficile
    Un FAI (fournisseur d’accès internet) effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2000 clients. Chaque client indique s’il est satisfait ou non du service (il n’y a pas d’autres réponses possibles).
    La probabilité qu’un client choisi au hasard dans ce panel soit satisfait du service fourni par le FAI est de 76,25 %.
    On choisit au hasard 3 clients parmi ceux du panel. On admet que le panel est suffisamment important pour assimiler les choix des 3 clients à des tirages identiques et indépendants.
    Déterminer la probabilité qu’exactement 1 client ne soit pas satisfait du service fourni par le FAI.
Voir la solution

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients non satisfaits par le service du FAI. Justifions que $X$ suit une loi binomiale.

Remarque : on pourrait s’intéresser au nombre de clients satisfaits et répondre à la question "Déterminer la probabilité qu’exactement 2 clients soient satisfaits du service fourni par le FAI". On trouverait alors la même solution.


- L’épreuve consistant à interroger un client comporte deux issues : "le client n’est pas satisfait" (Succès) et "le client est satisfait" (Echec).
- D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit une loi binomiale.

Par ailleurs,
- La probabilité que le client ne soit pas satisfait est $1-0,7625=0,2375$.
- On répète l’épreuve 3 fois.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,2375$ et $n=3.$

Il en résulte que :
$P(X=1)=\binom{3}{1}\times 0,2375^1\times 0,7625^2$
$\qquad \approx 0,414$
La probabilité qu’exactement 1 client ne soit pas satisfait du service fourni par le FAI est d’environ 41,4 %.

  • Niveau difficile
    Un QCM est composé de 10 questions. Chaque question comporte 4 réponses dont une seule est correcte. Un élève répond complètement au hasard à toutes les questions. On admet que les choix des réponses sont indépendants et réalisés dans les mêmes conditions. Quelle est la probabilité que l’élève réponde correctement à exactement 2 questions ?
Voir la solution

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses au QCM. Justifions que $X$ suit une loi binomiale.
- L’épreuve consistant à répondre au hasard à une question comporte 2 issues : "la bonne réponse est choisie" (Succès) et "une mauvaise réponse est choisie" (Echec).
- On répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit une loi binomiale.

Par ailleurs,
- La probabilité de choisir la bonne réponse à une question est de $p=\frac{1}{4}$.
- On répète l’épreuve 10 fois donc $n=10$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{4}$ et $n=10$.

Il en résulte que :
$P(X=2)=\binom{10}{2}\times \left(\frac{1}{4}\right)^2\times \left(\frac{3}{4}\right)^8$
$\qquad \approx 0,282$
La probabilité que l’élève réponde correctement à exactement 2 questions est d’environ 28,2 %.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(disponible prochainement)

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