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Calculer des probabilités avec une loi binomiale

mardi 6 février 2018, par Neige

Méthode

Avant de lire cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celle-ci : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres.

On considère une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$.

Rappel : $n$ est le nombre de répétitions de l’expérience de base (l’expérience de Bernoulli) et $p$ est la probabilité de succès dans cette expérience de base.

JPEG

Dans ce cas, si $k$ est un entier compris entre 0 et $n$ alors :
Probabilité d’obtenir $k$ succès =
$\qquad$nombre de chemins à $k$ succès
$\qquad \times$ probabilité de succès$^k$
$\qquad \times$ probabilité d’échec$^{n-k}$
Autrement dit, $P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$
$\binom{n}{k}$ est le nombre de chemins à $k$ succès. On peut déterminer cette valeur avec la calculatrice.

En pratique, pour calculer une probabilité avec une loi binomiale,
- On repère bien les valeurs de $n$, $p$ et $k$.
- On écrit la formule $P(X=k)=\binom{n}{k}\times p^k\times (1-p)^{n-k}$ avec les valeurs précédentes.
- On utilise la calculatrice.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère la variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n=6$ et $p=0,3$.
    Déterminer une valeur approchée à $10^{-3}$ de $P(X=k)$ pour toutes les valeurs entières de $k$ de 0 à 6.
Voir la solution

$P(X=0)=\binom{6}{0}\times 0,3^0\times 0,7^6$
$\qquad =0,7^6$
$\qquad \approx 0,118$
Remarque : on ne demande pas de valeur exacte mais il est bon de savoir que $\binom{n}{0}$ et $\binom{n}{n}$valent toujours 1.

$P(X=1)=\binom{6}{1}\times 0,3^1\times 0,7^5\approx 0,303$
$P(X=2)=\binom{6}{2}\times 0,3^2\times 0,7^4\approx 0,324$
$P(X=3)=\binom{6}{3}\times 0,3^3\times 0,7^3\approx 0,185$
$P(X=4)=\binom{6}{4}\times 0,3^4\times 0,7^2\approx 0,060$
$P(X=5)=\binom{6}{5}\times 0,3^5\times 0,7^1\approx 0,010$
$P(X=6)=\binom{6}{6}\times 0,3^6\times 0,7^0$
$\qquad =0,3^6$
$\qquad \approx 0,001$

  • Niveau moyen
    On lance 4 dés (identiques et équilibrés) et on considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de 6 obtenus. On admet que $X$ suit une loi binomiale.
    Donner les paramètres de cette loi puis calculer une valeur arrondie à $10^{-3}$ de $P(X=3)$ et interpréter ce résultat.
Voir la solution

D’après l’énoncé, $X$ suit une loi binomiale.
- La probabilité d’obtenir un 6 lorsqu’on jette un dé est de $\frac{1}{6}$.
- On répète cette expérience 4 fois puisqu’il y a 4 dés.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{6}$ et $n=4$.

On en déduit que :
$P(X=3)=\binom{4}{3}\times \left(\frac{1}{6}\right)^3\times \left(\frac{5}{6}\right)^1$
$\qquad \approx 0,015$
La probabilité d’obtenir 3 fois la face 6 lorsqu’on jette 4 dés est d’environ 1,5 %.

  • Niveau difficile
    Un FAI (fournisseur d’accès internet) effectue une enquête de satisfaction sur un panel de 2000 clients. Chaque client indique s’il est satisfait ou non du service (il n’y a pas d’autres réponses possibles).
    La probabilité qu’un client choisi au hasard dans ce panel soit satisfait du service fourni par le FAI est de 76,25 %.
    On choisit au hasard 3 clients parmi ceux du panel. On admet que le panel est suffisamment important pour assimiler les choix des 3 clients à des tirages identiques et indépendants.
    Déterminer la probabilité qu’exactement 1 client ne soit pas satisfait du service fourni par le FAI.
Voir la solution

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de clients non satisfaits par le service du FAI. Justifions que $X$ suit une loi binomiale.

Remarque : on pourrait s’intéresser au nombre de clients satisfaits et répondre à la question "Déterminer la probabilité qu’exactement 2 clients soient satisfaits du service fourni par le FAI". On trouverait alors la même solution.


- L’épreuve consistant à interroger un client comporte deux issues : "le client n’est pas satisfait" (Succès) et "le client est satisfait" (Echec).
- D’après l’énoncé, on répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit une loi binomiale.

Par ailleurs,
- La probabilité que le client ne soit pas satisfait est $1-0,7625=0,2375$.
- On répète l’épreuve 3 fois.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=0,2375$ et $n=3.$

Il en résulte que :
$P(X=1)=\binom{3}{1}\times 0,2375^1\times 0,7625^2$
$\qquad \approx 0,414$
La probabilité qu’exactement 1 client ne soit pas satisfait du service fourni par le FAI est d’environ 41,4 %.

  • Niveau difficile
    Un QCM est composé de 10 questions. Chaque question comporte 4 réponses dont une seule est correcte. Un élève répond complètement au hasard à toutes les questions. On admet que les choix des réponses sont indépendants et réalisés dans les mêmes conditions. Quelle est la probabilité que l’élève réponde correctement à exactement 2 questions ?
Voir la solution

Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de bonnes réponses au QCM. Justifions que $X$ suit une loi binomiale.
- L’épreuve consistant à répondre au hasard à une question comporte 2 issues : "la bonne réponse est choisie" (Succès) et "une mauvaise réponse est choisie" (Echec).
- On répète cette épreuve à l’identique et de manière indépendante.
- $X$ compte le nombre de succès.
Donc $X$ suit une loi binomiale.

Par ailleurs,
- La probabilité de choisir la bonne réponse à une question est de $p=\frac{1}{4}$.
- On répète l’épreuve 10 fois donc $n=10$.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $p=\frac{1}{4}$ et $n=10$.

Il en résulte que :
$P(X=2)=\binom{10}{2}\times \left(\frac{1}{4}\right)^2\times \left(\frac{3}{4}\right)^8$
$\qquad \approx 0,282$
La probabilité que l’élève réponde correctement à exactement 2 questions est d’environ 28,2 %.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Bonjour,

    je dois résoudre un problème avec la loi binomial et je ne suis pas trop certaine de comprendre ... pourriez-vous m’éclaircir dans mes démarches ?! je vous remercie d’avance pour votre aide si précieuse ! :)

    Voici le problème en question :

    Un inspecteur d’une agence gouvernementale visite l’usine afin de s’assurer que les règlements sur l’étiquetage sont bien respectés. Il prélève au hasard dix sacs parmi ceux qui viennent d’être remplis par la machine et il pèse le contenu de chacun des sacs à l’aide d’une balance très précise. Il suffit que l’un des sacs pèse moins de 4 kg pour qu’il émette un constat de non-conformité.

    Si la machine est réglée de telle sorte que la quantité moyenne µ versée est toujours égale à 4,2 kg et l’écart-type σ = 0,4 kg, quelle est la probabilité pour que l’inspecteur émette un avis de non-conformité ?

    Sachant que mes paramètres sont les suivants :

    n=10
    écart-type = 0,4
    moyenne µ : 4,2
    P(X<4) probabilité que le poids s’un sac est inférieure à 4 kg= 0,3085
    Probabilité de succès = 1- 0,3085 = 0,6915

    J’ai de la difficulté à savoir quel est mon k ... et à réaliser les démarches

    Sinon j’ai décider de calculer la probabilité de chaque événements ?

    Suis-je sur la bonne voie ?!

    0=10/0 * (0,3085)* (0,6915) expo10=
    1=10/1 * (0,3085)expo1 * (0,6915) expo9 =
    2=10/2* (0,3085) expo2 * (0,6915) expo8 =
    3=10/3* (0,3085) expo3* (0,6915) expo7 =
    4=10/4* (0,3085) expo4* (0,6915) expo6 =
    5=10/5* (0,3085) expo5* (0,6915) expo5 =
    6=10/6* (0,3085) expo6* (0,6915) expo4 =
    7=10/7* (0,3085) expo7* (0,6915) expo3 =
    8=10/8* (0,3085) expo8* (0,6915) expo2 =
    9=10/9* (0,3085) expo9* (0,6915) expo1 =
    10=10/10* (0,3085) expo10* (0,6915) expo0 =

    • Bonsoir Laurence et désolé pour la réponse tardive.

      En fait, ce qui est compliqué dans ton problème, c’est qu’il y a 2 variables aléatoires :

      • Celle qui donne le poids d’un sac : X (qui suit la loi normale d’espérance 4,2 et d’écart type 0,4).
      • Celle qui compte le nombre de sacs conformes, pesant plus de 4 kg : Y (qui suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=P(X>4))

      Tu as raison pour le calcul de P(X>4), c’est bien environ 0,6915.
      Tu appelles donc "succès" le fait qu’un sac soit conforme.

      Maintenant, Y, qui compte le nombre de sacs conformes, suit la loi binomiale de paramètres n=10 et p=0,6915.
      On veut calculer P(Y<10) (probabilité que le nombre de sacs conformes ne soit pas 10), c’est à dire 1-P(Y=10).

      Tes calculs ne sont pas faux mais tu confonds succès et échec. Si Y compte le nombre de sacs conformes (comme tu l’écris plus haut avec ta probabilité de succès), alors
      P(Y=10)=10/10* (0,6915) expo10* (0,3085) expo0

      Voilà, j’espère que cela t’aidera à comprendre.
      N’hésite pas à écrire si tu as des questions !
      Bon courage à toi,
      Neige

  • je ne comprend pouvez vous m’aider svp

    cordialement

  • Bonjour,

    Je dois résoudre un problème qui ressemble au dernier exercice, à la différence que :
    L’élève doit répondre à 15 questions ayant deux réponses possibles.
    Il lance une pièce de monnaie à chaque question afin d’y répondre au hasard.
    Pour réussir le test, il doit obtenir au moins 60% de bonnes réponses.

    J’ai transposé la formule utilisée en réponse à votre dernier exercice de la façon suivante : P( X "inférieur ou égal" à 9) = (15/9) x (1/2)^9 x (1/2)^6
    Mais cela ne donne pas le résultat attendu... Comment faire ?

    • Bonjour Louise !
      Tu ne peux pas appliquer la formule telle quelle à cause du "inférieur ou égal" (la formule de l’exercice ne fonctionne que pour un "égal" simple).

      Voici une piste : je suppose que X compte le nombre de bonnes réponses. X suit donc une loi binomiale de paramètres 15 et 1/2.
      Si tu cherches la probabilité de réussir le test, tu peux calculer :
      P(X "supérieur ou égal" à 9) = P(X=9)+P(X=10)+P(X=11)+P(X=12).
      Pour chacune de ces 4 probabilités, tu peux utiliser la formule.

      Si tu cherches la probabilité de rater le test, il suffit de calculer :
      1 - P(X "supérieur ou égal" à 9).

      N’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair. Bon courage à toi !
      Neige

  • Ah mince, je me rends compte que je me suis trompée dans mon commentaire, en réalité je cherche P(X "supérieur ou égal" à 9) puisque l’étudiant doit au moins avoir 9 bonnes réponses pour réussir le test...

  • Bonsoir je suis steeve j’ai un problem a un devoir.Et je me demandais si vous pouvez m’aider ? svp

  • Bonjour j’aurais aimer savoir comment faire pour calculer une loi binomiale avec X>k, et non =k... Auriez-vous une technique particulière ? Merci d’avance
    Elio

    • Bonjour Elio,

      C’est une excellente question !

      Il n’y a pas de solution simple, je te présente 3 stratégies :

      • tu peux calculer : P(X=k+1) + P(X=k+2) + ... + P(X=n). Cette méthode est utile si k est grand (proche de n).
      • tu peux calculer : 1 - P(X ≤ k), cette méthode est utile si k est petit et, dans ce cas, il faudra remplacer P(X ≤ k) par P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=k).
      • plus difficile : tu peux, dans certains cas, approximer la loi binomiale par une loi normale et transformer P(X > k) par un calcul d’intégrale.

      J’espère t’avoir été utile.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour,
    Je suis tombé par hasard sur votre page en tentant de répondre à une vieille question/débat avec un ami (je ne suis plus à l’école depuis fort longtemps, et complètement nul en mathématiques).

    Supposons que je lance 10 fois un dés normal, et je veux obtenir un 6. Je n’obtiens aucun 6. Au lancer suivant (ou après suivant etc...) ma probabilité est elle toujours exactement de 1 chance sur 6 ? Ou le 6 a t-il plus de chances de tomber puisque absents depuis 10 lancers ?
    ma supposition est que sur chaque lancer la probabilité est toujours de 1/6 mais j’aimerais en être certain.

    Désolé pour la nullité de ma question...
    Mais merci pour toute réponse !

    • Bonjour Alex et merci pour votre contribution !

      Votre supposition est bonne : l’histoire du dé n’a aucune influence sur le prochain lancer. La probabilité d’obtenir un 6 avec un dé équilibré est toujours de 1/6. On dit que les lancers sont "indépendants".

      Si les lancers étaient dépendants, les jeux de hasard seraient biaisés (et n’existeraient sans doute pas).

      L’erreur qui consiste à penser que si un 6 n’a pas été obtenu depuis longtemps, il a davantage de chances d’être obtenu au prochain lancer est pourtant assez répandue. Elle repose, selon moi, sur une mauvaise interprétation de la "loi des grands nombres". Cette loi indique qu’après un nombre infini de lancers d’un dé équilibré, on devrait obtenir exactement, parmi tous les résultats obtenus, un sixième de 6 (c’est à dire 16,66..% de 6). Mais ce nombre ne nous dit rien sur le résultat du prochain lancer.

      Par contre, ce que nous dit la théorie, c’est que si après un grand nombre de lancers, on n’a obtenu aucun 6, il y a de bonnes raisons de penser que le dé n’est pas équilibré.

      Voilà, j’espère avoir apporté un peu d’éclaircissements à votre questionnement. A bientôt !
      Neige

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