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Prendre une décision à l’aide d’un intervalle de fluctuation

jeudi 25 janvier 2018, par Neige

Méthode

Avant de lire cette méthode, vous devez d’abord comprendre celle-ci : Etablir un intervalle de fluctuation.

On considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ dont la probabilité $p$ est supposée connue. La méthode de prise de décision consiste à déterminer (avec un risque de 5%) si la probabilité $p$ peut être remise en question ou non, en utilisant un échantillon de taille $n$.

En pratique,

  • On repère la probabilité (ou proportion) $p$ ainsi que la taille de l’échantillon $n$.
  • On détermine $I$, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence (voir Etablir un intervalle de fluctuation).
  • On calcule la fréquence $f$ de réalisation de l’évènement $A$ constatée sur l’échantillon.
  • On applique la règle de décision suivante :
    • Si $f$ appartient à $I$ alors on ne remet pas en question la valeur de $p$.
    • Si $f$ n’appartient pas à $I$ alors on remet en question la valeur de $p$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Avec les notations utilisées plus haut, on considère une situation pour laquelle $p=0,75$, $n=50$ et $f=0,6$.
  1. Peut-on remettre en question la valeur de $p$ ?
  2. Même question en avec $f=0,65$ au lieu de $f=0,6$.
  3. Même question avec $p=0,75$, $n=30$ et $f=0,6$.
Voir la solution

1. D’après l’énoncé, $p=0,75$ et $n=50$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=37,5 \geq 5$ et $n(1-p)=12,5 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence est $I=\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{50}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{50}} \right ]$
$I\approx [0,630 ;0,870]$
On constate que $f=0,6\notin I$. Par conséquent, on peut remettre en question la valeur $p=0,75$.
2. Seule la valeur de $f$ change donc on peut reprendre l’intervalle $I \approx [0,630 ;0,870]$ calculé à la question précédente.
On constate que $f=0,65\in I$. Par conséquent, on ne peut pas remettre en question la valeur $p=0,75$.
3. D’après l’énoncé, $p=0,75$ et $n=30$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=22,5 \geq 5$ et $n(1-p)=7,5 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence est $I=\left[ 0,75-1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{30}} ; 0,75+1,96 \frac{\sqrt{0,75(1-0,75)}}{\sqrt{30}} \right ]$
$I\approx [0,595 ;0,905]$.
On constate que $f=0,6\in I$. Par conséquent, on ne peut pas remettre en question la valeur $p=0,75$.

  • Niveau moyen
    (D’après bac)
    Un investisseur se rend dans une agence immobilière pour acheter un appartement et le louer. Le responsable de cette agence lui affirme que 60 % des appartements sont rentables. Pour vérifier cette information, on aprélevé au hasard 280 dossiers d’appartements loués. Parmi ceux-ci, 120 sont rentables.
  1. Déterminer la fréquence observée sur l’échantillon prélevé.
  2. Peut-on valider l’affirmation du responsable de l’agence ? On pourra s’aider d’un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 %.
Voir la solution

1. La fréquence d’appartements rentables est $f=\frac{120}{280}\approx 0,429$.
2. D’après l’énoncé, la probabilité qu’un appartement soit rentable est $p=0,6$ et la taille de l’échantillon est $n=280$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=168 \geq 5$ et $n(1-p)=112 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence d’appartements rentables est $I=\left[ 0,6-1,96 \frac{\sqrt{0,6(1-0,6)}}{\sqrt{280}} ; 0,6+1,96 \frac{\sqrt{0,6(1-0,6)}}{\sqrt{280}} \right ]$
$I\approx [0,543 ;0,657]$
D’après la question 1, $f\notin I$. Par conséquent, on peut remettre en question la valeur $p=0,6$. On ne peut pas valider l’affirmation du responsable de l’agence.

  • Niveau moyen
    (D’après bac)
    Une mutuelle affirme que 22 % de ses adhérents ont dépassé 20 journées d’absence au travail en 2013. Afin d’étudier la validité de cette affirmation, un organisme enquête sur un échantillon de 200 personnes, choisies au hasard et de façon indépendante parmi les adhérents de la mutuelle.
    Parmi ces personnes, 36 ont comptabilisé plus de 20 journées d’absence en 2013.
    Le résultat de l’enquête remet-il en question l’affirmation de la mutuelle ?
Voir la solution

D’après l’énoncé, la probabilité qu’un adhérent à la mutuelle ait dépassé 20 journées d’absence au travail en 2013 est $p=0,22$ et la taille de l’échantillon est $n=200$.
Par conséquent, $n \geq 30$, $np=44 \geq 5$ et $n(1-p)=156 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95 % de la variable fréquence d’adhérents ayant dépassé 20 journées d’absence est $I=\left[ 0,22-1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{200}} ; 0,22+1,96 \frac{\sqrt{0,22(1-0,22)}}{\sqrt{200}} \right ]$
$I\approx [0,163 ;0,277]$
De plus, $f=\frac{36}{200}=0,18$. Par conséquent, $f\in I$ et on ne peut pas remettre en question l’affirmation de la mutuelle.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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