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Etablir un intervalle de confiance

vendredi 16 mars 2018, par Neige

Méthode

On considère une expérience aléatoire et un évènement $A$ dont la probabilité $p$ est inconnue. L’objectif est d’estimer la valeur de $p$ en procédant de la façon suivante : on répète l’expérience $n$ fois de sorte que les expériences répétées soient identiques et indépendantes puis on calcule la fréquence $f$ de réalisation de l’évènement $A$ sur ces $n$ répétitions.

Ill y a alors 95 chances sur 100 que $p$ appartienne à l’intervalle $\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$. Cet intervalle est appelé intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % (ou 0,95).

En pratique,

  • On vérifie que $p$ est inconnue et $f$ est connue.
  • On repère la valeur de $n$ et on vérifie les trois conditions suivantes :
    • $n \geq 30$.
    • $nf \geq 5$.
    • $n(1-f) \geq 5$.
  • On utilise la formule donnée plus haut pour établir un intervalle de confiance.

Remarque importante : il est souvent utile d’utiliser le fait que l’amplitude de cet intervalle de confiance est de $\frac{2}{\sqrt{n}}$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Avec les notations utilisées plus haut, déterminer un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % (lorsque $f=42 \%$ et pour les valeurs suivantes de $n$ (on arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$) :
  1. $n=50$.
  2. $n=100$.
  3. $n=500$.
Voir la solution

1. On sait que $f=0,42$ et $n=50$.
Par conséquent,
- $n \geq 30$.
- $nf=21 \geq 5$.
- $n(1-f)=29 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,42- \frac{1}{\sqrt{50}} ; 0,42+ \frac{1}{\sqrt{50}} \right ]\approx [0,279 ;0,561]$.

2. On sait que $f=0,42$ et $n=100$.
Par conséquent,
- $n \geq 30$.
- $nf=42 \geq 5$.
- $n(1-f)=58 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,42- \frac{1}{\sqrt{100}} ; 0,42+ \frac{1}{\sqrt{100}} \right ]= [0,320 ;0,520]$.

3. On sait que $f=0,42$ et $n=500$.
Par conséquent,
- $n \geq 30$.
- $nf=210 \geq 5$.
- $n(1-f)=290 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de confiance de $p$ au niveau de confiance 95 % est $\left[ 0,42- \frac{1}{\sqrt{500}} ; 0,42+ \frac{1}{\sqrt{500}} \right ]\approx [0,375 ;0,465]$.

  • Niveau moyen
    D’après Bac
    Dans une ville de 23 000 habitants, la municipalité souhaite connaître l’opinion de ses concitoyens sur la construction d’un nouveau complexe sportif. Afin de l’aider dans sa décision, la municipalité souhaite obtenir une estimation de la proportion de personnes favorables à la construction de ce complexe sportif, au niveau de confiance de 95 % avec un intervalle d’amplitude inférieure à 4 %.
    Quel doit être le nombre minimum de personnes à interroger ?
Voir la solution

D’après le cours, un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % de la proportion de personnes favorables à la construction est :
$\left[ f- \frac{1}{\sqrt{n}} ; f+ \frac{1}{\sqrt{n}} \right ]$
Son amplitude est donc : $\frac{2}{\sqrt{n}}$.
Il s’agit alors de résoudre l’inéquation $\frac{2}{\sqrt{n}} \lt 0,04$.
$\begin{align} \frac{2}{\sqrt{n}} \lt 0,04 & \Leftrightarrow \frac{\sqrt{n}}{2} \gt 25 \\ & \Leftrightarrow \sqrt{n} \gt 50 \\ & \Leftrightarrow \gt 2500 \\ \end{align}$
La municipalité doit interroger au minimum 2500 personnes.

  • Niveau moyen
    D’après Bac
    Dans une commune comptant plus de 100 000 habitants, un institut réalise un sondage auprès de la population.
    Sur les 100 personnes interrogées, 55 affirment être satisfaites de leur maire.
    Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 0,95 permettant de connaître la cote de popularité du maire.
Voir la solution

D’après l’énoncé, la fréquence de personnes satisfaites sur l’échantillon de taille $n=100$ est $f=0,55$.
Par conséquent,
- $n \geq 30$.
- $nf=55 \geq 5$.
- $n(1-f)=45 \geq 5$.
D’après le cours, un intervalle de confiance de la cote de popularité du maire au niveau de confiance 0,95 est $\left[ 0,55- \frac{1}{\sqrt{100}} ; 0,55+ \frac{1}{\sqrt{100}} \right ]= [0,45 ;0,65]$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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