Mathématiques.club

Accueil > Terminale ES et L spécialité > Généralités en probabilités > Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire

mercredi 28 février 2018, par Neige

Méthode

On considère une variable aléatoire discrète $X$.

Déterminer la loi de probabilité de $X$, c’est :

  • lister l’ensemble des valeurs $x_i$ prises par $X$.
  • associer à chacune de ces valeurs une probabilité (celle de l’évènement $X=x_i$).
  • résumer ces informations dans un tableau, comme celui-ci :
    JPEG

Remarques :

  • certaines lois de probabilité sont "connues" comme la loi équirépartie ou la loi binomiale. Dans ce cas, inutile de construire le tableau, il suffit de donner le nom de la loi et préciser les paramètres éventuels (voir par exemple Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres).
  • pour déterminer une loi de probabilité, il est souvent utile d’utiliser un tableau à double entrée ou un arbre, comme nous allons le voir dans les exercices qui suivent la vidéo.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    Un jeu consiste à lancer 2 dés tétraédriques (c’est à dire à 4 faces) équilibrés et dont les faces sont numérotées de 1 à 4. On considère la variable aléatoire $X$ qui correspond au plus petit des 2 chiffres obtenus avec les dés.
    Par exemple, si on obtient 4 avec le dé n°1 et 3 avec le dé n°2 alors $X$ prend la valeur 3.
    A l’aide d’un tableau à double entrée, déterminer la loi de probabilité de $X$.
Voir la solution

Comme les dés sont équilibrés, chacun des 16 couples de résultats a 1 chance sur 16 de sortir.
On construit donc le tableau suivant dans lequel la 1ère colonne correspond aux valeurs prises par le dé n°1 et la 1ère ligne aux valeurs prises par le dé n°2.
JPEG
Par exemple, la valeur 2 en couleur dans le tableau, indique que si on obtient 4 avec le dé n°1 et 2 avec le dé n°2 alors $X$ prendra la valeur 2.

Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont : 1, 2, 3 et 4.
Pour obtenir les probabilités associées, il suffit de compter les cases et utiliser le fait que chaque couple a une chance sur 16 de sortir.
D’où la loi de probabilité de $X$ :
JPEG

  • Niveau moyen
    Un jeu consiste à lancer une pièce de monnaie bien équilibrée de 1 à 3 fois de suite. Plus précisément, on lance successivement la pièce en respectant ces règles :
    - si on obtient Pile après un lancer, on gagne 2,50 € et on relance la pièce.
    - si on obtient Face après un lancer, le jeu s’arrête.
    - si on vient de lancer 3 fois la pièce, le jeu s’arrête (après avoir éventuellement empoché les gains liés au 3ème lancer).
    On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le gain, en €, du joueur.
    A l’aide d’un arbre, déterminer la loi de probabilité de $X$.
Voir la solution

On note :
- P l’évènement "obtenir Pile avec la pièce".
- F l’évènement "obtenir Face avec la pièce".
A chaque lancer, la probabilité des évènements P et F est de $\frac{1}{2}$ (la pièce étant équilibrée).
D’où l’arbre :
JPEG
Ainsi, les valeurs prises par $X$ sont : 0 €, 2,50 €, 5 € et 7,50 €.
Pour calculer les probabilités associées, il suffit de multiplier les probabilités rencontrées sur les chemins correspondants.
Plus pécisément,
$P(X=0)=\frac{1}{2}$
$P(X=2,50)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$
$P(X=5)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
$P(X=7,50)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
D’où la loi de probabilité de $X$ :
JPEG

  • Niveau moyen
    Un restaurant propose deux formules pour le déjeuner :
    - la formule "plat unique" à 10 €.
    - la formule "plat + dessert" à 12 €.
    Il est également possible de commander un café pour 2 € supplémentaires.
    On sait que :
    - 45 % des clients choisissent le plat unique et parmi eux, 90 % prennent un café.
    - les autres clients choisissent la formule "plat + dessert" et parmi eux, 70 % prennent un café.
    On précise que tous les clients prennent une formule.
    A la fermeture de la cuisine, le gérant du restaurant consulte les factures du déjeuner et en regarde une au hasard.
    On appelle :
    - $F_1$ l’évènement "la facture est celle d’un client ayant choisi la formule plat unique".
    - $F_2$ l’évènement "la facture est celle d’un client ayant choisi la formule plat + dessert".
    - $C$ l’évènement "la facture est celle d’un client ayant pris un café après sa formule".
  1. Construire un arbre représentant la situation (si nécessaire, consulter Construire un arbre pondéré)
  2. On considère la variable aléatoire $X$ qui donne la dépense, en €, du client. Etablir la loi de probabilité de $X$.
Voir la solution

1. D’après l’énoncé,
$P(F_1)=0,45$, $P_{F_1}(C)=0,9$ et $P_{F_2}(C)=0,7$.
D’où l’arbre :
PNG

2. On reprend l’arbre précédent en rajoutant les dépenses du client :
JPEG
Les valeurs prises par $X$ sont : 10 €, 12 € et 14 €.
De plus,
$\begin{align} P(X=10) & = P(F_1 \cap \bar{C}) \\ & = P(F_1)\times P_{F_1}(\bar{C}) \\ & = 0,45 \times 0,1 \\ & = 0,045 \end{align}$

$\begin{align} P(X=12) & = P(F_1 \cap C)+P(F_2 \cap \bar{C}) \\ & = P(F_1)\times P_{F_1}(C)+P(F_2)\times P_{F_2}(\bar{C}) \\ & = 0,45 \times 0,9+0,55 \times 0,3 \\ & = 0,57 \end{align}$

$\begin{align} P(X=14) & = P(F_2 \cap C) \\ & = P(F_2)\times P_{F_2}(C) \\ & = 0,55 \times 0,7 \\ & = 0,385 \end{align}$

D’où la loi de probabilité de $X$ :
JPEG

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Un message, un commentaire ?

modération a priori

Ce forum est modéré a priori : votre contribution n’apparaîtra qu’après avoir été validée par un administrateur du site.

Qui êtes-vous ?
Votre message

Pour créer des paragraphes, laissez simplement des lignes vides.

Ce site vous a été utile ? Vous pouvez encourager son développement en le diffusant sur les réseaux sociaux.

Facebook :

Youtube (abonnement à la chaîne) :