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Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

samedi 10 mars 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celle-ci : Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

On considère une variable aléatoire discrète $X$ dont on connaît la loi de probabilité.

L’espérance de $X$, notée $E(X)$ est la moyenne des valeurs prises par $X$, pondéré par les probabilités associées. Autrement dit, si la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
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alors $E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+...+x_n\times P(X=x_n)$.

Cette formule s’écrit sous forme plus rigoureuse :
$E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i\times P(X=x_i)$

Important : l’espérance de $X$ est la valeur que l’on peut espérer obtenir (pour $X$) en moyenne, sur un grand nombre d’expériences. Cette interprétation de l’espérance est une conséquence de la loi des grands nombres.

Remarques :

  • lorsque $X$ suit une loi de probabilité "connue" (comme la loi binomiale par exemple), on dispose de formules. Par exemple, si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ alors l’espérance de $X$ est $E(X)=n\times p$.
  • lorsque $X$ comptabilise un gain en euros pour un joueur et que l’on demande si le jeu est avantageux, désavantageux ou équilibré, il suffit de regarder si $E(X) \geq 0$, $E(X) \leq 0$ ou $E(X) = 0$. Dans ce dernier cas, on dit aussi que le jeu est équilibré.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère une variable aléatoire $X$ qui compte le gain (en €) d’un joueur qui participe à un jeu de hasard. Voici la loi de probabilité de $X$ :
    JPEG
  1. Calculer $E(X)$.
  2. Interpréter ce résultat.
Voir la solution

1. D’après le cours,
$\begin{align} E(X) & =0,25\times 1+0,57\times 8+0,1\times 25+0,08\times 100 \\ & =15,31 € \end{align}$

2. En moyenne, sur un grand nombre de jeu, le joueur peut espérer gagner 15,31 € par jeu.

  • Niveau moyen
    On jette un dé à 6 faces équilibré 4 fois de suite.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus.
    Calculer $E(X)$ puis interpréter le résultat obtenu.
Voir la solution

Il peut être utile de relire la méthode suivante : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres.
L’expérience consistant à jeter un dé à 6 face comporte 2 issues :
- obtenir 6 (succès) avec une probabilité de $\frac{1}{6}$.
- ne pas obtenir 6 (échec) avec une probabilité de $\frac{5}{6}$.
On répète cette expérience à l’identique et de façon indépendante 4 fois.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\frac{1}{6}$.
Il en résulte que $E(X)=4\times \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,67$.
En moyenne, sur un grand nombre d’expériences (consistant à jeter 4 fois le dé de suite), on peut espérer obtenir en moyenne environ 0,67 fois le nombre 6 par expérience.

  • Niveau difficile
    Un sac contient 10 boules : 3 bleues et 7 vertes. Un joueur se présente et tire au hasard, successivement et sans remises deux boules dans l’urne.
    - Si la 1ère boule tirée est bleue, on gagne 10 €.
    - Si la 2ème boule tirée est verte, on gagne 5 € (cette somme peut éventuellement se cumuler avec la première).
    - Dans les autres cas, on ne gagne rien.
    Avant chaque partie, un joueur doit s’acquitter d’un montant de 8 €.
  1. Ce jeu est-il équitable ?
  2. Combien peut espérer gagner l’organisateur du jeu après 50 parties ?
  3. Quel devrait être le prix d’une partie pour que le jeu devienne équitable ?
Voir la solution

1. On note :
- $B_1$ l’évènement "le joueur tire une boule bleue au 1er tirage".
- $V_1$ l’évènement "le joueur tire une boule verte au 1er tirage".
- $B_2$ l’évènement "le joueur tire une boule bleue au 2ème tirage".
- $V_2$ l’évènement "le joueur tire une boule verte au 2ème tirage".
D’après l’énoncé, $P(B_1)=\frac{3}{10}$ et $P(V_1)=\frac{7}{10}$.
Au 2ème tirage, il n’y a plus que 6 boules puisqu’il n’y a pas de remise.
Donc $P_{B_1}(B_2)=\frac{2}{9}$, $P_{B_1}(V_2)=\frac{7}{9}$, $P_{V_1}(B_2)=\frac{3}{9}$ et $P_{V_1}(V_2)=\frac{6}{9}$.
D’où l’arbre :
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Soit $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le gain algébrique d’un joueur. On retire 8 € à chacune des sommes gagnées puisque la participation coûte 8 €.
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Ainsi,
$\begin{align} P(X=7) & =P(B_1\cap V_2) \\ & = P(B_1)\times P_{B_1}(V_2) \\ & = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \\ & = \frac{7}{30} \end{align}$

$\begin{align} P(X=2) & =P(B_1\cap B_2) \\ & = P(B_1)\times P_{B_1}(B_2) \\ & = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \\ & = \frac{1}{15} \end{align}$

$\begin{align} P(X=-3) & =P(V_1\cap V_2) \\ & = P(V_1)\times P_{V_1}(V_2) \\ & = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \\ & = \frac{7}{15} \end{align}$

$\begin{align} P(X=-8) & =P(V_1\cap B_2) \\ & = P(V_1)\times P_{V_1}(B_2) \\ & = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \\ & = \frac{7}{30} \end{align}$

On en déduit la loi de probabilité de $X$ :
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Par conséquent $\begin{align} E(X) & =\frac{7}{30}\times 7+\frac{1}{15}\times 2+\frac{7}{15}\times (-3)+\frac{7}{30}\times (-8) \\ & =\frac{49+4-42-56}{30} \\ & =\frac{-45}{30} \\ & = -1,5 \end{align}$.
Comme $E(X)\lt 0$, le jeu n’est pas équilibré. Il est désavantageux pour le joueur.

2. Le résultat précédent permet d’écrire que l’organisateur du jeu peut espérer gagner en moyenne 1,50 € par partie sur un grand nombre de parties. Par conséquent, après 50 parties, il peut espérer gagner 45 €.

3. Pour que le jeu soit équitable, il faudrait que l’espérance soit nulle, c’est à dire que la partie coûte 1,50 € de moins (d’après la question 1.), c’est à dire 6,50 €.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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