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Calculer l’espérance d’une variable aléatoire

samedi 10 mars 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir pris connaissance de celle-ci : Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire.

On considère une variable aléatoire discrète $X$ dont on connaît la loi de probabilité.

L’espérance de $X$, notée $E(X)$ est la moyenne des valeurs prises par $X$, pondéré par les probabilités associées. Autrement dit, si la loi de probabilité de $X$ est donnée par le tableau suivant :
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alors $E(X)=x_1\times P(X=x_1)+x_2\times P(X=x_2)+...+x_n\times P(X=x_n)$.

Cette formule s’écrit sous forme plus rigoureuse :
$E(X)=\sum_{i=1}^{n} x_i\times P(X=x_i)$

Important : l’espérance de $X$ est la valeur que l’on peut espérer obtenir (pour $X$) en moyenne, sur un grand nombre d’expériences. Cette interprétation de l’espérance est une conséquence de la loi des grands nombres.

Remarques :

  • lorsque $X$ suit une loi de probabilité "connue" (comme la loi binomiale par exemple), on dispose de formules. Par exemple, si $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ alors l’espérance de $X$ est $E(X)=n\times p$.
  • lorsque $X$ comptabilise un gain en euros pour un joueur et que l’on demande si le jeu est avantageux, désavantageux ou équilibré, il suffit de regarder si $E(X) \geq 0$, $E(X) \leq 0$ ou $E(X) = 0$. Dans ce dernier cas, on dit aussi que le jeu est équilibré.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    On considère une variable aléatoire $X$ qui compte le gain (en €) d’un joueur qui participe à un jeu de hasard. Voici la loi de probabilité de $X$ :
    JPEG
  1. Calculer $E(X)$.
  2. Interpréter ce résultat.
Voir la solution

1. D’après le cours,
$\begin{align} E(X) & =0,25\times 1+0,57\times 8+0,1\times 25+0,08\times 100 \\ & =15,31 € \end{align}$

2. En moyenne, sur un grand nombre de jeu, le joueur peut espérer gagner 15,31 € par jeu.

  • Niveau moyen
    On jette un dé à 6 faces équilibré 4 fois de suite.
    Soit $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de 6 obtenus.
    Calculer $E(X)$ puis interpréter le résultat obtenu.
Voir la solution

Il peut être utile de relire la méthode suivante : Justifier qu’une loi est binomiale et donner ses paramètres.
L’expérience consistant à jeter un dé à 6 face comporte 2 issues :
- obtenir 6 (succès) avec une probabilité de $\frac{1}{6}$.
- ne pas obtenir 6 (échec) avec une probabilité de $\frac{5}{6}$.
On répète cette expérience à l’identique et de façon indépendante 4 fois.
Par conséquent, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=\frac{1}{6}$.
Il en résulte que $E(X)=4\times \frac{1}{6}=\frac{2}{3}\approx 0,67$.
En moyenne, sur un grand nombre d’expériences (consistant à jeter 4 fois le dé de suite), on peut espérer obtenir en moyenne environ 0,67 fois le nombre 6 par expérience.

  • Niveau difficile
    Un sac contient 10 boules : 3 bleues et 7 vertes. Un joueur se présente et tire au hasard, successivement et sans remises deux boules dans l’urne.
    - Si la 1ère boule tirée est bleue, on gagne 10 €.
    - Si la 2ème boule tirée est verte, on gagne 5 € (cette somme peut éventuellement se cumuler avec la première).
    - Dans les autres cas, on ne gagne rien.
    Avant chaque partie, un joueur doit s’acquitter d’un montant de 8 €.
  1. Ce jeu est-il équitable ?
  2. Combien peut espérer gagner l’organisateur du jeu après 50 parties ?
  3. Quel devrait être le prix d’une partie pour que le jeu devienne équitable ?
Voir la solution

1. On note :
- $B_1$ l’évènement "le joueur tire une boule bleue au 1er tirage".
- $V_1$ l’évènement "le joueur tire une boule verte au 1er tirage".
- $B_2$ l’évènement "le joueur tire une boule bleue au 2ème tirage".
- $V_2$ l’évènement "le joueur tire une boule verte au 2ème tirage".
D’après l’énoncé, $P(B_1)=\frac{3}{10}$ et $P(V_1)=\frac{7}{10}$.
Au 2ème tirage, il n’y a plus que 6 boules puisqu’il n’y a pas de remise.
Donc $P_{B_1}(B_2)=\frac{2}{9}$, $P_{B_1}(V_2)=\frac{7}{9}$, $P_{V_1}(B_2)=\frac{3}{9}$ et $P_{V_1}(V_2)=\frac{6}{9}$.
D’où l’arbre :
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Soit $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le gain algébrique d’un joueur. On retire 8 € à chacune des sommes gagnées puisque la participation coûte 8 €.
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Ainsi,
$\begin{align} P(X=7) & =P(B_1\cap V_2) \\ & = P(B_1)\times P_{B_1}(V_2) \\ & = \frac{3}{10} \times \frac{7}{9} \\ & = \frac{7}{30} \end{align}$

$\begin{align} P(X=2) & =P(B_1\cap B_2) \\ & = P(B_1)\times P_{B_1}(B_2) \\ & = \frac{3}{10} \times \frac{2}{9} \\ & = \frac{1}{15} \end{align}$

$\begin{align} P(X=-3) & =P(V_1\cap V_2) \\ & = P(V_1)\times P_{V_1}(V_2) \\ & = \frac{7}{10} \times \frac{6}{9} \\ & = \frac{7}{15} \end{align}$

$\begin{align} P(X=-8) & =P(V_1\cap B_2) \\ & = P(V_1)\times P_{V_1}(B_2) \\ & = \frac{7}{10} \times \frac{3}{9} \\ & = \frac{7}{30} \end{align}$

On en déduit la loi de probabilité de $X$ :
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Par conséquent $\begin{align} E(X) & =\frac{7}{30}\times 7+\frac{1}{15}\times 2+\frac{7}{15}\times (-3)+\frac{7}{30}\times (-8) \\ & =\frac{49+4-42-56}{30} \\ & =\frac{-45}{30} \\ & = -1,5 \end{align}$.
Comme $E(X)\lt 0$, le jeu n’est pas équilibré. Il est désavantageux pour le joueur.

2. Le résultat précédent permet d’écrire que l’organisateur du jeu peut espérer gagner en moyenne 1,50 € par partie sur un grand nombre de parties. Par conséquent, après 50 parties, il peut espérer gagner 45 €.

3. Pour que le jeu soit équitable, il faudrait que l’espérance soit nulle, c’est à dire que la partie coûte 1,50 € de moins (d’après la question 1.), c’est à dire 6,50 €.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Quels calculs devrais-je faire pour ceci :

    1) l’organisme espere recueillir 400 000.00$. combien de personnes devrait-elle solliciter au minimum pour recuillir au moins ce montant.
    si E(x) : 19.6
    2) soit la variable aleatoire definie par Y : x2
    a) E(Y) et b) : Var(Y) :
    3) soit Z la variable aleatoire definie par z : x-E(x) sur o(X)
    a) E(z) et b) o(z)

    • Bonjour vivian,
      Merci pour ta question mais il faudrait en dire un peu plus :
      - Comment est définie la variable aléatoire x ?
      - Quelle est la loi de x ?
      A priori, si x représente le montant d’un don en $ pour une personne interrogée au hasard, E(x) est la valeur moyenne de ce don par personne (sur un grand nombre de personne).
      Donc, il te suffirait de calculer 400 000/19.6 pour connaître le nombre de personnes...Mais ton énoncé est trop incomplet pour en être certain. N’hésite pas le compléter ici.
      A bientôt
      Neige

  • bonjour
    je cherche comment determiner le tonnage receptionné du papier entrant dans la norme et le tonnage hors norme en prenant comme base le grammage du papier (grs/m²)
    exemple : tonnage globale receptionné 100 t
    grammage std 90grs/m²
    nombre échantillons : 10
    echantillons 1,2,3 grammage trouvé 90 grs/m²
    echantillon 4,5,6,7 grammage trouvé 94 grs/m²
    echantillon 8,9,10 grammage trouvé 87 grs/m²
    ma question comment appliquer la courbe de gauss pour connaitre le tonnage hors norme
    merci

    • Bonjour kamel naili,

      Désolé mais je n’ai pas vraiment compris la question.

      Cherches-tu à :
      - calculer l’écart-type de cette série ?
      - estimer un écart-type de la population totale à partir de cet échantillon ?

      Si tu veux déterminer le nombre d’échantillons hors norme, il me semble que tu as besoin d’un écart type et d’un seuil de rejet...

      Je serais ravi de t’aider si tu précises ton énoncé.
      Bonne journée !
      Neige

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