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Résoudre une équation "produit nul"

samedi 9 juin 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre au mieux cette méthode, il est recommandé d’avoir lu :

Nous allons voir ici comment résoudre une équation produit nul.

Une équation produit nul est une équation de type $A\times B=0$ où $A$ et $B$ sont des expressions. Par exemple l’équation $(3x-4)\times (1-e^x)=0$ est une équation produit nul.

Attention, il est parfois nécessaire de factoriser avant d’obtenir une telle équation. Nous verrons quelques exemples ci-après.

Pour résoudre une équation produit nul, on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$.
On résout ensuite chacune des équations $A=0$ et $B=0$ séparément. Les solutions obtenues en résolvant ces deux équations sont celles de l’équation initiale.

Remarques

  • L’intérêt de cette méthode est qu’on transforme un problème $A\times B=0$ qui peut être compliqué en deux petits problèmes $A=0 \qquad ou \qquad B=0$ souvent beaucoup plus simple. On décompose un problème en sous-problèmes.
  • Attention, cette technique ne s’applique qu’aux produits nuls. $A\times B=1$ n’est pas équivalent à $A=1 \qquad ou \qquad B=1$.

En résumé,

  • on factorise si ce n’est pas déjà fait (après avoir regroupé tous les termes dans un même membre).
  • on écrit $A\times B=0 \Leftrightarrow A=0 \qquad ou \qquad B=0$ et on résout ces deux dernières équations séparément.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Résoudre les équations suivantes.

    $(E_1) : \qquad (3x-2)(x+4)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_2) : \qquad (1-x)(2-e^x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_3) : \qquad e^{2x-4}(0,5x-7)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_4) : \qquad (x-2)\ln(x)=0$ pour $x\gt 0$.

Voir la solution

L’équation $(E_1)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (3x-2)(x+4)=0 & \Leftrightarrow 3x-2=0 \qquad ou \qquad x+4=0 \\ & \Leftrightarrow 3x=2 \qquad ou \qquad x=-4 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{2}{3} \qquad ou \qquad x=-4 \end{align}$
L’équation $(E_1)$ admet deux solutions : $\frac{2}{3}$ et $-4$.


L’équation $(E_2)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (1-x)(2-e^x)=0 & \Leftrightarrow 1-x=0 \qquad ou \qquad 2-e^x=0 \\ & \Leftrightarrow -x=-1 \qquad ou \qquad -e^x=-2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad e^x=2 \\ & \Leftrightarrow x=1 \qquad ou \qquad x=\ln(2) \end{align}$
L’équation $(E_2)$ admet deux solutions : $1$ et $\ln(2)$.


L’équation $(E_3)$ est bien une équation produit nul.
$e^{2x-4}(0,5x-7)=0 \Leftrightarrow e^{2x-4}=0 \qquad ou \qquad 0,5x-7=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{2x-4}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} e^{2x-4}(0,5x-7)=0 & \Leftrightarrow 0,5x-7=0 \\ & \Leftrightarrow 0,5x=7 \\ & \Leftrightarrow x=\frac{7}{0,5} \\ & \Leftrightarrow x=14 \end{align}$
L’équation $(E_3)$ admet une seule solution : $14$.


L’équation $(E_4)$ est bien une équation produit nul.
$\begin{align} (x-2)\ln(x)=0 & \Leftrightarrow x-2=0 \qquad ou \qquad \ln(x)=0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=e^0 \\ & \Leftrightarrow x=2 \qquad ou \qquad x=1 \end{align}$
L’équation $(E_4)$ admet deux solutions : $2$ et $1$.

  • Niveau moyen
    Résoudre les équations suivantes sur les intervalles indiqués.
    Il est demandé de se ramener à des équations de type produit nul après avoir factorisé.

    $(E_1) : \qquad 2x^3+x^2-6x=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_2) : \qquad 3e^{1-x}-xe^{1-x}=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_3) : \qquad e^{-x}-2e^{-2x}=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $(E_4) : \qquad x\ln(x+2)=x$ pour $x\gt -2$.

Voir la solution

Factorisons le membre de gauche de $(E_1)$ par $x$.
$(E_1) \Leftrightarrow x(2x^2+x-6)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_1) \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad 2x^2+x-6=0$
Cette dernière équation est une équation du 2nd degré $ax^2+bx+c=0$ avec $a=2$, $b=1$ et $c=-6$. Calculons le discriminant.
$\begin{align} \Delta & =b^2-4ac \\ & =1^2-4\times 2\times(-6) \\ & = 1+48 \\ & = 49 \end{align}$
On constate que $\Delta \gt 0$ donc cette équation admet exactement deux solutions :
$\begin{align} x_1 & =\frac{-1-\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1-7}{4} \\ & = \frac{-8}{4} \\ &=-2 \end{align}$
et
$\begin{align} x_2 & =\frac{-1+\sqrt{49}}{2\times 2} \\ & = \frac{-1+7}{4} \\ & = \frac{6}{4} \\ &=1,5 \end{align}$
Finalement, l’équation $(E_1)$ admet trois solutions : $0$, $-2$ et $1,5$.


Factorisons le membre de gauche de $(E_2)$ par $e^{1-x}$.
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}(3-x)=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_2) \Leftrightarrow e^{1-x}=0 \qquad ou \qquad 3-x=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{1-x}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} (E_2) & \Leftrightarrow 3-x=0 \\ & \Leftrightarrow x=3 \end{align}$
L’équation $(E_2)$ admet une seule solution : $3$.


On remarque (propriété de la fonction exponentielle) que :
$e^{-2x}=e^{-x}\times e^{-x}$
Par conséquent,
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}-2e^{-x}\times e^{-x}=0$
Factorisons le membre de gauche par $e^{-x}$.
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}(1-2e^{-x})=0$
Cette équation est de type produit nul.
$(E_3) \Leftrightarrow e^{-x}=0 \qquad ou \qquad 1-2e^{-x}=0$
Comme la fonction exponentielle est strictement positive, l’équation $e^{-x}=0$ n’a pas de solution.
Par conséquent,
$\begin{align} (E_3) & \Leftrightarrow 1-2e^{-x}=0 \\ & \Leftrightarrow -2e^{-x}=-1 \\ & \Leftrightarrow 2e^{-x}=1 \\ & \Leftrightarrow e^{-x}=0,5 \\ & \Leftrightarrow -x=\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=-\ln(0,5) \\ & \Leftrightarrow x=\ln(2) \end{align}$
(la dernière étape est facultative)
L’équation $(E_2)$ admet une seule solution : $\ln(2)$.


Dans cette équation $(E_4)$, il y a une erreur à ne pas commettre : diviser chacun des membres par $x$. En effet, cela aurait pour conséquence de perdre une solution... De façon générale, il vaut mieux éviter de diviser par des quantités pouvant s’annuler. On va donc transformer l’équation de sorte que l’inconnue apparaisse uniquement dans le membre de gauche puis, on factorisera.
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x\ln(x+2)-x=0 \\ & \Leftrightarrow x(\ln(x+2)-1)=0 \end{align}$
Cette équation est de type produit nul.
$\begin{align} (E_4) & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)-1=0 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad \ln(x+2)=1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e^1 \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x+2=e \\ & \Leftrightarrow x=0 \qquad ou \qquad x=e-2 \end{align}$
L’équation $(E_4)$ admet deux solutions : $0$ et $e-2$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

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