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Dériver un quotient, un inverse
samedi 28 avril 2018, par Neige
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :
Nous allons voir ici comment dériver le quotient de deux fonctions ainsi que l’inverse d’une fonction.
On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$ et telles que $v$ ne s’annule pas sur $I$.
Alors $\frac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et :
$\left(\frac{u}{v}\right)’=\frac{u’\times v-u\times v’}{v^2}$
On peut déduire de cette formule que $\frac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ et :
$\left(\frac{1}{v}\right)’=-\frac{v’}{v^2}$
Notons que pour bien dériver un quotient de deux fonctions, il est nécessaire de :
- connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
- appliquer la formule de dérivation d’un quotient en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et $u’$ d’une part et ce qui correspond à $v$ et $v’$ d’autre part.
Remarque
- Attention, la formule de dérivation d’un quotient n’est pas très intuitive. On aurait envie que $\left(\frac{u}{v}\right)’$ soit égal à $\frac{u’}{v’}$ ! Malheureusement, il est très faux d’écrire cela et c’est une erreur commise par de nombreux élèves...
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner
- Niveau facile
Dériver la fonction $f$ sur $[2 ;+\infty[$ puis réduire l’expression obtenue sans développer le dénominateur.
On ne demande pas de vérifier que le dénominateur ne s’annule pas sur l’intervalle indiqué.
$f(x)=\frac{2-3x}{4x-5}$
On remarque que $f=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $[2 ;+\infty[$ et $v$ qui ne s’annule pas sur $[2 ;+\infty[$.
$u(x)=2-3x$ et $u’(x)=-3$.
$v(x)=4x-5$ et $u’(x)=4$.
Donc $f$ est dérivable sur $[2 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
f’(x) & = \frac{-3\times (4x-5)-(2-3x)\times 4}{(4x-5)^2} \\
& = \frac{-12x+15-(8-12x)}{(4x-5)^2} \\
& = \frac{-12x+15-8+12x}{(4x-5)^2} \\
& = \frac{7}{(4x-5)^2}
\end{align}$
- Niveau moyen
Dériver les fonctions $f$,$g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.
On ne demande pas de vérifier que les dénominateurs ne s’annulent pas sur ces intervalles. On demande cependant de réduire les expressions obtenues mais sans développer le dénominateur.
$f(x)=\frac{3-4x}{1+x^2}$ sur $\mathbb{R}$.
$g(x)=\frac{1}{2-3x^2}$ sur $[1 ;+\infty[$.
$h(x)=\frac{x+3}{e^x-3}$ sur $[2 ;+\infty[$.
On remarque que $f=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ et $v$ qui ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=3-4x$ et $u’(x)=-4$.
$v(x)=1+x^2$ et $v’(x)=2x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align}
f’(x) & = \frac{-4\times (1+x^2)-(3-4x)\times 2x}{(1+x^2)^2} \\
& = \frac{-4-4x^2-(6x-8x^2)}{(1+x^2)^2} \\
& = \frac{-4-4x^2-6x+8x^2}{(1+x^2)^2} \\
& = \frac{4x^2-6x-4}{(1+x^2)^2}
\end{align}$
On remarque que $g=\frac{1}{v}$ avec $v$ dérivable sur $[1 ;+\infty[$ et qui ne s’annule pas sur $[1 ;+\infty[$.
$v(x)=2-3x^2$ et $u’(x)=0-3\times 2x=-6x$.
Donc $g$ est dérivable sur $[1 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
g’(x) & = -\frac{-6x}{(2-3x^2)^2} \\
& = \frac{6x}{(2-3x^2)^2}
\end{align}$
On remarque que $h=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $[2 ;+\infty[$ et $v$ qui ne s’annule pas sur $[2 ;+\infty[$.
$u(x)=x+3$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=e^x-3$ et $v’(x)=e^x$.
Donc $h$ est dérivable sur $[2 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
h’(x) & = \frac{1\times (e^x-3)-(x+3)\times e^x}{(e^x-3)^2} \\
& = \frac{e^x-3-(xe^x+3e^x)}{(e^x-3)^2} \\
& = \frac{e^x-3-xe^x-3e^x}{(e^x-3)^2} \\
& = \frac{-3-2e^x-xe^x}{(e^x-3)^2}
\end{align}$
- Niveau moyen/difficile
Dériver les fonctions $f$,$g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.
On ne demande pas de vérifier que les dénominateurs ne s’annulent pas sur ces intervalles. On demande cependant de réduire les expressions obtenues mais sans développer le dénominateur.
$f(x)=3-\frac{1-2e^x}{1+2e^x}$ sur $\mathbb{R}$.
$g(x)=\frac{-5}{1+2x-5x^2}$ sur $[1 ;+\infty[$.
$h(x)=\frac{3\ln{x}-2}{x}$ sur $[1 ;+\infty[$.
On remarque que $f$ est la différence de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ : $x\mapsto 3$ et $x\mapsto \frac{1-2e^x}{1+2e^x}$. Cette dernière peut s’écrire comme le quotient de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ telles que $v$ ne s’annule pas sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=1-2e^x$ et $u’(x)=-2e^x$.
$v(x)=1+2e^x$ et $v’(x)=2e^x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align}
f’(x) & = 0-\frac{-2e^x\times (1+2e^x)-(1-2e^x)\times 2e^x}{(1+2e^x)^2} \\
& = -\frac{-2e^x-4e^{2x}-(2e^x-4e^{2x})}{(1+2e^x)^2} \\
& = -\frac{-2e^x-4e^{2x}-2e^x+4e^{2x}}{(1+2e^x)^2} \\
& = -\frac{-4e^x}{(1+2e^x)^2} \\
& = \frac{4e^x}{(1+2e^x)^2}
\end{align}$
On remarque que $g(x)=-5\times \frac{1}{1+2x-5x^2}$. Nous allons donc utiliser la formule $(k\times g)’=k\times g’$ (Voir Dériver une somme, un produit par un réel).
La fonction $v$ définie par $v(x)=1+2x-5x^2$ est dérivable sur $[1 ;+\infty[$ et ne s’annule pas sur cet intervalle. De plus, $v’(x)=2-10x$.
Donc $g$ est dérivable sur $[1 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
g’(x) & = -5\times \left(-\frac{2-10x}{(1+2x-5x^2)^2} \right) \\
& = \frac{10-50x}{(1+2x-5x^2)^2}
\end{align}$
On remarque que $h=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $[1 ;+\infty[$ et $v$ qui ne s’annule pas sur $[1 ;+\infty[$.
$u(x)=3\ln{x}-2$ et $u’(x)=\frac{3}{x}$.
$v(x)=x$ et $v’(x)=1$.
Donc $h$ est dérivable sur $[1 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
h’(x) & = \frac{\frac{3}{x}\times x-(3\ln{x}-2)\times 1}{x^2} \\
& = \frac{3-(3\ln{x}-2)}{x^2} \\
& = \frac{3-3\ln{x}+2}{x^2} \\
& = \frac{5-3\ln{x}}{x^2}
\end{align}$
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)
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