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Dériver un produit
dimanche 15 avril 2018, par
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :
Nous allons voir ici comment dériver le produit de deux fonctions.
On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$.
Alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et :
$(u\times v)’=u’\times v+u\times v’$
Notons que pour bien dériver un produit de deux fonctions, il est nécessaire de :
- connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
- savoir reconnaître une situation de produit de deux fonctions.
- appliquer la formule de dérivation d’un produit en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et $u’$ d’une part et ce qui correspond à $v$ et $v’$ d’autre part.
Remarques
- Attention, la formule de dérivation d’un produit n’est pas très intuitive. On aurait envie que $(u\times v)’$ soit égal à $u’\times v’$ ! Malheureusement, il est très faux d’écrire cela et c’est une erreur commise par de nombreux élèves. La clé : bien identifier que l’on est en présence d’un produit.
- Le produit d’une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l’une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver $2\times f$ mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. En effet,
$(2\times f)’=0\times f+2\times f’=2\times f’$ (et nous le savions déjà).
Conclusion : on utilise la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions lorsqu’aucune des deux n’est constante.
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner
- Niveau facile
Dériver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis factoriser l’expression obtenue par $e^x$.$f(x)=x\times e^x$
- Niveau moyen
Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.$f(x)=(3x^2+2x-5)\times(1-2x)$ sur $\mathbb{R}$.
Développer puis réduire l’expression obtenue.$g(x)=\frac{x^2}{4}\times (\sqrt{x}+1)$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.$h(x)=(1-\frac{2x^3}{7})\times \frac{\ln{x}}{2}$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.
- Niveau moyen/difficile
Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.$f(x)=x^2+x(3x-2x^2)$ sur $\mathbb{R}$.
Développer puis réduire l’expression obtenue.$g(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)\times \sqrt{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.$h(x)=\frac{x}{2}-(2x+1)\ln{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)