Mathématiques.club

Accueil > Terminale ES et L spécialité > Dérivation > Dériver un produit

Dériver un produit

dimanche 15 avril 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :

Nous allons voir ici comment dériver le produit de deux fonctions.

On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$.
Alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et :
$(u\times v)’=u’\times v+u\times v’$

Notons que pour bien dériver un produit de deux fonctions, il est nécessaire de :

  • connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
  • savoir reconnaître une situation de produit de deux fonctions.
  • appliquer la formule de dérivation d’un produit en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et $u’$ d’une part et ce qui correspond à $v$ et $v’$ d’autre part.

Remarques

  • Attention, la formule de dérivation d’un produit n’est pas très intuitive. On aurait envie que $(u\times v)’$ soit égal à $u’\times v’$ ! Malheureusement, il est très faux d’écrire cela et c’est une erreur commise par de nombreux élèves. La clé : bien identifier que l’on est en présence d’un produit.
  • Le produit d’une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l’une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver $2\times f$ mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. En effet,
    $(2\times f)’=0\times f+2\times f’=2\times f’$ (et nous le savions déjà).
    Conclusion : on utilise la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions lorsqu’aucune des deux n’est constante.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Dériver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis factoriser l’expression obtenue par $e^x$.

    $f(x)=x\times e^x$

Voir la solution

On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=e^x$ et $v’(x)=e^x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & =1\times e^x+x\times e^x \\ & = e^x(1+x) \end{align}$

  • Niveau moyen
    Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.

    $f(x)=(3x^2+2x-5)\times(1-2x)$ sur $\mathbb{R}$.
    Développer puis réduire l’expression obtenue.

    $g(x)=\frac{x^2}{4}\times (\sqrt{x}+1)$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

    $h(x)=(1-\frac{2x^3}{7})\times \frac{\ln{x}}{2}$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

Voir la solution

On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=3x^2+2x-5$ et $u’(x)=6x+2$.
$v(x)=1-2x$ et $v’(x)=-2$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & =(6x+2)\times (1-2x)+(3x^2+2x-5)\times (-2) \\ & = 6x-12x^2+2-4x-6x^2-4x+10 \\ & = -18x^2-2x+12 \end{align}$

On remarque que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4}x^2$ et $u’(x)=\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}x$.
$v(x)=\sqrt{x}+1$ et $v’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} g’(x) & =\frac{1}{2}x\times (\sqrt{x}+1)+\frac{1}{4}x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align}$

On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=1-\frac{2x^3}{7}=1-\frac{2}{7}x^3$ et $u’(x)=-\frac{2}{7}\times 3x^2=-\frac{6}{7}x^2$.
$v(x)=\frac{\ln{x}}{2}=\frac{1}{2}\ln{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{x}=\frac{1}{2x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} h’(x) & =-\frac{6}{7}x^2\times \frac{1}{2}\ln{x}+\left(1-\frac{2}{7}x^3\right)\times \frac{1}{2x} \end{align}$

  • Niveau moyen/difficile
    Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.

    $f(x)=x^2+x(3x-2x^2)$ sur $\mathbb{R}$.
    Développer puis réduire l’expression obtenue.

    $g(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)\times \sqrt{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

    $h(x)=\frac{x}{2}-(2x+1)\ln{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

Voir la solution

On remarque que $f$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ : $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x(3x-2x^2)$.
Cette dernière peut s’écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=3x-2x^2$ et $v’(x)=3-4x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & =2x+1\times (3x-2x^2)+x\times (3-4x) \\ & = 2x+3x-2x^2+3x-4x^2 \\ & = -6x^2+8x \end{align}$

Pour la fonction $g$, il faut essayer de voir le produit de deux fonctions et non trois (cela compliquerait beaucoup les choses !).
On remarque donc que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)$ et $u’(x)=\frac{1}{4}\times (-1)=-\frac{1}{4}$.
$v(x)=\sqrt{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} g’(x) & =-\frac{1}{4}\times \sqrt{x}+\frac{1}{4}\times (1-x)\times \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align}$

On remarque que $h$ est la différence de deux fonctions dérivables sur $]0 ;+\infty[$ : $x\mapsto \frac{x}{2}$ et $x\mapsto (2x+1)\ln{x}$.
Cette dernière peut s’écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=2x+1$ et $u’(x)=2$.
$v(x)=\ln{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} h’(x) & =\frac{1}{2}-\left(2\times \ln{x}+(2x+1)\times \frac{1}{x}\right) \\ & = \frac{1}{2}-2\ln{x}-(2x+1)\times \frac{1}{x} \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

Un message, un commentaire ?

modération a priori

Ce forum est modéré a priori : votre contribution n’apparaîtra qu’après avoir été validée par un administrateur du site.

Qui êtes-vous ?
Votre message

Pour créer des paragraphes, laissez simplement des lignes vides.

Ce site vous a été utile ? Vous pouvez encourager son développement en le diffusant sur les réseaux sociaux.

Facebook :

Youtube (abonnement à la chaîne) :