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Dériver un produit

dimanche 15 avril 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :

Nous allons voir ici comment dériver le produit de deux fonctions.

On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$.
Alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et :
$(u\times v)’=u’\times v+u\times v’$

Notons que pour bien dériver un produit de deux fonctions, il est nécessaire de :

  • connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
  • savoir reconnaître une situation de produit de deux fonctions.
  • appliquer la formule de dérivation d’un produit en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et $u’$ d’une part et ce qui correspond à $v$ et $v’$ d’autre part.

Remarques

  • Attention, la formule de dérivation d’un produit n’est pas très intuitive. On aurait envie que $(u\times v)’$ soit égal à $u’\times v’$ ! Malheureusement, il est très faux d’écrire cela et c’est une erreur commise par de nombreux élèves. La clé : bien identifier que l’on est en présence d’un produit.
  • Le produit d’une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l’une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver $2\times f$ mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. En effet,
    $(2\times f)’=0\times f+2\times f’=2\times f’$ (et nous le savions déjà).
    Conclusion : on utilise la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions lorsqu’aucune des deux n’est constante.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Dériver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis factoriser l’expression obtenue par $e^x$.

    $f(x)=x\times e^x$

Voir la solution

On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=e^x$ et $v’(x)=e^x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & =1\times e^x+x\times e^x \\ & = e^x(1+x) \end{align}$

  • Niveau moyen
    Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.

    $f(x)=(3x^2+2x-5)\times(1-2x)$ sur $\mathbb{R}$.
    Développer puis réduire l’expression obtenue.

    $g(x)=\frac{x^2}{4}\times (\sqrt{x}+1)$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

    $h(x)=(1-\frac{2x^3}{7})\times \frac{\ln{x}}{2}$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

Voir la solution

On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=3x^2+2x-5$ et $u’(x)=6x+2$.
$v(x)=1-2x$ et $v’(x)=-2$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & =(6x+2)\times (1-2x)+(3x^2+2x-5)\times (-2) \\ & = 6x-12x^2+2-4x-6x^2-4x+10 \\ & = -18x^2-2x+12 \end{align}$


On remarque que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4}x^2$ et $u’(x)=\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}x$.
$v(x)=\sqrt{x}+1$ et $v’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} g’(x) & =\frac{1}{2}x\times (\sqrt{x}+1)+\frac{1}{4}x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{align}$


On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=1-\frac{2x^3}{7}=1-\frac{2}{7}x^3$ et $u’(x)=-\frac{2}{7}\times 3x^2=-\frac{6}{7}x^2$.
$v(x)=\frac{\ln{x}}{2}=\frac{1}{2}\ln{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{x}=\frac{1}{2x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} h’(x) & =-\frac{6}{7}x^2\times \frac{1}{2}\ln{x}+\left(1-\frac{2}{7}x^3\right)\times \frac{1}{2x} \end{align}$

  • Niveau moyen/difficile
    Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.

    $f(x)=x^2+x(3x-2x^2)$ sur $\mathbb{R}$.
    Développer puis réduire l’expression obtenue.

    $g(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)\times \sqrt{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

    $h(x)=\frac{x}{2}-(2x+1)\ln{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
    On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.

Voir la solution

On remarque que $f$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ : $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x(3x-2x^2)$.
Cette dernière peut s’écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=3x-2x^2$ et $v’(x)=3-4x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & =2x+1\times (3x-2x^2)+x\times (3-4x) \\ & = 2x+3x-2x^2+3x-4x^2 \\ & = -6x^2+8x \end{align}$


Pour la fonction $g$, il faut essayer de voir le produit de deux fonctions et non trois (cela compliquerait beaucoup les choses !).
On remarque donc que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)$ et $u’(x)=\frac{1}{4}\times (-1)=-\frac{1}{4}$.
$v(x)=\sqrt{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$g’(x) =-\frac{1}{4}\times \sqrt{x}+\frac{1}{4}\times (1-x)\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$


On remarque que $h$ est la différence de deux fonctions dérivables sur $]0 ;+\infty[$ : $x\mapsto \frac{x}{2}$ et $x\mapsto (2x+1)\ln{x}$.
Cette dernière peut s’écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=2x+1$ et $u’(x)=2$.
$v(x)=\ln{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} h’(x) & =\frac{1}{2}-\left(2\times \ln{x}+(2x+1)\times \frac{1}{x}\right) \\ & = \frac{1}{2}-2\ln{x}-(2x+1)\times \frac{1}{x} \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

Messages

  • Bonjour, je souhaiterais savoir
    quelle formule appliquer lorsque l’on doit dériver le produit de 3 fonctions ?

    (u.v.w)’ = ?

    Ou de manière plus générale, existe-t-il une formule exprimant la dérivée du produit de n fonctions ?

    Merci d’avance pour votre réponse.

    • Bonjour Annaëlle
      C’est une question très intéressante !
      Pour dériver le produit de ces trois fonctions, tu peux faire ainsi :

      (u.v.w)’ = ((u.v).w)’
      = (u.v)’.w + (u.v).w’
      = (u’.v + u.v’).w + u.v.w’
      = u’.v.w + u.v’.w + u.v.w’

      On s’aperçoit que cette somme est composée de trois termes dans lesquels interviennent deux des fonctions de départ ainsi que la dérivée de la 3ème.

      Cette formule se généralise. Par exemple,
      (a.b.c.d)’ = a’.b.c.d + a.b’.c.d + a.b.c’.d + a.b.c.d’

      A bientôt !
      Neige

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