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Dériver un produit
dimanche 15 avril 2018, par Neige
Méthode
Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :
Nous allons voir ici comment dériver le produit de deux fonctions.
On considère deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un intervalle $I$.
Alors $u\times v$ est dérivable sur $I$ et :
$(u\times v)’=u’\times v+u\times v’$
Notons que pour bien dériver un produit de deux fonctions, il est nécessaire de :
- connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
- savoir reconnaître une situation de produit de deux fonctions.
- appliquer la formule de dérivation d’un produit en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et $u’$ d’une part et ce qui correspond à $v$ et $v’$ d’autre part.
Remarques
- Attention, la formule de dérivation d’un produit n’est pas très intuitive. On aurait envie que $(u\times v)’$ soit égal à $u’\times v’$ ! Malheureusement, il est très faux d’écrire cela et c’est une erreur commise par de nombreux élèves. La clé : bien identifier que l’on est en présence d’un produit.
- Le produit d’une fonction par un réel peut être vu comme le produit de deux fonctions (dont l’une est constante). On peut donc utiliser cette formule pour dériver $2\times f$ mais cela revient à utiliser un outil élaboré pour réaliser une opération très simple. En effet,
$(2\times f)’=0\times f+2\times f’=2\times f’$ (et nous le savions déjà).
Conclusion : on utilise la formule de dérivation d’un produit de deux fonctions lorsqu’aucune des deux n’est constante.
Un exemple en vidéo
D’autres exemples pour s’entraîner
- Niveau facile
Dériver la fonction $f$ sur $\mathbb{R}$ puis factoriser l’expression obtenue par $e^x$.
$f(x)=x\times e^x$
On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=e^x$ et $v’(x)=e^x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align}
f’(x) & =1\times e^x+x\times e^x \\
& = e^x(1+x)
\end{align}$
- Niveau moyen
Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.
$f(x)=(3x^2+2x-5)\times(1-2x)$ sur $\mathbb{R}$.
Développer puis réduire l’expression obtenue.
$g(x)=\frac{x^2}{4}\times (\sqrt{x}+1)$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.
$h(x)=(1-\frac{2x^3}{7})\times \frac{\ln{x}}{2}$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.
On remarque que $f=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=3x^2+2x-5$ et $u’(x)=6x+2$.
$v(x)=1-2x$ et $v’(x)=-2$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align}
f’(x) & =(6x+2)\times (1-2x)+(3x^2+2x-5)\times (-2) \\
& = 6x-12x^2+2-4x-6x^2-4x+10 \\
& = -18x^2-2x+12
\end{align}$
On remarque que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=\frac{x^2}{4}=\frac{1}{4}x^2$ et $u’(x)=\frac{1}{4}\times 2x=\frac{1}{2}x$.
$v(x)=\sqrt{x}+1$ et $v’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
g’(x) & =\frac{1}{2}x\times (\sqrt{x}+1)+\frac{1}{4}x^2\times \frac{1}{2\sqrt{x}}
\end{align}$
On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=1-\frac{2x^3}{7}=1-\frac{2}{7}x^3$ et $u’(x)=-\frac{2}{7}\times 3x^2=-\frac{6}{7}x^2$.
$v(x)=\frac{\ln{x}}{2}=\frac{1}{2}\ln{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{2}\times \frac{1}{x}=\frac{1}{2x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
h’(x) & =-\frac{6}{7}x^2\times \frac{1}{2}\ln{x}+\left(1-\frac{2}{7}x^3\right)\times \frac{1}{2x}
\end{align}$
- Niveau moyen/difficile
Dériver les fonctions $f$, $g$ et $h$ sur les intervalles indiqués.
$f(x)=x^2+x(3x-2x^2)$ sur $\mathbb{R}$.
Développer puis réduire l’expression obtenue.
$g(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)\times \sqrt{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.
$h(x)=\frac{x}{2}-(2x+1)\ln{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.
On ne demande pas de réduire l’expression obtenue.
On remarque que $f$ est la somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}$ : $x\mapsto x^2$ et $x\mapsto x(3x-2x^2)$.
Cette dernière peut s’écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=x$ et $u’(x)=1$.
$v(x)=3x-2x^2$ et $v’(x)=3-4x$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align}
f’(x) & =2x+1\times (3x-2x^2)+x\times (3-4x) \\
& = 2x+3x-2x^2+3x-4x^2 \\
& = -6x^2+8x
\end{align}$
Pour la fonction $g$, il faut essayer de voir le produit de deux fonctions et non trois (cela compliquerait beaucoup les choses !).
On remarque donc que $g=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=\frac{1}{4}\times (1-x)$ et $u’(x)=\frac{1}{4}\times (-1)=-\frac{1}{4}$.
$v(x)=\sqrt{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Donc $g$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$g’(x) =-\frac{1}{4}\times \sqrt{x}+\frac{1}{4}\times (1-x)\times \frac{1}{2\sqrt{x}}$
On remarque que $h$ est la différence de deux fonctions dérivables sur $]0 ;+\infty[$ : $x\mapsto \frac{x}{2}$ et $x\mapsto (2x+1)\ln{x}$.
Cette dernière peut s’écrire comme le produit de deux fonctions $u$ et $v$ dérivables sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=2x+1$ et $u’(x)=2$.
$v(x)=\ln{x}$ et $v’(x)=\frac{1}{x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align}
h’(x) & =\frac{1}{2}-\left(2\times \ln{x}+(2x+1)\times \frac{1}{x}\right) \\
& = \frac{1}{2}-2\ln{x}-(2x+1)\times \frac{1}{x}
\end{align}$
Au Bac
On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)
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