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Dériver les fonctions usuelles

dimanche 8 avril 2018, par Neige

Méthode

Impossible de s’en passer dans les exercices de dérivation, il est indispensable de connaître par coeur la dérivée de quelques fonctions de références (également appelées "fonctions usuelles"). Mais pas de panique, les formules ne sont pas si nombreuses !

Les voici.

  • Si $f$ est définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=k$ (où $k$ est une constante réelle) alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f’(x)=0$.
  • Si $f$ est définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=x^n$ (où $n$ est un entier strictement positif) alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f’(x)=n\times x^{n-1}$.
  • Dans le cas où $n$ est un entier strictement négatif, cette formule reste valable. Autrement dit, si $f$ est définie pour tout $x\in \mathbb{R}^*$ par $f(x)=x^n$ (où $n$ est un entier strictement négatif) alors $f$ est dérivable sur $]-\infty ;0[$ ou $]0 ;+\infty[$ et $f’(x)=n\times x^{n-1}$. En particulier, si $f$ est la fonction inverse, c’est à dire définie pour tout réel $x$ non nul par $f(x)=\frac{1}{x}$ (que l’on peut écrire $f(x)=x^{-1}$) alors, pour tout $x$ non nul, $f’(x)=-1\times x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$
  • Si $f$ est définie pour tout $x\in [0 ;+\infty[$ par $f(x)=\sqrt{x}$ alors $f$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $f’(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.
  • Si $f$ est définie pour tout $x\in\mathbb{R}$ par $f(x)=e^x$ alors $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f’(x)=e^x$.
  • Si $f$ est définie pour tout $x\in ]0 ;+\infty[$ par $f(x)=\ln{x}$ alors $f$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $f’(x)=\frac{1}{x}$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau moyen
    Dériver les fonctions $f_1$, $f_2$, $f_3$, $f_4$, $f_5$, $f_6$, $f_7$, $f_8$, $f_9$ et $f_{10}$ sur les intervalles indiqués.

    $f_1(x)=1$ sur $\mathbb{R}$.

    $f_2(x)=e^x$ sur $\mathbb{R}$.

    $f_3(x)=\frac{1}{x^2}$ sur $]0 ;+\infty[$.

    $f_4(x)=x^3$ sur $\mathbb{R}$.

    $f_5(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.

    $f_6(x)=\frac{1}{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.

    $f_7(x)=x$ sur $\mathbb{R}$.

    $f_8(x)=\ln{x}$ sur $]0 ;+\infty[$.

    $f_9(x)=x^{10}$ sur $\mathbb{R}$.

    $f_{10}(x)=\frac{1}{x^{10}}$ sur $]0 ;+\infty[$.

Voir la solution

$f_1$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_1’(x)=0$.

$f_2$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_2’(x)=e^x$.

On remarque que $f_3(x)=\frac{1}{x^2}=x^{-2}$. On reconnaît la forme $f_3(x)=x^{n}$ avec $n=-2$.
$f_3$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $f_3’(x)=-2\times x^{-3}=-\frac{2}{x^3}$.

On reconnaît la forme $f_4(x)=x^{n}$ avec $n=3$.
$f_4$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_4’(x)=3x^{2}$.

$f_5$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_5’(x)=0$.

On remarque que $f_6(x)=\frac{1}{x}=x^{-1}$. On reconnaît la forme $f_6(x)=x^{n}$ avec $n=-1$.
$f_6$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $f_6’(x)=-1\times x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$.

On reconnaît la forme $f_7(x)=x^{n}$ avec $n=1$.
$f_7$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_7’(x)=1\times x^{0}=1$.

$f_8$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $f_8’(x)=\frac{1}{x}$.

On reconnaît la forme $f_9(x)=x^{n}$ avec $n=10$.
$f_9$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f_9’(x)=10\times x^{9}$.

On remarque que $f_{10}(x)=\frac{1}{x^{10}}=x^{-10}$. On reconnaît la forme $f_{10}(x)=x^{n}$ avec $n=-10$.
$f_{10}$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et $f_{10}’(x)=-10\times x^{-11}=-\frac{10}{x^{11}}$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :
(prochainement disponible)

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