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Dériver l’exponentielle d’une fonction

mercredi 9 mai 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :

Nous allons voir ici comment dériver l’exponentielle d’une fonction c’est à dire une fonction de forme $e^u$.

En fait, c’est plutôt facile : on considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et :
$\left(e^u\right)’=e^u\times u’$

Notons que pour bien dériver l’exponentielle d’une fonction, il est nécessaire de :

  • connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
  • appliquer la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et à $u’$.

Remarques

  • Attention, une erreur classique est d’écrire que $\left(e^u\right)’=e^u$. A éviter absolument !
  • Cette formule est plus générale que celle concernant la dérivée de la fonction exponentielle. On peut d’ailleurs retrouver cette dernière en posant $u(x)=x$.

Un exemple en vidéo

(en cours de réalisation)

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ sur les intervalles indiqués.

    $f(x)=e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$

    $g(x)=e^{3x+4}$ sur $\mathbb{R}$

    $h(x)=e^{1-x^2}$ sur $\mathbb{R}$

    $k(x)=e^{-4x+\frac{2}{x}}$ sur $]0 ;+\infty[$

Voir la solution

On remarque que $f=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=-x$ et $u’(x)=-1$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & = e^{-x}\times (-1) \\ & = -e^{-x} \end{align}$


On remarque que $g=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=3x+4$ et $u’(x)=3$.
Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} g’(x) & = e^{3x+4}\times 3 \\ & = 3e^{3x+4} \end{align}$


On remarque que $h=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=1-x^2$ et $u’(x)=-2x$.
Donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} h’(x) & = e^{1-x^2}\times (-2x) \\ & = -2xe^{1-x^2} \end{align}$


On remarque que $k=e^u$ avec $u$ dérivable sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=-4x+\frac{2}{x}$ et $u’(x)=-4+2\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-4-\frac{2}{x^2}$.
Donc $k$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} k’(x) & = e^{-4x+\frac{2}{x}}\times (-4-\frac{2}{x^2}) \\ & = (-4-\frac{2}{x^2}) e^{-4x+\frac{2}{x}} \end{align}$

  • Niveau moyen/difficile
    Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$, $l$ et $m$ sur $\mathbb{R}$.

    $f(x)=3e^{-2x}$

    $g(x)=2e^{3x}+\frac{e^{-x}}{2}$

    $h(x)=x^2e^{-x}$
    On demande de factoriser la dérivée par $e^{-x}$.

    $k(x)=(5x+2)e^{-0,2x}$
    On demande de factoriser la dérivée par $e^{-0,2x}$.

    $l(x)=\frac{3}{5+e^{2x}}$
    On demande de réduire l’expression obtenue sans développer le dénominateur.

    $m(x)=\frac{1-e^{-5x}}{1+e^{-5x}}$
    On demande de réduire l’expression obtenue sans développer le dénominateur.

Voir la solution

On remarque que $f=3\times e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit d’une fonction par un réel (voir à ce sujet Dériver une somme, un produit par un réel) puis la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=-2x$ et $u’(x)=-2$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & = 3\times \left( e^{-2x} \times (-2)\right) \\ & = -6e^{-2x} \end{align}$


On remarque que $g=2\times e^u+\frac{1}{2}\times e^v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions (voir à ce sujet Dériver une somme, un produit par un réel) puis du produit d’une fonction par un réel et, enfin, la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=3x$ et $u’(x)=3$.
$v(x)=-x$ et $v’(x)=-1$.
Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} g’(x) & = 2\times \left( e^{3x} \times 3 \right)+\frac{1}{2}\times \left( e^{-x} \times (-1) \right) \\ & = 6e^{3x}-\frac{e^{-x}}{2} \\ \end{align}$


On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit de deux fonctions (voir à ce sujet Dériver un produit) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=x^2$ et $u’(x)=2x$.
$v(x)=e^{-x}$ et $v’(x)=e^{-x}\times (-1)=-e^{-x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} h’(x) & = 2x\times e^{-x}+x^2\times \left(-e^{-x}\right) \\ & = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} \\ & = (2x-x^2)e^{-x} \end{align}$


On remarque que $k=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser, comme précédemment, la formule de dérivation du produit de deux fonctions et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=5x+2$ et $u’(x)=5$.
$v(x)=e^{-0,2x}$ et $v’(x)=e^{-x}\times (-0,2)=-0,2e^{-x}$.
Donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} k’(x) & = 5\times e^{-0,2x}+(5x+2)\times \left(-0,2e^{-0,2x}\right) \\ & = 5e^{-0,2x}+(-0,2\times(5x+2))e^{-0,2x} \\ & = 5e^{-0,2x}+(-x-0,4)e^{-0,2x} \\ & =(5-x-0,4)e^{-0,2x} \\ & = (4,6-x)e^{-0,2x} \end{align}$


On remarque que $l=3\times \frac{1}{v}$ avec $v$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et qui ne s’annule pas sur cet intervalle. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit d’une fonction par un réel, puis de l’inverse d’une fonction (voir Dériver un quotient, un inverse) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$v(x)=5+e^{2x}$ et $v’(x)=0+e^{2x}\times 2=2e^{2x}$.
Donc $l$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} l’(x) & = 3\times \left(-\frac{2e^{2x}}{(5+e^{2x})^2}\right) \\ & = \frac{-6e^{2x}}{(5+e^{2x})^2} \end{align}$


On remarque que $m=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ et $v$ qui ne s’annule pas sur cet intervalle. Nous allons utiliser la formule de dérivation du quotient de deux fonctions (voir Dériver un quotient, un inverse) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=1-e^{-5x}$ et $u’(x)=0-e^{-5x}\times (-5)=5e^{-5x}$.
$v(x)=1+e^{-5x}$ et $v’(x)=0+e^{-5x}\times (-5)=-5e^{-5x}$.
Donc $m$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} m’(x) & = \frac{5e^{-5x}\times (1+e^{-5x})-(1-e^{-5x})\times (-5e^{-5x})}{(1+e^{-5x})^2} \\ & = \frac{5e^{-5x}+5e^{-10x}-(-5e^{-5x}+5e^{-10x})}{(1+e^{-5x})^2} \\ & = \frac{5e^{-5x}+5e^{-10x}+5e^{-5x}-5e^{-10x}}{(1+e^{-5x})^2} \\ & = \frac{10e^{-5x}}{(1+e^{-5x})^2} \\ \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

Messages

  • Calcul de dérivée:
    g(x)= -e^x-xe^x+2
    Salut, je suis bloqué par ce calcul de dérivé, pourrez-vous m’aider svp.

    • Bonjour William !
      Ton expression est sous forme d’une somme de 3 termes :

      • -e^x
      • -xe^x
      • 2

      Pour dériver une somme, il suffit d’ajouter la dérivée de chacun des termes. Je suppose que c’est le 2ème qui te pose des difficultés. Voici une idée :
      - xe^x=(-x)×(e^x)
      Cette expression est un produit. Pour dériver un produit, on dispose de la formule suivante :
      (u×v)’=u’×v+u×v’

      Voilà, tu as tous les éléments ! Je te laisse chercher et revenir par ici si tu n’y arrives pas. Courage !
      Neige

  • Salut comment on dérive cette fonction
    (x+1) le tout au carré × expo de -x

  • Bonjour, je cherche à dérivé la fonction ae^-e^(b-cx), où a>0, b>0 et c>0, et x est la variable.
    Merci !

    • Bonjour Cléo et désolé pour la réponse tardive.
      Tu veux dériver la fonction qui, à x, associe :
      a×exp(-exp(b-c×x))
      Il faut faire une double dérivation composée :
      f ’(x) = a×exp(-exp(b-c×x)) × (-exp(b-c×x)) × (-c)
      On multiplie par la dérivée de ce qu’il y a à l’intérieur de la première parenthèse puis par la dérivée de ce qu’il y a à l’intérieur de la 2ème.
      C’est un peu compliqué alors n’hésite pas à m’écrire si tu ne comprends pas.
      A bientôt
      Neige

  • Salut, pouvez vous m’aider à dériver la fonction : x*e^-x^2/2

    Donc c’est x multiplié par exponentielle de moins x au carré divisé par deux.

  • (4x-1)e(x^2 +3)
    pouvez vous m’expliquez les étapes svp

    • Bonsoir Louis,
      Voici les étapes pour dériver ta fonction.
      1 - Identification de la "forme" de la fonction  :
      Cette fonction est sous forme d’un produit u×v.
      u(x) = (4x-1) et v(x) = e(x^2 +3)
      Donc u’(x) = 4 et v’(x) = e(x^2 +3) × 2x (dérivation de l’exponentielle d’une fonction).
      2 - Application de la formule :
      On applique la formule de la dérivée d’un produit.
      f ’ (x) = u’(x)v(x) + u(x)v’(x)
      f ’ (x) = 4 × e(x^2 +3) + (4x-1) × e(x^2 +3) × 2x
      3 - On réduit l’expression obtenue :
      Je te laisse faire, mais n’hésite pas à me contacter si tu rencontres des problèmes.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonsoir comment on dérive 2e^1+x/ 1-x
     : (1-x)^2 svp merci

    • Bonsoir Lim,
      Voici un peu d’aide.
      Tu veux dériver la fonction f définie pour x différent de 1 par :
      f(x) = 2 exp((1 + x) / (1 - x)) / (1 - x)²
      f est sous la forme u/v avec :
      u(x) = 2 exp((1 + x) / (1 - x))
      et v(x) = (1 - x)²
      Par conséquent, f ’ = (u’v - uv’) / v²
      On connait déjà u et v, il suffit donc de calculer u’ et v’.
      v’(x) = 2(1 - x) × (-1)
      Pour u’, remarquons tout d’abord que :
      u = 2 exp(h) avec
      h(x) = (1 + x) / (1 - x)
      Donc u’ = 2 exp(h) × h’
      Or h est également un quotient a/b que l’on peut dériver :
      h’(x) = (1 × (1 - x) - (1 + x) × (-1)) / (1 - x)²

      Et voilà, tu as toutes les "briques" nécessaires, il te suffit de remplacer les expressions au bon endroit !
      N’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair.
      Bon courage à toi,
      Neige

  • J’ai e^x +1/ e^x +2
    Je dérive avec la formule de dérivation je trouve :
    e^x(e^x+2)-(e^x+1)×e^x / (e^x+2)^2
    Après cela je sais qu’il faut factoriser par e^x mais la suite je n’arrive pas.
    Merci d’avance pour votre aide

    • Bonjour Anaelle
      Voici un peu d’aide !
      Tout d’abord, j’imagine que ta fonction est définie par :
      f(x) = (e^x +1) / (e^x +2)
      Ta dérivation est parfaite ! (en supposant que toute la partie précédant la division est le numérateur).
      Tu trouves donc un numérateur égal à :
      e^x(e^x+2) - (e^x+1)×e^x
      Si tu souhaites simplifier cette expression, tu peux :

      • factoriser par e^x, cela donne : e^x [ (e^x + 2) - (e^x + 1) ]. Il te suffit ensuite de réduire ce qu’il y a entre les crochets (en faisant attention au - qui précède la parenthèse), tu devrais obtenir ... 1 !
      • ou alors, tu peux directement développer, sans chercher à factoriser, tu obtiendras alors e^x, ce qui est bien cohérent avec la première méthode.

      Après avoir fait ce calcul, n’oublie pas de remettre ton dénominateur, tu devrais obtenir : e^x/(e^x + 2)^2

      Remarque :
      En général, il vaut mieux essayer de factoriser car on peut se retrouver avec une expression développée compliquée à étudier. Mais dans ton cas, les deux méthodes sont efficaces.

      J’espère t’avoir aidée un peu. N’hésite pas à revenir par ici si ce n’est pas clair !
      Bon courage,
      Neige

  • cc svp j’ai besoin d’aide pour plutôt pour une étude de signe .pouvez vous m’aidez ?

    f’(x)=expo de x -1/x²

    • Bonjour Djriga,
      Si j’ai bien compris ta question, tu as dérivé une fonction f et tu obtiens f ’(x) = exp(x) - 1/x².
      Tu cherches ensuite le signe de f ’ pour en déduire les variations de f.
      Tout d’abord, si tu suis ce cheminement, c’est que tu as bien compris le principe d’une étude de fonction, bravo !

      Voici un peu d’aide pour la suite. Je suppose que tu dois étudier la fonction f sur l’ensemble des réels sauf 0.

      En réduisant f ’(x) à un même dénominateur, tu obtiens :
      f ’(x) = (x² exp(x) - 1)/x²
      On va appeler g(x) = x² exp(x) - 1 et étudier les variations de g sur R, cela va permettre d’en déduire son signe.
      Tu devrais trouver : g ’(x) = x(2 + x) exp(x).

      Sur ]- infini ; 0[ : un tableau de signes de g ’ suivi des variations de g te permettra de conclure (à l’aide du calcul de g(-2)) que g est négative sur ]- l’infini ;0].
      Tu en déduiras que f ’ est négative sur ] - l’infini ;0[.

      Sur [0 ; + infini[, g est strictement croissante et continue.
      Le calcul de g(0) et lim g (en + infini). te permettra d’utiliser le théorème de la bijection (ou des valeurs intermédiaires selon le vocabulaire utilisé par ton prof). Tu en déduiras que g est négative sur [0 ; alpha[ puis positive sur ]alpha ; + infini[. Et tu pourras conclure que f ’ est négative sur ]0 ; alpha[ puis positive sur ]alpha ; + infini[.

      Voilà les grandes lignes. J’espère avoir répondu à ta question.
      Bon courage à toi !
      Neige

  • Bonjour Neige,
    Pouvez vous m’aider à trouver la dérivée de la fonction suivante :
    f(x) = e^2x + 6e^x - 8x - 4

    Merci d’avance !

    • Bonjour JP,
      Voici un peu d’aide.
      f est sous forme d’une somme, tu peux donc dériver chaque morceau indépendamment et les ajouter (et ça, c’est une super bonne nouvelle).

      • Morceau 1 : exp(2x)
        La dérivée de exp(u) est u’ × exp(u)
        Donc ici, on obtient : 2 × exp(2x)
      • Morceau 2 : 6 exp(x)
        Comme la dérivée de exp est exp, on obtient : 6 exp(x)
      • Morceau 3 : - 8x
        Je te laisse faire.
      • Morceau 4 : - 4
        Je te laisse faire.

      Il ne reste plus qu’à tout ajouter !
      Bon courage à toi :-)
      Neige

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