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Dériver l’exponentielle d’une fonction

mercredi 9 mai 2018, par Neige

Méthode

Pour comprendre cette méthode, il est indispensable d’avoir assimilé celles-ci :

Nous allons voir ici comment dériver l’exponentielle d’une fonction c’est à dire une fonction de forme $e^u$.

En fait, c’est plutôt facile : on considère une fonction $u$ dérivable sur un intervalle $I$. Alors $e^u$ est dérivable sur $I$ et :
$\left(e^u\right)’=e^u\times u’$

Notons que pour bien dériver l’exponentielle d’une fonction, il est nécessaire de :

  • connaître les dérivées des fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine, exponentielle, logarithme népérien, etc...)
  • appliquer la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction en écrivant bien, avant de se lancer dans le calcul, ce qui correspond à $u$ et à $u’$.

Remarques

  • Attention, une erreur classique est d’écrire que $\left(e^u\right)’=e^u$. A éviter absolument !
  • Cette formule est plus générale que celle concernant la dérivée de la fonction exponentielle. On peut d’ailleurs retrouver cette dernière en posant $u(x)=x$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$ et $k$ sur les intervalles indiqués.

    $f(x)=e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$

    $g(x)=e^{3x+4}$ sur $\mathbb{R}$

    $h(x)=e^{1-x^2}$ sur $\mathbb{R}$

    $k(x)=e^{-4x+\frac{2}{x}}$ sur $]0 ;+\infty[$

Voir la solution

On remarque que $f=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=-x$ et $u’(x)=-1$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & = e^{-x}\times (-1) \\ & = -e^{-x} \end{align}$


On remarque que $g=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=3x+4$ et $u’(x)=3$.
Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} g’(x) & = e^{3x+4}\times 3 \\ & = 3e^{3x+4} \end{align}$


On remarque que $h=e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$.
$u(x)=1-x^2$ et $u’(x)=-2x$.
Donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} h’(x) & = e^{1-x^2}\times (-2x) \\ & = -2xe^{1-x^2} \end{align}$


On remarque que $k=e^u$ avec $u$ dérivable sur $]0 ;+\infty[$.
$u(x)=-4x+\frac{2}{x}$ et $u’(x)=-4+2\times \left(-\frac{1}{x^2}\right)=-4-\frac{2}{x^2}$.
Donc $k$ est dérivable sur $]0 ;+\infty[$ et :
$\begin{align} k’(x) & = e^{-4x+\frac{2}{x}}\times (-4-\frac{2}{x^2}) \\ & = (-4-\frac{2}{x^2}) e^{-4x+\frac{2}{x}} \end{align}$

  • Niveau moyen/difficile
    Dériver les fonctions $f$, $g$, $h$, $k$, $l$ et $m$ sur $\mathbb{R}$.

    $f(x)=3e^{-2x}$

    $g(x)=2e^{3x}+\frac{e^{-x}}{2}$

    $h(x)=x^2e^{-x}$
    On demande de factoriser la dérivée par $e^{-x}$.

    $k(x)=(5x+2)e^{-0,2x}$
    On demande de factoriser la dérivée par $e^{-0,2x}$.

    $l(x)=\frac{3}{5+e^{2x}}$
    On demande de réduire l’expression obtenue sans développer le dénominateur.

    $m(x)=\frac{1-e^{-5x}}{1+e^{-5x}}$
    On demande de réduire l’expression obtenue sans développer le dénominateur.

Voir la solution

On remarque que $f=3\times e^u$ avec $u$ dérivable sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit d’une fonction par un réel (voir à ce sujet Dériver une somme, un produit par un réel) puis la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=-2x$ et $u’(x)=-2$.
Donc $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} f’(x) & = 3\times \left( e^{-2x} \times (-2)\right) \\ & = -6e^{-2x} \end{align}$


On remarque que $g=2\times e^u+\frac{1}{2}\times e^v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation de la somme de deux fonctions (voir à ce sujet Dériver une somme, un produit par un réel) puis du produit d’une fonction par un réel et, enfin, la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=3x$ et $u’(x)=3$.
$v(x)=-x$ et $v’(x)=-1$.
Donc $g$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} g’(x) & = 2\times \left( e^{3x} \times 3 \right)+\frac{1}{2}\times \left( e^{-x} \times (-1) \right) \\ & = 6e^{3x}-\frac{e^{-x}}{2} \\ \end{align}$


On remarque que $h=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit de deux fonctions (voir à ce sujet Dériver un produit) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=x^2$ et $u’(x)=2x$.
$v(x)=e^{-x}$ et $v’(x)=e^{-x}\times (-1)=-e^{-x}$.
Donc $h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} h’(x) & = 2x\times e^{-x}+x^2\times \left(-e^{-x}\right) \\ & = 2xe^{-x}-x^2e^{-x} \\ & = (2x-x^2)e^{-x} \end{align}$


On remarque que $k=u\times v$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$. Nous allons utiliser, comme précédemment, la formule de dérivation du produit de deux fonctions et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=5x+2$ et $u’(x)=5$.
$v(x)=e^{-0,2x}$ et $v’(x)=e^{-x}\times (-0,2)=-0,2e^{-x}$.
Donc $k$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} k’(x) & = 5\times e^{-0,2x}+(5x+2)\times \left(-0,2e^{-0,2x}\right) \\ & = 5e^{-0,2x}+(-0,2\times(5x+2))e^{-0,2x} \\ & = 5e^{-0,2x}+(-x-0,4)e^{-0,2x} \\ & =(5-x-0,4)e^{-0,2x} \\ & = (4,6-x)e^{-0,2x} \end{align}$


On remarque que $l=3\times \frac{1}{v}$ avec $v$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et qui ne s’annule pas sur cet intervalle. Nous allons utiliser la formule de dérivation du produit d’une fonction par un réel, puis de l’inverse d’une fonction (voir Dériver un quotient, un inverse) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$v(x)=5+e^{2x}$ et $v’(x)=0+e^{2x}\times 2=2e^{2x}$.
Donc $l$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} l’(x) & = 3\times \left(-\frac{2e^{2x}}{(5+e^{2x})^2}\right) \\ & = \frac{-6e^{2x}}{(5+e^{2x})^2} \end{align}$


On remarque que $m=\frac{u}{v}$ avec $u$ et $v$ dérivables sur $\mathbb{R}$ et $v$ qui ne s’annule pas sur cet intervalle. Nous allons utiliser la formule de dérivation du quotient de deux fonctions (voir Dériver un quotient, un inverse) et nous aurons besoin de la formule de dérivation de l’exponentielle d’une fonction.
$u(x)=1-e^{-5x}$ et $u’(x)=0-e^{-5x}\times (-5)=5e^{-5x}$.
$v(x)=1+e^{-5x}$ et $v’(x)=0+e^{-5x}\times (-5)=-5e^{-5x}$.
Donc $m$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et :
$\begin{align} m’(x) & = \frac{5e^{-5x}\times (1+e^{-5x})-(1-e^{-5x})\times (-5e^{-5x})}{(1+e^{-5x})^2} \\ & = \frac{5e^{-5x}+5e^{-10x}-(-5e^{-5x}+5e^{-10x})}{(1+e^{-5x})^2} \\ & = \frac{5e^{-5x}+5e^{-10x}+5e^{-5x}-5e^{-10x}}{(1+e^{-5x})^2} \\ & = \frac{10e^{-5x}}{(1+e^{-5x})^2} \\ \end{align}$

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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