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Calculer la limite d’une suite géométrique

dimanche 22 janvier 2017, par Neige

Méthode

On considère un nombre $q$ strictement positif et la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=q^n$.

La règle de calcul de limite est simple :

  • si $0 < q < 1$ alors $\lim q^n=0$.
  • si $q=1$ alors $\lim q^n=1$.
  • si $q>1$ alors $\lim q^n=+\infty$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Déterminer la limite de la suite géométrique $(u_n)$ de raison $\frac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=-2$.
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La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\frac{8}{3}$ et de premier terme $u_0=-2$ donc pour tout entier naturel $n$, $u_n=-2\times \left(\frac{8}{3}\right)^n$.
Comme $\frac{8}{3}>1$ alors $\lim\left(\frac{8}{3}\right)^n=+\infty$.
Par produit par $-2$, on obtient : $\lim -2\times \left(\frac{8}{3}\right)^n=-\infty$.

  • Niveau facile
    Le nombre de poissons dans un lac à la fin de l’année $2010+n$ est égal à $2500-1000\times 0,5^n$.
    A long terme, combien le lac comptera-t-il de poissons ?
Voir la solution

Les mots "A long terme" signifient que l’on doit calculer la limite de $(u_n)$.
$0<0,5<1$ donc $\lim 0,5^n=0$.
Par produit par $-1000$, $\lim -1000\times 0,5^n=0$.
Par somme avec $2500$, $\lim 2500-1000\times 0,5^n=2500$.
Par conséquent, à long terme, le lac comptera 2500 poissons.

  • Niveau moyen
    Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ définie pour tout $n\in\mathbb{N}$ par $u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}}$.
Voir la solution

Ici, il est nécessaire de transformer l’expression de $u_n$ afin de pouvoir appliquer les règles de calcul de limite.
$u_n=\frac{2^{n}}{3^{n-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n\times 3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times \frac{1}{3^{-1}} \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3^1 \\ \qquad =\frac{2^{n}}{3^n}\times 3 \\ \qquad =\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3$
Comme $0<\frac{2}{3}<1$ alors $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n=0$.
Par produit par 3, on peut conclure que $\lim\left(\frac{2}{3}\right)^n\times 3=0$ ou encore, $\lim u_n=0$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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