Déterminer un rang sous condition

Il s’agit de résoudre l’équation $u_n=262 144$.
$u_n=262 144 \Leftrightarrow 4^n=262 144 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \ln(4^n)=\ln(262 144) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(4)=\ln(262 144) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n=\frac{\ln(262 144)}{\ln(4)} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n=9$
La valeur du rang recherchée est 9.

Il s’agit de résoudre l’inéquation $u_n>2000$.
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $90$ et de premier terme $u_0=1250$ donc pour tout entier positif ou nul $n$, $u_n=1250+90n$.
$u_n>2000 \Leftrightarrow 1250+90n>2000 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow 90n>750 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{750}{90} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{25}{3}$
Comme $\frac{25}{3}\approx 8,3$ alors c’est à partir de $n=9$ ou, autrement dit, à partir de 2019 que le salaire de M. Renard dépassera 2000 €.

Il s’agit de résoudre l’inéquation $u_n<0,265$.
$u_n<0,265 \Leftrightarrow 0,25+0,15\times \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,265 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow 0,15\times \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,015 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n<\frac{0,015}{0,15} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,1 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \ln\left[\left(\frac{2}{3}\right)^n\right]<\ln(0,1) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n\times\ln\left(\frac{2}{3}\right)<\ln(0,1) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{\ln(0,1)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}$
Dans cette dernière inégalité, l’ordre a changé car $\ln\left(\frac{2}{3}\right)<0$.
Comme $\frac{\ln(0,1)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}\approx 5,68$ alors c’est entre la 5ème et la 6ème année (entre 2022 et 2023) que le pourcentage de la population vivant à la campagne deviendra inférieur à $26,5\%$.