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Déterminer un rang sous condition

samedi 21 janvier 2017, par Neige

Méthode

On considère une suite $(u_n)$ dont on connaît l’expression du terme général.
Chercher le rang $n$ tel que $u_n$ respecte une condition, c’est résoudre une équation ou une inéquation d’inconnue $n$ faisant intervenir $u_n$.

Un exemple en vidéo

D’autres exemples pour s’entraîner

  • Niveau facile
    Déterminer le rang $n$ pour lequel la suite $(u_n)$ définie pour tout entier positif ou nul $n$ par $u_n=4^n$ atteint la valeur 262 144.
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Il s’agit de résoudre l’équation $u_n=262 144$.
$u_n=262 144 \Leftrightarrow 4^n=262 144 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \ln(4^n)=\ln(262 144) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n\times \ln(4)=\ln(262 144) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n=\frac{\ln(262 144)}{\ln(4)} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n=9$
La valeur du rang recherchée est 9.

  • Niveau moyen
    Le salaire de M. Renard à l’année $2010+n$ est noté $u_n$. Son salaire est réactualisé une seule fois par an en tout début d’année. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $90$ et de premier terme $u_0=1250$.
    Déterminer l’année à partir de laquelle le salaire de M. Rebard dépassera 2000 €.
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Il s’agit de résoudre l’inéquation $u_n>2000$.
La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $90$ et de premier terme $u_0=1250$ donc pour tout entier positif ou nul $n$, $u_n=1250+90n$.
$u_n>2000 \Leftrightarrow 1250+90n>2000 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow 90n>750 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{750}{90} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{25}{3}$
Comme $\frac{25}{3}\approx 8,3$ alors c’est à partir de $n=9$ ou, autrement dit, à partir de 2019 que le salaire de M. Renard dépassera 2000 €.

  • Niveau moyen
    Des scientifiques ont affirmé que le pourcentage de la population (d’un pays imaginaire) vivant dans les campagnes au cours de l’année $2017+n$ serait de $0,25+0,15\times (\frac{2}{3})^n$.
    Quand est-ce que ce pourcentage deviendra inférieur à $26,5\%$ ?
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Il s’agit de résoudre l’inéquation $u_n<0,265$.
$u_n<0,265 \Leftrightarrow 0,25+0,15\times \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,265 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow 0,15\times \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,015 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n<\frac{0,015}{0,15} \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \left(\frac{2}{3}\right)^n<0,1 \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow \ln\left[\left(\frac{2}{3}\right)^n\right]<\ln(0,1) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n\times\ln\left(\frac{2}{3}\right)<\ln(0,1) \\ \qquad \qquad \Leftrightarrow n>\frac{\ln(0,1)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}$
Dans cette dernière inégalité, l’ordre a changé car $\ln\left(\frac{2}{3}\right)<0$.
Comme $\frac{\ln(0,1)}{\ln\left(\frac{2}{3}\right)}\approx 5,68$ alors c’est entre la 5ème et la 6ème année (entre 2022 et 2023) que le pourcentage de la population vivant à la campagne deviendra inférieur à $26,5\%$.

Au Bac

On utilise cette méthode pour résoudre :

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